“利用頻率估計(jì)概率”用處大

陳世亨

同學(xué)們，我們知道，在日常生活中，有很多事情我們事先無(wú)法肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事件就是隨機(jī)事件. 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，它發(fā)生的可能性的大小是由它自身決定的，并且是客觀存在的，就好比一根木棒有長(zhǎng)度、一塊土地有面積一樣. 概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，求某事件的概率的實(shí)質(zhì)與測(cè)量長(zhǎng)度和面積一樣平常. 在實(shí)際操作中，我們可以用頻率估計(jì)概率. 雖然誰(shuí)也無(wú)法預(yù)測(cè)隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生，但是在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，擺動(dòng)的幅度會(huì)減少，這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性. 人們常把試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計(jì)值.

例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少的時(shí)候，“正面朝上”的頻率有可能是0，也有可能是1或0與1之間的其他數(shù)值，但從義務(wù)教育教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第46頁(yè)上“統(tǒng)計(jì)學(xué)家歷次做‘拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)的結(jié)果”表中可以看出，隨機(jī)事件“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上”發(fā)生與否具有隨機(jī)性，在不同試驗(yàn)中，同一個(gè)事件發(fā)生的頻率可以彼此不相等，但是在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，“正面朝上”的頻率會(huì)穩(wěn)定在0.5左右. 其實(shí)，拋擲質(zhì)地均勻的硬幣“正面朝上”的概率為0.5. 利用隨機(jī)事件的頻率來(lái)估計(jì)它的概率可以解決一類概率問(wèn)題.

首先，同學(xué)們對(duì)頻率和概率的關(guān)系要有正確的理解.

例1 下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A. 一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)擲了2 000次，其中拋擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少，則第2 001次一定拋擲出5點(diǎn)

B. 某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%，因此買100 張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的時(shí)間降雨

D. 拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等

解：A、B、C中的事件都是隨機(jī)事件，故 A、B、C均是錯(cuò)誤的. A選項(xiàng)試驗(yàn)中的每一次的拋擲都是相互獨(dú)立的，第2 001次的拋擲與前面的試驗(yàn)結(jié)果沒有任何關(guān)系. 有學(xué)生認(rèn)為前2 000次試驗(yàn)中5點(diǎn)次數(shù)最少，而平時(shí)老師所講的各點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，所以產(chǎn)生了從總體上來(lái)看這一次出現(xiàn)5點(diǎn)的可能性極大的錯(cuò)覺. B選項(xiàng)和C選項(xiàng)都是錯(cuò)誤認(rèn)為概率等同于頻率. D選項(xiàng)中，釘尖觸地與釘尖朝上并不是等可能性的， 因此出現(xiàn)的概率不相等. 故選D.

頻率與概率是有差別的，隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率也是隨機(jī)的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)， 它接近該事件的概率. 因此，我們可利用它計(jì)算概率，但它并不就是該事件的概率. 任何一個(gè)隨機(jī)事件的概率都是一個(gè)定值.

那么，用頻率估計(jì)概率的一般步驟有哪些呢？下面這個(gè)問(wèn)題一定能給我們啟發(fā).

（1） 請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近_______.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.

（3） 試估算口袋中黑白兩種顏色的球各有多少只？

（4） 解決了上面的問(wèn)題后，小明猛然醒悟，過(guò)去一個(gè)懸而未決的問(wèn)題有辦法解決了. 這個(gè)問(wèn)題是：在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下，如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)（可借助其他工具及用品）. 請(qǐng)你寫出解決這個(gè)問(wèn)題的主要步驟及估算方法.

在現(xiàn)實(shí)生活中，能夠直接計(jì)算概率的事件極為有限，多數(shù)情況下要通過(guò)觀察和試驗(yàn). 必須在相等條件下，用簡(jiǎn)單易行的試驗(yàn)來(lái)代替不易實(shí)行操作或不可能實(shí)際操作的試驗(yàn).

通過(guò)上述解題思路，可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，我們來(lái)看下面這個(gè)問(wèn)題.

例3 王老漢想把自家魚塘里的魚賣給客戶，為了與客戶簽訂購(gòu)銷合同，想對(duì)自己魚塘中魚的總質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)，請(qǐng)你運(yùn)用概率的知識(shí)幫他設(shè)計(jì)一個(gè)方法，估計(jì)魚塘中有多少條魚？共大約多少千克？

池塘里每一條魚被撈出來(lái)的機(jī)會(huì)是相同的，做了記號(hào)的魚占魚群的比例，與撈出的做了記號(hào)的魚和撈出魚數(shù)的比值應(yīng)當(dāng)一致，由此可估計(jì)池塘中魚的條數(shù)，從而得出魚的總重量.

