考慮地球自轉(zhuǎn)的探月返回反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計(jì)*

王澤國(guó)，孟 斌

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

0 引言

近些年，多國(guó)對(duì)探月任務(wù)表現(xiàn)出極大興趣，其中探月返回再入制導(dǎo)是探月任務(wù)中需要解決的關(guān)鍵技術(shù).再入制導(dǎo)方法中一種常用的方法是標(biāo)準(zhǔn)軌道法，分為軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤兩部分內(nèi)容，分別是設(shè)計(jì)離線參考軌跡以及設(shè)計(jì)在線軌跡跟蹤制導(dǎo)律［1］.

對(duì)于軌跡跟蹤問題，一般采用反饋線性化方法.航天飛機(jī)的軌跡跟蹤制導(dǎo)律即采用了一種類似的反饋線性化方法［2-3］.Roenneke 等［4］針對(duì)一種小升阻比飛行器設(shè)計(jì)了反饋線性化方法跟蹤制導(dǎo)律.Garcia-Llama［5］針對(duì)跳躍式再入軌跡中的初次進(jìn)入段設(shè)計(jì)參考軌跡及反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律.上述文獻(xiàn)均未考慮地球自轉(zhuǎn)的影響.探月返回一般采用的是跳躍式再入軌跡.跳躍式軌跡所需飛行時(shí)間較長(zhǎng)，并且探月返回飛行器升阻比較低，地球自轉(zhuǎn)對(duì)于制導(dǎo)精度具有更大影響.當(dāng)考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，再入動(dòng)力學(xué)更加復(fù)雜，給制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)帶來(lái)一定困難.因此，研究考慮地球自轉(zhuǎn)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題具有重要意義.

本文研究考慮地球自轉(zhuǎn)的探月返回跳躍式再入的縱向平面軌跡跟蹤問題.首先介紹了航天飛機(jī)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律，分析了地球自轉(zhuǎn)對(duì)于航天飛機(jī)制導(dǎo)精度的影響問題.然后針對(duì)考慮地球自轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)方程，設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)化的反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律，并分析了設(shè)計(jì)機(jī)理.最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律的有效性.

1 問題描述和預(yù)備知識(shí)

考慮縱向平面動(dòng)力學(xué)方程［6］

其中，

本文考慮探月返回跳躍式再入的縱向平面軌跡跟蹤問題.由于D容易測(cè)量、易于航程計(jì)算以及滿足軌跡過載約束，一般選取D作為跟蹤變量［7］.本文針對(duì)式(1)設(shè)計(jì)σ，使得D跟蹤參考阻力.

本文設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)化的反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律.針對(duì)反饋線性化方法的設(shè)計(jì)要求，在文獻(xiàn)［7］中，研究了縱向動(dòng)力學(xué)(1)的性質(zhì)，為制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ).下面給出相關(guān)假設(shè)和引理.

假設(shè)1.在跳躍式軌跡中，記飛行器躍出大氣層時(shí)的狀態(tài)為(rt，Vt，γt).躍出后遠(yuǎn)地點(diǎn)地心距rA可以表示為

注1.一般來(lái)說(shuō)，假設(shè)1在實(shí)際中是滿足的.當(dāng)rA較大時(shí)，大氣層外飛行時(shí)間較長(zhǎng)，容易導(dǎo)致二次再入誤差較大.因此一般情況下假設(shè)2.將阻力按照的符號(hào)進(jìn)行分段.對(duì)于D·≥0(不包括僅=0的單點(diǎn)情形)和＜0段，記各段的時(shí)間長(zhǎng)度為Ti，i=1，2，… .假設(shè)

這里wT為常數(shù).

引理1.針對(duì)式(1)，當(dāng)cosγ≠0時(shí)，如果選擇D作為輸出，那么式(1)的相對(duì)階為2;并且由狀態(tài)(r，V，γ)到狀態(tài)(D，D·，V)的坐標(biāo)變換為微分同胚變換.

引理2.針對(duì)式(1)，如果假設(shè)1和2成立，則速度內(nèi)動(dòng)態(tài)是有界輸入有界狀態(tài)的.

一般來(lái)說(shuō)，假設(shè)2是滿足的，結(jié)合注1可知，引理1和2成立.在此基礎(chǔ)上，可以針對(duì)(D，D·)的二階動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律.

2 地球自轉(zhuǎn)對(duì)航天飛機(jī)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律的影響分析

2.1 航天飛機(jī)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律

航天飛機(jī)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律是針對(duì)不考慮地球自轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)的.當(dāng)WV=Wγ=0時(shí)，將式(1)重寫為

在本文中，把相應(yīng)變量加上劃線“-”表示不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)的變量.首先推導(dǎo)阻力微分方程.對(duì)

其中，

其中，

則式(7)轉(zhuǎn)化為

由式(8)，可以得到航天飛機(jī)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律:

其中，

（3）蓄滯洪區(qū)內(nèi)桿塔采用墩柱式基礎(chǔ)，阻水比不足0.001%，壅水高度不足0.0968m，對(duì)行洪基本沒有影響。31個(gè)塔基占用蓄滯洪區(qū)容積0.15萬(wàn)m2，不足容積的百萬(wàn)分之八，對(duì)蓄滯洪區(qū)的運(yùn)用基本沒有影響。

