一道競(jìng)賽練習(xí)題的思維拓展

王 勇

(浙江省浦江中學(xué),浙江 浦江 322202)

在競(jìng)賽培訓(xùn)中,對(duì)習(xí)題的思維拓展是非常重要的,筆者在訓(xùn)練學(xué)生思維拓展方面特別注重這方面的培養(yǎng).對(duì)于同一個(gè)問題,如果從不同的角度,不同的知識(shí)去理解它,會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)和觀點(diǎn).

一題多解對(duì)拓展學(xué)生的思維邊界,提升學(xué)生的思維能力對(duì)競(jìng)賽的學(xué)生尤為重要.在這里針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)的一道習(xí)題,給出了多種解法和大家交流.

例題.設(shè)湖岸MN為一直線,有一小船自岸邊的A點(diǎn)沿與湖岸成15°角方向勻速向湖中駛?cè)?有一人自A點(diǎn)同時(shí)出發(fā),他先沿岸走一段再入水中游泳去追船.已知人在岸上走的速度為v1＝4m/s,在水中游泳的速度v2＝2m/s.試求船速至多為多少,此人才能追上船？

圖1

圖2

解法1:(微元法)如圖1所示,設(shè)人在B點(diǎn)剛好能追上船且以自D點(diǎn)處入水所用時(shí)間最短.則自D左、右側(cè)附近C、E點(diǎn)入水剛好追到船所用的總時(shí)間相等.在BC段上取BF＝BE,則應(yīng)有人走CE段和游CF段用時(shí)相等,即當(dāng)C點(diǎn)無限靠近D點(diǎn)時(shí),E必同時(shí)靠近D,由圖近似有故求得θ＝60°.由于此時(shí)C點(diǎn)是無限靠近D點(diǎn),故BC與BD接近重合,即∠BDN＝θ＝60°.由上得出,當(dāng)人自D點(diǎn)入水沿與岸成θ＝60°方向游泳剛好追到船,對(duì)應(yīng)船速最大設(shè)其為v,如圖2所示.過相遇點(diǎn)B作BK⊥BD交MN于K,因θ＝60°所以DK＝2DB,又v1＝2v2則人游DB段與走DK段所用時(shí)間相等.故人自出發(fā)到在B點(diǎn)追上船的時(shí)間等于他由A點(diǎn)走到K點(diǎn)的時(shí)間,即在△ABK中由正弦定理有

圖3

解法2:(極值法)如圖3所示,設(shè)人沿岸走到D點(diǎn)時(shí),船已航行至C點(diǎn),此時(shí)人入水游泳追船且剛好在B點(diǎn)追上船.在△ACD中由正弦定理有又設(shè)船速為v,人由A點(diǎn)走到D點(diǎn)所用時(shí)間t,則

代入上式有

在△CDB中,由正弦定理有

設(shè)人游過DB段的時(shí)間為t′,則BD＝v2t′,CB＝vt′.同樣代入上式得

聯(lián)立(1)、(2)式且v1＝2v2,則

又由△ACD可見,要v盡可能大,即需盡可能大,而θ越大則AC越大,需θ盡可能大.又由于α為一常數(shù),易判斷θ－α＝∠ADC為銳角.故sin(θ－α)最大時(shí)θ最大.由(3)式可見,當(dāng)sin(θ＋β)＝1時(shí),sin(θ－α)有最大值,此時(shí)對(duì)應(yīng)為θ＝45°,由此β＝45°,則△CDB為等腰直角三角形.由(2)式可得

圖4

解法3:(等效法)如圖4所示,設(shè)人在B點(diǎn)剛好追上船,則人可能走多條路徑如A→C→B、A→D→B…等.在這些路徑中費(fèi)時(shí)最少對(duì)應(yīng)著允許的最大船速.如圖在湖岸這邊作∠NAP＝30°,自C、D、E各點(diǎn)分別向AP引垂線CK、DH(設(shè)B、D、H剛好在一直線上)和EF.設(shè)想圖中MN的下側(cè)也變成了湖水區(qū)域,則人由K點(diǎn)游泳至C點(diǎn)的時(shí)間與人在岸上由A走至C點(diǎn)的時(shí)間是相等的(因v1＝2v2,而AC＝2KC),故人按題給情況經(jīng)A→C→B所用的時(shí)間和假想人全部在水中游過路徑K→C→B相等.同理,與上述的另兩條實(shí)際路徑等時(shí)的假想路徑是H→D→B和F→E→B.由于在這些假想路徑中速度大小都一樣,故通過路徑最短費(fèi)時(shí)少,顯然是通過直線HDB費(fèi)時(shí)最少.