總之，頻率是試驗(yàn)數(shù)據(jù)，是變化的，而概率是理論數(shù)據(jù)，是確定的. 頻率在一定程度上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)大量且重復(fù)時(shí)，其值在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)作為概率的估計(jì)值. 利用頻率估計(jì)概率對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有很大作用.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）endprint

同學(xué)們，我們知道，在日常生活中，有很多事情我們事先無(wú)法肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事件就是隨機(jī)事件. 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，它發(fā)生的可能性的大小是由它自身決定的，并且是客觀存在的，就好比一根木棒有長(zhǎng)度、一塊土地有面積一樣. 概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，求某事件的概率的實(shí)質(zhì)與測(cè)量長(zhǎng)度和面積一樣平常. 在實(shí)際操作中，我們可以用頻率估計(jì)概率. 雖然誰(shuí)也無(wú)法預(yù)測(cè)隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生，但是在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，擺動(dòng)的幅度會(huì)減少，這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性. 人們常把試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計(jì)值.

例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少的時(shí)候，“正面朝上”的頻率有可能是0，也有可能是1或0與1之間的其他數(shù)值，但從義務(wù)教育教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第46頁(yè)上“統(tǒng)計(jì)學(xué)家歷次做‘拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)的結(jié)果”表中可以看出，隨機(jī)事件“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上”發(fā)生與否具有隨機(jī)性，在不同試驗(yàn)中，同一個(gè)事件發(fā)生的頻率可以彼此不相等，但是在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，“正面朝上”的頻率會(huì)穩(wěn)定在0.5左右. 其實(shí)，拋擲質(zhì)地均勻的硬幣“正面朝上”的概率為0.5. 利用隨機(jī)事件的頻率來(lái)估計(jì)它的概率可以解決一類概率問(wèn)題.

首先，同學(xué)們對(duì)頻率和概率的關(guān)系要有正確的理解.

例1 下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A. 一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)擲了2 000次，其中拋擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少，則第2 001次一定拋擲出5點(diǎn)

B. 某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%，因此買100 張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的時(shí)間降雨

D. 拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等

解：A、B、C中的事件都是隨機(jī)事件，故 A、B、C均是錯(cuò)誤的. A選項(xiàng)試驗(yàn)中的每一次的拋擲都是相互獨(dú)立的，第2 001次的拋擲與前面的試驗(yàn)結(jié)果沒有任何關(guān)系. 有學(xué)生認(rèn)為前2 000次試驗(yàn)中5點(diǎn)次數(shù)最少，而平時(shí)老師所講的各點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，所以產(chǎn)生了從總體上來(lái)看這一次出現(xiàn)5點(diǎn)的可能性極大的錯(cuò)覺. B選項(xiàng)和C選項(xiàng)都是錯(cuò)誤認(rèn)為概率等同于頻率. D選項(xiàng)中，釘尖觸地與釘尖朝上并不是等可能性的， 因此出現(xiàn)的概率不相等. 故選D.

頻率與概率是有差別的，隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率也是隨機(jī)的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)， 它接近該事件的概率. 因此，我們可利用它計(jì)算概率，但它并不就是該事件的概率. 任何一個(gè)隨機(jī)事件的概率都是一個(gè)定值.

那么，用頻率估計(jì)概率的一般步驟有哪些呢？下面這個(gè)問(wèn)題一定能給我們啟發(fā).

（1） 請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近_______.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.

（3） 試估算口袋中黑白兩種顏色的球各有多少只？

（4） 解決了上面的問(wèn)題后，小明猛然醒悟，過(guò)去一個(gè)懸而未決的問(wèn)題有辦法解決了. 這個(gè)問(wèn)題是：在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下，如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)（可借助其他工具及用品）. 請(qǐng)你寫出解決這個(gè)問(wèn)題的主要步驟及估算方法.

在現(xiàn)實(shí)生活中，能夠直接計(jì)算概率的事件極為有限，多數(shù)情況下要通過(guò)觀察和試驗(yàn). 必須在相等條件下，用簡(jiǎn)單易行的試驗(yàn)來(lái)代替不易實(shí)行操作或不可能實(shí)際操作的試驗(yàn).

通過(guò)上述解題思路，可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，我們來(lái)看下面這個(gè)問(wèn)題.

例3 王老漢想把自家魚塘里的魚賣給客戶，為了與客戶簽訂購(gòu)銷合同，想對(duì)自己魚塘中魚的總質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)，請(qǐng)你運(yùn)用概率的知識(shí)幫他設(shè)計(jì)一個(gè)方法，估計(jì)魚塘中有多少條魚？共大約多少千克？

池塘里每一條魚被撈出來(lái)的機(jī)會(huì)是相同的，做了記號(hào)的魚占魚群的比例，與撈出的做了記號(hào)的魚和撈出魚數(shù)的比值應(yīng)當(dāng)一致，由此可估計(jì)池塘中魚的條數(shù)，從而得出魚的總重量.

