鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)地震失效模式優(yōu)化

李忠獻，王 虹，呂 楊，徐龍河

(1. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室，天津 300072；

2. 中國建筑設(shè)計研究院，北京 100044；3. 北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

地震作用下，建筑結(jié)構(gòu)的薄弱層或薄弱區(qū)域會先于其他部位出現(xiàn)損傷，如果受損部位的內(nèi)力和變形沒有被相鄰構(gòu)件分擔(dān)，在持續(xù)的地震作用下，損傷將在薄弱部位積累和發(fā)展，致使構(gòu)件的抗震性能退化并最終失效，并且結(jié)構(gòu)關(guān)鍵構(gòu)件的失效破壞還可能造成整體結(jié)構(gòu)的倒塌，因此，整體結(jié)構(gòu)的抗震性能由結(jié)構(gòu)的薄弱層或薄弱區(qū)域控制．若結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件的抗震性能相當，結(jié)構(gòu)不存在薄弱層或薄弱區(qū)域，則可以避免損傷在特定部位積累，結(jié)構(gòu)整體的抗震性能得到顯著提高，結(jié)構(gòu)材料強度等得到最大程度的利用．基于這種思想，Kim 等[1]通過優(yōu)化設(shè)計結(jié)構(gòu)的強度和剛度以達到結(jié)構(gòu)各層層間位移角相等的目的，其優(yōu)化方法的有效性通過數(shù)值算例進行了驗證，但結(jié)構(gòu)各層具有相同的層間位移角并不能保證結(jié)構(gòu)各層具有相同的抗震性能．因此，Hajirasouliha等[2]采用 Park-Ang雙參數(shù)損傷準則，分別基于質(zhì)量最輕和損傷最小兩種優(yōu)化方法對鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，并提出一種多目標最優(yōu)的設(shè)計方法，結(jié)果表明所提出的方法能有效地降低造價、提高結(jié)構(gòu)抗震能力．呂楊[3]提出了一種以鋼框架結(jié)構(gòu)層為優(yōu)化對象的優(yōu)化方法，結(jié)果表明，該優(yōu)化方法能夠有效提高結(jié)構(gòu)的抗震性能，且優(yōu)化后的鋼框架結(jié)構(gòu)用鋼量較初始結(jié)構(gòu)有顯著的減少．

筆者在文獻[3]的基礎(chǔ)上，提出一種以結(jié)構(gòu)柱為優(yōu)化對象的失效模式優(yōu)化方法，該方法以整體結(jié)構(gòu)的損傷指數(shù)為結(jié)構(gòu)優(yōu)化的約束方程和目標函數(shù)，通過修正結(jié)構(gòu)構(gòu)件參數(shù)如截面尺寸、配筋率或材料強度等達到優(yōu)化結(jié)構(gòu)整體失效模式的目的．并以某 12層鋼筋混凝土框架的 Benchmark模型結(jié)構(gòu)為例，通過數(shù)值分析驗證了新方法的實用性和有效性．

1 失效模式優(yōu)化設(shè)計

結(jié)構(gòu)失效模式優(yōu)化是在結(jié)構(gòu)損傷準則約束下，對結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的抗震性能進行迭代優(yōu)化，使結(jié)構(gòu)主要構(gòu)件具有相近的抗震性能．優(yōu)化方法需要定義結(jié)構(gòu)的損傷準則、目標函數(shù)和迭代過程．結(jié)構(gòu)損傷準則包括材料、構(gòu)件和整體結(jié)構(gòu) 3個層次，材料層次的損傷準則通過鋼材和混凝土的損傷本構(gòu)模型定義．

1.1 鋼材損傷本構(gòu)模型

Bonora等[4]基于連續(xù)性損傷力學(xué)提出了鋼材的彈塑性損傷本構(gòu)模型，模型采用非線性損傷演化法則，能夠較好地模擬鋼材的強度、剛度退化以及失效斷裂過程，與已有試驗對比分析表明模型具有很高的模擬精度，其損傷發(fā)展的基本方程為

