數(shù)形結(jié)合：數(shù)學(xué)解題方法歸類敘論

尚會(huì)妍

天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院，天津 300221

數(shù)形結(jié)合：數(shù)學(xué)解題方法歸類敘論

尚會(huì)妍

天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院，天津 300221

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。它是通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的巧妙應(yīng)用，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，使問題能夠輕松得到解決，從而起到事半功倍的效果。

數(shù)形結(jié)合；以形助數(shù)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題過程中采用的重要方法，從小學(xué)到大學(xué)、研究生考試、數(shù)學(xué)競賽等都會(huì)涉及到數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。在解選擇題、填空題時(shí)更顯其優(yōu)越，注重培養(yǎng)這種思想意識，可以開拓學(xué)生的思維視野。本文就其應(yīng)用的幾種類型進(jìn)行歸納總結(jié)。

一、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題

例如：有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為 28，25，15，同時(shí)參加數(shù)、理小組的有8人，同時(shí)參加數(shù)、化小組的有6人，同時(shí)參加理、化小組的有7人，問同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人？

分析：用圓表示集合，用A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)，則三圓的公共部分則正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)，用n表示集合元素的個(gè)數(shù)。

解：如圖，

即 28＋25＋15－8－6－7＋n （A∩B∩C）=48， 則 n（A∩B∩C）=1，即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人。

二、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和關(guān)系問題

分析：若A∩B=φ，有如下圖兩種情況：

三、用一元二次函數(shù)的圖像解決方程問題

例如：若關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍。

分析：令f（x）=x2+2kx+3k，則f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解。

解：由圖可知，二次函數(shù)對稱軸為x=-k，要使二根都在-1和3之間，

四、利用函數(shù)圖像解決方程的近似解和解的個(gè)數(shù)問題

例1：解方程3x=2-x

分析：這是一個(gè)不規(guī)則的方程，直接解很困難，所以可以通過構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后把方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題就好做多了。

解：由已知函數(shù)y=3x和函數(shù)y=2-x，通過圖像可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的近似解。由圖可知方程的近似解為x≈0.4。

例2：求方程lgx-sinx=0的解的個(gè)數(shù)。

分析：此方程解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=lgx與y=sinx的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解：因?yàn)?sinx≤1，所以 lgx≤1?0＜x≤10，由圖可知兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)，故方程lgx-sinx=0有3個(gè)解。

五、利用幾何圖像解決函數(shù)問題

六、利用圖像解決平面幾何問題

例 2：如果實(shí)數(shù)滿足等式（x-2）2+y2=3，那么的最大值是什么？

分析：將本題理解成直線和圓的位置關(guān)系，通過畫圖就能很直觀地得出答案。

七、利用圖像解決立體幾何問題

例如：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離。

分析：通過圖像利用體積相等即可。

解：設(shè)點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離為h

當(dāng)然，利用數(shù)形結(jié)合來解題的類型和方法還有很多，這里不再一一列舉。通過研究使我們看到要在教學(xué)過程中逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習(xí)慣，使之成為分析問題和解決問題的工具。這樣既能提高解題的效率，又能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

［1］王君芬．例談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合［J］．黑龍江科技信息，2009，（14）.

［2］蔡東興．?dāng)?shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用［J］．高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2009，（2）.

［3］傅夢生．?dāng)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用策略研究［J］．科技咨詢導(dǎo)報(bào)，2007，（11）.

［4］康小玲，等．?dāng)?shù)形結(jié)合法［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002，（5）.

［5］袁小明．?dāng)?shù)學(xué)思想史導(dǎo)論［M］.南寧：廣西教育出版社，1991.

Symbolic－graphic Combination： An Analysis on Classification of Mathematic Problem－Solving Methods

SHANG Hui－yan
（Tianjin College of Commerce， Tianjin 300221）

As an important method to solve mathematic problems， symbolic－graphic combination plays a very important role in mathematics teaching．By “combining numbers with shapes”， a complicated problem can be simplified and an abstract one embodied．As a result， some difficult mathematical problems can be solved in a simple way， getting twofold results with half the effort．

Symbolic－graphic Combination；combining numbers with shapes

O141.13

A

2095－5537（2014）01－00086－03

2013-12-26

尚會(huì)妍（1978—），女，漢族，天津市人，天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

責(zé)任編輯：周曉華 張 旭