由以上分析可知,人沿等效路徑HDB剛好在B點(diǎn)追上船時(shí),對(duì)應(yīng)允許船速的最大值.設(shè)其速度為v則有由于△AHB為等腰直角三角形,則,故

解法4:(圖像法)如圖5所示,設(shè)人自開始運(yùn)動(dòng)歷時(shí)t.若人自一開始就跳入水中游泳,則他可以達(dá)到以A為圓心、以v2t為半徑的半圓形水面上的任何一點(diǎn).若他一直在岸上走,則可走到AF＝v1t的F點(diǎn).若他先在岸上走一段再入水中游,如在C、D、E各點(diǎn)入水,則可分別達(dá)到以C、D、E為圓心的較小的半圓形水面范圍內(nèi)的任何一點(diǎn).可見,只要選擇恰當(dāng)?shù)娜胨c(diǎn)和入水后恰當(dāng)?shù)挠蜗?人在時(shí)間t內(nèi)可達(dá)到圖5中PQF水面區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn),而此區(qū)域外的任何一點(diǎn),都不可達(dá)到.可見在時(shí)刻t時(shí),若船還在此區(qū)域內(nèi),則人總可以追到船,否則人將追不到船.臨界情況是船剛好在時(shí)刻t時(shí)到達(dá)此區(qū)域的邊界線上,如圖中的B處,此情況對(duì)應(yīng)允許的船速最大值.在直角ΔAKF中,由于AF＝2AK,所以∠AFK＝30°.

圖5

而∠ABF＝180°－(∠AFK＋α)＝135°.

在△ABF中有

又有

圖6

解法5:(演繹法),設(shè)船出發(fā)后歷時(shí)t被人追上,則船在t內(nèi)的位移為s＝vt,又設(shè)人在岸上走的時(shí)間為kt(0＜k＜1),位移為s1＝kv1t,則人在水中游泳時(shí)間為(1－k)t,對(duì)應(yīng)的位移為s2＝(1－k)tv2.上述3段位移構(gòu)成如圖6所示的封閉三角形.由余弦定理有

將s、s1、s2的函數(shù)式及v1、v2、α的值代入并整理有

將上式看作是關(guān)于k的二次方程,結(jié)合本題的實(shí)際可知它必有實(shí)數(shù)解,故應(yīng)有Δ≥0即解此不等式得由本題的條件可知,只能取即若要人能追上船,最大船速

圖7

解法6:(演繹法)如圖7所示,設(shè)人自岸上某處沿與岸成θ角的方向游去,恰與船相遇于B點(diǎn),設(shè)B點(diǎn)與岸相距為d,BA在岸上的投影長(zhǎng)為L(zhǎng),則人由A至B所歷的總時(shí)間為

上式說明t與θ有關(guān),且在d、L、v1、v2一定時(shí)由θ決定.現(xiàn)研究函數(shù)

有

將(3)式展開并整理有

將上式看成是關(guān)于cosθ的二次方程,則對(duì)應(yīng)每一個(gè)實(shí)際可能的過程,都應(yīng)有實(shí)數(shù)解,故

圖8

解法7:(矢量法)設(shè)人先在岸上走一段時(shí)間,在入水游泳追船.以船為參照物,由于人和船是同時(shí)由A出發(fā),則人在岸上走時(shí),船看到人正在由船所在位置逐漸“離去”,離去的相對(duì)速度為u1.人在水中游時(shí),船則看人正逐漸“返回”,其返回的相對(duì)速度為u2.要人“返回”到船上,則u1與u2必方向相反.

由速度合成的矢量三角形法則可知,u2矢量末端必終止在圖8所示的u1的反向延長(zhǎng)線上.為使v盡可能大,即要盡可能大(因v2的大小是恒定的),故圖中v2應(yīng)盡可能短,這對(duì)應(yīng)于v2與圖中虛線垂直的情況.同時(shí)由于v1＝2v2,可見圖中v2與v1的夾角為60°,則由－v、v2、u23個(gè)矢量組成一等腰直角三角形,故有

圖9

解法8:(比較法)如圖9所示設(shè)想MN為光的甲、乙兩介質(zhì)的分界面,光在甲介質(zhì)中的速度為v1,在乙介質(zhì)中的速度為v2,則當(dāng)乙介質(zhì)中的B點(diǎn)發(fā)出的光以臨界角入射到分界面上時(shí),將產(chǎn)生有折射光在甲介質(zhì)中沿界面由D至A的“掠射”現(xiàn)象.由費(fèi)馬原理,可知B→D→A是光線由B傳至A費(fèi)時(shí)最少的路徑.將此結(jié)論類比于本題中人由A點(diǎn)至B點(diǎn)的情況,即人應(yīng)取A→D→B的途徑費(fèi)時(shí)最少.(下同解法1,略)