李忠獻等[5]結(jié)合經(jīng)典的彈塑性力學(xué)理論，將上述損傷模型進行修正提出單軸的 Bonora損傷本構(gòu)模型，并通過LS-DYNA程序的二次開發(fā)將模型植入到有限元主程序中．

1.2 混凝土損傷本構(gòu)模型

Faria等[6]提出了一種混凝土的彈塑性損傷本構(gòu)模型，研究表明該模型參數(shù)少、標定簡單且計算效率高，適用于大型鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析，但其在模擬循環(huán)荷載作用下混凝土從壓到拉的剛度退化規(guī)律時效果欠佳．李正等[7]通過引入一個剛度影響因子來描述循環(huán)荷載作用下混凝土的單邊效應(yīng)，修正了原模型的缺陷，并基于混凝土 Faria-Oliver多軸損傷本構(gòu)模型提出了適用于纖維單元模型的修正Faria-Oliver損傷本構(gòu)模型．模型的拉、壓損傷演化方程為

式中：A+、A-、B-為模型參數(shù)；0r+、0r-為拉、壓損傷閾值的初始值．

1.3 結(jié)構(gòu)損傷準則

采用纖維單元模型模擬地震作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的方法能夠以較低的計算成本獲得很高的求解精度，本文采用針對纖維單元模型定義的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)構(gòu)件、結(jié)構(gòu)層以及整體結(jié)構(gòu)的損傷準則對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化．

將框架結(jié)構(gòu)按照柱構(gòu)件所處的位置、截面尺寸以及縱筋的配筋率等指標進行分類，并假定各類柱構(gòu)件的抗震性能相同．將框架結(jié)構(gòu)第j層第i類柱構(gòu)件的損傷指數(shù)定義為

采用式(4)得到柱構(gòu)件的損傷指數(shù)后，由于結(jié)構(gòu)每層各類柱以并聯(lián)的方式連接，將框架結(jié)構(gòu)層的損傷指數(shù)(damage index，DI)定義為該層各類柱構(gòu)件按照構(gòu)件重要性指數(shù)[8]的加權(quán)平均值，即

式中：jD為框架第j層損傷指數(shù)；ijω為第j層第i類柱構(gòu)件的重要性系數(shù)；,ijkfΔ為拆除結(jié)構(gòu)第j層第i類柱構(gòu)件中的任一柱構(gòu)件后，剩余結(jié)構(gòu)第k階頻率增量；fk為原始結(jié)構(gòu)第k階頻率．計算時，應(yīng)保證所取結(jié)構(gòu)頻率對應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量之和不小于結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量的90%.

得到結(jié)構(gòu)各層的 DI后，由于整體結(jié)構(gòu)是由各層串聯(lián)形成，定義框架結(jié)構(gòu)整體的損傷指數(shù)gD為所有結(jié)構(gòu)層中所具有的最大損傷值，即

1.4 失效模式優(yōu)化方法及流程

結(jié)構(gòu)的整體抗震性能由結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)控制，設(shè)想結(jié)構(gòu)各構(gòu)件具有相同的損傷值時，結(jié)構(gòu)不存在薄弱層或薄弱區(qū)域，具有最強的抗震性能，與此同時，結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的材料強度得以充分利用，在抗震性能優(yōu)化的基礎(chǔ)上實現(xiàn)最低的建造成本．基于上述等損傷指標的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法的優(yōu)化目標是減小結(jié)構(gòu)各層各柱構(gòu)件之間損傷值的差異，進而使結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的抗震性能相當．