總之，頻率是試驗(yàn)數(shù)據(jù)，是變化的，而概率是理論數(shù)據(jù)，是確定的. 頻率在一定程度上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)大量且重復(fù)時(shí)，其值在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)作為概率的估計(jì)值. 利用頻率估計(jì)概率對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有很大作用.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）endprint

同學(xué)們，我們知道，在日常生活中，有很多事情我們事先無(wú)法肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事件就是隨機(jī)事件. 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，它發(fā)生的可能性的大小是由它自身決定的，并且是客觀存在的，就好比一根木棒有長(zhǎng)度、一塊土地有面積一樣. 概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，求某事件的概率的實(shí)質(zhì)與測(cè)量長(zhǎng)度和面積一樣平常. 在實(shí)際操作中，我們可以用頻率估計(jì)概率. 雖然誰(shuí)也無(wú)法預(yù)測(cè)隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生，但是在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，擺動(dòng)的幅度會(huì)減少，這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性. 人們常把試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計(jì)值.

例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少的時(shí)候，“正面朝上”的頻率有可能是0，也有可能是1或0與1之間的其他數(shù)值，但從義務(wù)教育教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第46頁(yè)上“統(tǒng)計(jì)學(xué)家歷次做‘拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)的結(jié)果”表中可以看出，隨機(jī)事件“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上”發(fā)生與否具有隨機(jī)性，在不同試驗(yàn)中，同一個(gè)事件發(fā)生的頻率可以彼此不相等，但是在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，“正面朝上”的頻率會(huì)穩(wěn)定在0.5左右. 其實(shí)，拋擲質(zhì)地均勻的硬幣“正面朝上”的概率為0.5. 利用隨機(jī)事件的頻率來(lái)估計(jì)它的概率可以解決一類概率問(wèn)題.

首先，同學(xué)們對(duì)頻率和概率的關(guān)系要有正確的理解.

例1 下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A. 一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)擲了2 000次，其中拋擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少，則第2 001次一定拋擲出5點(diǎn)

B. 某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%，因此買100 張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C. 明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的時(shí)間降雨

D. 拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等

解：A、B、C中的事件都是隨機(jī)事件，故 A、B、C均是錯(cuò)誤的. A選項(xiàng)試驗(yàn)中的每一次的拋擲都是相互獨(dú)立的，第2 001次的拋擲與前面的試驗(yàn)結(jié)果沒有任何關(guān)系. 有學(xué)生認(rèn)為前2 000次試驗(yàn)中5點(diǎn)次數(shù)最少，而平時(shí)老師所講的各點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，所以產(chǎn)生了從總體上來(lái)看這一次出現(xiàn)5點(diǎn)的可能性極大的錯(cuò)覺. B選項(xiàng)和C選項(xiàng)都是錯(cuò)誤認(rèn)為概率等同于頻率. D選項(xiàng)中，釘尖觸地與釘尖朝上并不是等可能性的， 因此出現(xiàn)的概率不相等. 故選D.

頻率與概率是有差別的，隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率也是隨機(jī)的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)， 它接近該事件的概率. 因此，我們可利用它計(jì)算概率，但它并不就是該事件的概率. 任何一個(gè)隨機(jī)事件的概率都是一個(gè)定值.

那么，用頻率估計(jì)概率的一般步驟有哪些呢？下面這個(gè)問(wèn)題一定能給我們啟發(fā).

（1） 請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近_______.

（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.

（3） 試估算口袋中黑白兩種顏色的球各有多少只？

（4） 解決了上面的問(wèn)題后，小明猛然醒悟，過(guò)去一個(gè)懸而未決的問(wèn)題有辦法解決了. 這個(gè)問(wèn)題是：在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下，如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)（可借助其他工具及用品）. 請(qǐng)你寫出解決這個(gè)問(wèn)題的主要步驟及估算方法.

在現(xiàn)實(shí)生活中，能夠直接計(jì)算概率的事件極為有限，多數(shù)情況下要通過(guò)觀察和試驗(yàn). 必須在相等條件下，用簡(jiǎn)單易行的試驗(yàn)來(lái)代替不易實(shí)行操作或不可能實(shí)際操作的試驗(yàn).

通過(guò)上述解題思路，可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，我們來(lái)看下面這個(gè)問(wèn)題.

例3 王老漢想把自家魚塘里的魚賣給客戶，為了與客戶簽訂購(gòu)銷合同，想對(duì)自己魚塘中魚的總質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)，請(qǐng)你運(yùn)用概率的知識(shí)幫他設(shè)計(jì)一個(gè)方法，估計(jì)魚塘中有多少條魚？共大約多少千克？

池塘里每一條魚被撈出來(lái)的機(jī)會(huì)是相同的，做了記號(hào)的魚占魚群的比例，與撈出的做了記號(hào)的魚和撈出魚數(shù)的比值應(yīng)當(dāng)一致，由此可估計(jì)池塘中魚的條數(shù)，從而得出魚的總重量.

總之，頻率是試驗(yàn)數(shù)據(jù)，是變化的，而概率是理論數(shù)據(jù)，是確定的. 頻率在一定程度上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)大量且重復(fù)時(shí)，其值在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)作為概率的估計(jì)值. 利用頻率估計(jì)概率對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有很大作用.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）endprint