圖 1為結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程示意，其中圖 1(a)為初始結(jié)構(gòu)，經(jīng)過損傷分析得到初始結(jié)構(gòu)第 m層第 n類柱構(gòu)件的損傷值 Dmn，圖1(b)中以各實心小球的半徑分別代表按照上述損傷準則確定的結(jié)構(gòu)各層損傷值的相對大小，根據(jù)初始結(jié)構(gòu)的損傷值大小并結(jié)合結(jié)構(gòu)在各地震動水平下的損傷程度及不同設(shè)防水準下結(jié)構(gòu)評估準則確定如圖 1(e)所示的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，其中，以半徑為 44的實心小球代表最優(yōu)結(jié)構(gòu)的目標層損傷值D0，實心小球半徑相等代表結(jié)構(gòu)各層損傷水平相當．檢測初始結(jié)構(gòu)的約束條件和收斂條件，按照預(yù)設(shè)步長ΔS1確定初始結(jié)構(gòu)優(yōu)化指標(截面尺寸、縱筋配筋率等)變化量(圖 1(b))，并以此更新優(yōu)化完畢的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)第m層第n類柱構(gòu)件優(yōu)化指標更新為

圖1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程示意Fig.1 Schematic of structure optimization process

分析得到優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各層各類柱的損傷值，圖1(c)為1步優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各層的損傷值，經(jīng)過優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各層的損傷值更趨于最優(yōu)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過 i步優(yōu)化后(圖 1（d)），最終實現(xiàn)最優(yōu)結(jié)構(gòu)的損傷水平，其中最優(yōu)結(jié)構(gòu)第m層第n類柱構(gòu)件優(yōu)化指標更新為

2 數(shù)值分析與驗證

2.1 Benchmark結(jié)構(gòu)模型

以12層Benchmark鋼筋混凝土框架為例，本工程抗震設(shè)防烈度為 9度，建筑場地類別為Ⅱ類，結(jié)構(gòu)底層層高 4.6,m，其余各層層高 4.0,m，結(jié)構(gòu)總高度為48.6,m，橫縱兩向各有 5跨，每跨的跨度為 7.6,m，樓板厚度為 120,mm，框架柱截面自底層向上每 4層改變1次截面，縱筋配筋率分別在第1、5、9層變化；各層梁截面尺寸相同，梁柱截面尺寸、配筋率和配箍率見文獻[9]．結(jié)構(gòu)平面及各類柱劃分如圖2所示．

圖2 結(jié)構(gòu)底層平面圖Fig.2 First floor plan of the structure

利用 ANSYS/LS-DYNA聯(lián)合建模求解技術(shù)，鋼筋混凝土框架梁柱均采用 Hughes-Liu非線性顯示纖維梁單元模擬，樓板采用分層殼單元模擬，為了更好地體現(xiàn)鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的動力特性，采用考慮 T型梁效應(yīng)的樓板與梁協(xié)同工作模型[10]，將樓板軸線上移至距離框架梁上表面一半板厚處，并假定樓板平面內(nèi)剛度無限大；框架柱沿軸向不均勻離散成 11個單元(柱頂及柱底較密)，框架梁沿軸向均勻離散成 5個單元，結(jié)構(gòu)有限元模型如圖 3所示．其中，鋼筋混凝土框架梁柱采用疊層梁單元法[11]模擬，且縱向鋼筋按照面積相等原則進行等效，梁柱混凝土截面均離散為49個纖維，鋼筋截面均離散為24個纖維；箍筋的約束效應(yīng)使核心區(qū)混凝土的抗壓強度和延性得到顯著的提高，假定約束區(qū)混凝土與普通混凝土遵循相同的損傷演化法則，則計算核心區(qū)混凝土的受壓強度和應(yīng)變[12]公式為

式中：f′cc和 f′c分別為核心區(qū)和普通混凝土的抗壓強度；ccε和suε分別為相應(yīng)的應(yīng)變；yhf為箍筋的屈服強度；sρ為箍筋的體積配箍率；α為箍筋對核心區(qū)混凝土的有效約束系數(shù)．

圖3 結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.3 Finite element model of the structure

模型采用剛性地基假定，并沿結(jié)構(gòu)基底輸入兩個方向水平地震動．圖 4所示為柱截面等效纖維單元離散示意．

圖4 柱截面等效纖維單元離散示意Fig.4 Equivalent fiber unit discrete of the column cross-section

2.2 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析

以峰值加速度(PGA)作為地震動強度指標，強震作用下 PGA調(diào)幅至 0.6g，分別對結(jié)構(gòu)基底輸入雙向的El-Centro、Loma Prieta和Kobe地震動，不同地震動作用下結(jié)構(gòu)各層各類柱的損傷包絡(luò)線如圖 5所示．圖中Z1、Z2、Z3和Z4分別代表圖2所示結(jié)構(gòu)各層的角柱、邊柱與中柱．

由圖 5可以看出，結(jié)構(gòu)各層的各類柱在 El-Centro波的作用下具有最大的動力響應(yīng)，且中柱具有最大的損傷值，邊柱次之，角柱最小．這是由于中柱受到的慣性力最大，而角柱最小導(dǎo)致的，結(jié)構(gòu)兩邊柱損傷值的差異主要是由 x和 y向地震動特性的差異造成的；相同地震動作用下各層各類柱的損傷值有差別，但各層損傷變化趨勢類似，結(jié)構(gòu)在 El-Centro波、Loma Prieta波以及Kobe波的作用下均表現(xiàn)為在第9層各類柱的損傷值曲線發(fā)生突變，原因是結(jié)構(gòu)在第 9層柱截面由 760,mm×760,mm變成 710,mm×710,mm，形成了薄弱層；而所選3條地震波作用下底層各柱的損傷值幾乎都高于其他非薄弱層，說明除第9層之外，底層也是結(jié)構(gòu)的薄弱層．

2.3 失效模式優(yōu)化分析

由圖 5可以看出，由于地震動發(fā)生的時間、空間以及峰值、持時等因素的隨機性，不同地震動作用下結(jié)構(gòu)各層各類柱的響應(yīng)不盡相同，為了避免地震動選取的隨機性對結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響，以最不利地震動作為地震激勵對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化．分析表明，在所選的 3條地震波中，El-Centro地震波激勵下結(jié)構(gòu)損傷最大．以各層各類柱的損傷值為目標函數(shù)，柱構(gòu)件縱筋配筋率為優(yōu)化變量，并根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的安全評估損傷等級指標[13]，優(yōu)化過程滿足所有構(gòu)件損傷值 D0不大于0.01，由于 Bonora損傷本構(gòu)模型定義鋼材的損傷值達到 0.065時認為其已經(jīng)破壞，所以，歸一化后的鋼材損傷值不大于 0.15．考慮結(jié)構(gòu)不同層不同種類柱構(gòu)件達到目標損傷值的收斂速度有所不同，所有柱構(gòu)件不可能同時達到目標損傷值，為了避免個別層柱構(gòu)件的損傷值在目標值附近出現(xiàn)較大浮動，設(shè)定結(jié)構(gòu)初始優(yōu)化的步長為 2,000,mm2，之后每優(yōu)化步的優(yōu)化步長均減小為 1,000,mm2，經(jīng)過 8步優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)構(gòu)件能夠基本滿足預(yù)設(shè)優(yōu)化條件，達到優(yōu)化目標．圖6所示為El-Centro波作用下結(jié)構(gòu)第1、4、8優(yōu)化步結(jié)構(gòu)各層各柱構(gòu)件的損傷包絡(luò)圖．第 8優(yōu)化步后最優(yōu)結(jié)構(gòu)的各層柱構(gòu)件縱筋配筋率如表1所示．

圖6 El-Centro波作用下結(jié)構(gòu)各層各柱構(gòu)件損傷包絡(luò)線Fig.6 Damage envelope curves for each type of column under El-Centro

表1 最優(yōu)結(jié)構(gòu)各層柱構(gòu)件配筋率Tab.1 Reinforcement ratio of the optimal structure %

2.4 優(yōu)化結(jié)果分析

對結(jié)構(gòu)進行層損傷分析，分別得到初始結(jié)構(gòu)和最優(yōu)結(jié)構(gòu)(第8優(yōu)化步后的結(jié)構(gòu))的層損傷發(fā)展過程，如圖6所示．

由圖 5(a)和圖 6(a)可以看出，上述優(yōu)化方法具有很快的收斂速度，經(jīng)過1次優(yōu)化后柱構(gòu)件損傷集中的現(xiàn)象有很大改善，損傷曲線較初始結(jié)構(gòu)更為平緩，結(jié)構(gòu)各層損傷分布更加均勻，但4層以上的角柱幾乎沒有損傷，各類柱構(gòu)件損傷值仍然存在較大差異．綜合圖 6可以看出，優(yōu)化過程中，各類柱損傷值差異逐漸減小，損傷分布愈加均勻，隨著優(yōu)化步數(shù)的增大，結(jié)構(gòu)各層柱向優(yōu)化目標的收斂速度逐漸減慢，結(jié)構(gòu)底層柱具有最快的收斂速度且在后期的各優(yōu)化步中有較好的穩(wěn)定性，經(jīng)過第 8優(yōu)化步之后，各層各類柱的損傷值幾乎都均勻收斂于預(yù)設(shè)目標，優(yōu)化效果明顯．

圖7 El-Centro波作用下結(jié)構(gòu)各層損傷發(fā)展過程Fig.7 Damage development process for each story of the structure under El-Centro

由圖 7(a)、(b)可以看出，初始結(jié)構(gòu)各層的損傷發(fā)展趨勢類似，結(jié)構(gòu)層損傷分別在x向地震動峰值加速度時刻(第2.1秒)、y向地震動峰值加速度時刻(第11.5秒)以及 x向、y向地震動幅值都相對較大時刻(第4.5秒左右)發(fā)展較快，損傷曲線出現(xiàn)爬升段，其他時刻損傷值緩慢增加，15,s后損傷值不再發(fā)生變化；但是結(jié)構(gòu)各層損傷值差別較大，其中損傷主要集中于首層，而第 12層幾乎沒有損傷．由圖 7(c)、(d)可以

看出，最優(yōu)結(jié)構(gòu)各層的損傷分布均勻，損傷集中得到了較好的控制．驗證了上述以框架結(jié)構(gòu)構(gòu)件為優(yōu)化對象的優(yōu)化方法的可行性及有效性．

通過上述結(jié)構(gòu)整體損傷的定義方法得到初始結(jié)構(gòu)、第2優(yōu)化步、第4優(yōu)化步以及最優(yōu)結(jié)構(gòu)的整體損傷發(fā)展，如圖8所示．

從圖8中可以看到，所采用的優(yōu)化方法具有很快的收斂速度，經(jīng)過 2步優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)整體損傷值有大幅減小，隨著結(jié)構(gòu)整體損傷接近目標損傷值，其優(yōu)化收斂速度逐漸下降；最優(yōu)結(jié)構(gòu)的整體損傷比初始結(jié)構(gòu)有顯著的減小，優(yōu)化并沒有改變整體結(jié)構(gòu)的損傷發(fā)展趨勢，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在非地震動峰值時刻損傷發(fā)展平穩(wěn)而緩慢，與最優(yōu)結(jié)構(gòu)相比，初始結(jié)構(gòu)在非地震動峰值時刻損傷發(fā)展相對較快，峰值時刻過后損傷值持續(xù)增加，這是由地震作用下初始結(jié)構(gòu)損傷集中于底層使得結(jié)構(gòu)損傷閾值下降導(dǎo)致的．結(jié)構(gòu)整體損傷分析證明上述優(yōu)化方法能夠有效顯著地提高結(jié)構(gòu)的抗震性能.

圖8 結(jié)構(gòu)整體損傷發(fā)展過程Fig.8 Damage development process of the structure

3 結(jié) 語

本文采用針對纖維單元模型定義的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)構(gòu)件、結(jié)構(gòu)層以及整體結(jié)構(gòu)的損傷準則，以結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷值相等為目標，對強震作用下的鋼筋混凝凝土框架結(jié)構(gòu)的失效模式進行了優(yōu)化．以 12層的Benchmark鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，對雙向 El-Centro地震作用下的結(jié)構(gòu)進行了以柱構(gòu)件為對象的優(yōu)化，結(jié)果表明最優(yōu)結(jié)構(gòu)各層各柱構(gòu)件基本能夠滿足預(yù)設(shè)的優(yōu)化目標；綜合結(jié)構(gòu)層以及整體結(jié)構(gòu)的損傷分析結(jié)果，所采用的優(yōu)化方法具有以下優(yōu)點：能夠有效地控制結(jié)構(gòu)層的損傷集中現(xiàn)象，使結(jié)構(gòu)層的損傷沿樓層分布更加均勻，薄弱層的損傷值減??；鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的抗震性能得到顯著的提高．

［1］ Kim J，Seo Y. Seismic design of low-rise steel frames with buckling-restrained braces [J].Engineering Structure，2004，26(5)：543-551.

［2］ Hajirasouliha Iman，Asadi Payam，Pilakoutas Kypros.An efficient performance-based seismic design method for reinforced concrete frames[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamic，2012，41(4)：663-679.

［3］ 呂 楊. 高層建筑結(jié)構(gòu)地震失效模式優(yōu)化及損傷控制研究[D]. 天津：天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，2012.

Lü Yang. Failure Mode Optimization and Damage Control of Tall Building Structures Under Seismic Excitations [D]. Tianjin：School of Civil Engineering，Tianjin University，2012(in Chinese).

［4］ Pirondi A，Bonora N. Simulation of failure under cyclic plastic loading by damage models [J].International Journal of Plasticity，2006，22(11)：2146-2170.

［5］ 李忠獻，呂 楊，徐龍河，等. 高層鋼框架結(jié)構(gòu)地震失效模式優(yōu)化及損傷控制研究進展[J]. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，2011，32(12)：62-70.

Li Zhongxian，Lü Yang，Xu Longhe，et al. Advances in failure mode optimization and damage control for highrise steel frames during earthquake [J].Journal of Building Structures，2011，32(12)：62-70(in Chinese).

［6］ Faria R，Oliver J. ARate Dependent Plastic-Damage Constitutive Model for Large Scale Computations in Concrete Structures[M]. Barcelona，Spain：CIMNE，1993.

［7］ 李 正，李忠獻. 一種修正的混凝土彈性損傷本構(gòu)模型及其應(yīng)用[J]. 工程力學(xué)，2011，28(8)：145-150.

Li Zheng，Li Zhongxian. A modified elastic damage constitutive model of concrete and its applications [J].Engineering Mechanics，2011，28(8)：145-150(in Chinese).

［8］ 呂 楊，徐龍河，李忠獻，等. 應(yīng)用纖維單元模型的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)損傷與失效分析[J]. 天津大學(xué)學(xué)報，2011，44(10)：925-929.

Lü Yang，Xu Longhe，Li Zhongxian，et al. Damage and failure analysis of reinforced concrete frame structure using fiber element model [J].Journal of Tianjin University，2011，44(10)：925-929(in Chinese).

［9］ Haselton C B，Goulet C A，Mitrani-Reiser J，et al. An Assessment to Benchmark the Seismic Performance of a Code-Conforming Reinforced Concrete Moment-Frame Building [R]. Berkeley，2008.

［10］ 王洪濤，謝禮立. 考慮樓板作用的鋼筋混凝土框架有限元模型及并行計算效率[J]. 地震工程與工程振動，2009，29(1)：63-69.

Wang Hongtao，Xie Lili. Finite element model of RC frame structures and efficiency of parallel computation[J]. Journal of Earthquake Engineering and EngineeringVibration，2009，29(1)：63-69(in Chinese).

［11］ Susantha K A S，Ge H B，Usami T. Cyclic analysis and capacity prediction of concrete-filled steel box columns[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2002，31(2)：195-216.

［12］ Panagiotakos T B，F(xiàn)ardis M N. Deformations of reinforced concrete members at yielding and ultimate [J].Structural Journal，2001，98(2)：135-148.

［13］ 楊佑發(fā)，崔 波. 框架結(jié)構(gòu)爆破地震的損傷評估[J].振動與沖擊，2009，28(10)：191-194，234.

Yang Youfa，Cui Bo. Damage assessment of a frame structure due to blasting induced ground motions [J].Journal of Vibration and Shock，2009，28(10)：191-194，234(in Chinese).