2.2 地球自轉(zhuǎn)影響分析

首先推導(dǎo)考慮地球自轉(zhuǎn)的阻力導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.由式(2)可得

其中

考慮相同狀態(tài)下地球自轉(zhuǎn)對(duì)阻力導(dǎo)數(shù)影響，將式(10)和式(4)作差可得

由于γ和Ω較小，并且與它們相乘的量也較小，可見地球自轉(zhuǎn)對(duì)于阻力一階導(dǎo)數(shù)的影響很小.因此在下面的推導(dǎo)中假設(shè)，進(jìn)一步由式 (5)和式(11)，可以表示為

在式(13)的推導(dǎo)中，由于sinγ和Ω較小，忽略了sinγ與WV，Wγ及自身的乘積，并將sinγ用方程(4)表示［2］.比較式(13)與式(5)可知，當(dāng)考慮地球自轉(zhuǎn)后含有-βDVWγ與 2D2WV/V2兩項(xiàng)，其中-βDVWγ影響較大，該項(xiàng)隨時(shí)間的變化如圖1所示，在70 s左右達(dá)到了-700左右.從該項(xiàng)的表達(dá)式可以看出，阻力對(duì)該項(xiàng)有較大影響，所以70 s左右達(dá)到最大值.

圖1 地球自轉(zhuǎn)對(duì)于阻力二階導(dǎo)數(shù)的影響Fig.1 The impact of the Earth rotation on the second derivative of drag

3 考慮地球自轉(zhuǎn)的反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

首先對(duì)式(11)中的a和b進(jìn)行簡(jiǎn)化，記為和，即

則式(11)簡(jiǎn)化為

用Dr表示參考軌跡，則有

其中和是式(14)中和在參考軌跡上的值.由式(15)和式(16)可得

其中，

則式(17)轉(zhuǎn)化為

由式(18)設(shè)計(jì)反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律

其中，

kd，kp，ki是需要設(shè)計(jì)的參數(shù).

4 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)機(jī)理分析

通過對(duì)式(12)中b等號(hào)右邊的三項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值分析可知，其第一項(xiàng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他兩項(xiàng)，因此，在下面的分析中假設(shè)將式(19)代入式(18)，并利用式(17)，可得

下面從兩方面內(nèi)容分析設(shè)計(jì)機(jī)理.一方面與精確反饋線性化方法比較.如果制導(dǎo)律采用精確反饋線性化方法，那么

與式(20)對(duì)比可見上節(jié)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的阻力偏差二階方程中包含項(xiàng)，所以地球自轉(zhuǎn)對(duì)于所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律仍有影響.

另一方面與航天飛機(jī)制導(dǎo)律比較.航天飛機(jī)制導(dǎo)律中所跟蹤的參考軌跡為，那么

5 數(shù)值仿真

本節(jié)利用數(shù)學(xué)仿真研究所設(shè)計(jì)的跟蹤制導(dǎo)律(19)的跟蹤效果和魯棒性，并且與航天飛機(jī)跟蹤制導(dǎo)律(9)的跟蹤效果進(jìn)行了仿真對(duì)比.在數(shù)學(xué)仿真中，針對(duì)考慮地球自轉(zhuǎn)的動(dòng)力學(xué)方程(1)，以Apollo作為研究對(duì)象，飛行器參數(shù)和再入初始狀態(tài)見文獻(xiàn)［9］;跟蹤曲線Dr通過積分式(1)和式(10)得到，其中輸入σ按照文獻(xiàn)［9］的方法進(jìn)行設(shè)計(jì);跟蹤制導(dǎo)律按照式(19)進(jìn)行設(shè)計(jì)，其中參數(shù)取kd=450，kp=1 300，ki=500.不確定性考慮初始狀態(tài)偏差和環(huán)境參數(shù)偏差，具體取值見表1.在標(biāo)稱情形下阻力跟蹤仿真結(jié)果和傾側(cè)角曲線如圖2～3所示，可見所設(shè)計(jì)的跟蹤制導(dǎo)律可以實(shí)現(xiàn)有效跟蹤.表2分別給出了本文方法和航天飛機(jī)跟蹤制導(dǎo)律(9)的仿真結(jié)果，其中序號(hào)0為標(biāo)稱情形下的仿真結(jié)果，序號(hào)1～4為不確定情形下的仿真結(jié)果，不確定性的具體取值見表1.由表2可知，采用航天飛機(jī)制導(dǎo)律時(shí)，在情況2下出現(xiàn)較大的阻力跟蹤偏差，而采用本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律制導(dǎo)偏差在所考慮情況中均較小，具有更好的跟蹤效果.

表1 不同情況下仿真參數(shù)說(shuō)明Tab.1 Simulation parameters in different conditions

表2 不確定性下終點(diǎn)偏差比較Tab.2 Final states deviation comparisons between traditional and proposed methods with uncertainties

圖2 標(biāo)稱狀態(tài)下阻力跟蹤曲線Fig.2 Drag tracking using proposed method with nominal initial states

圖3 標(biāo)稱狀態(tài)下傾側(cè)角曲線Fig.3 Bank angle profile using proposed method with nominal initial states

6 結(jié)論

本文考慮探月返回飛行器軌跡跟蹤問題.通過對(duì)航天飛機(jī)制導(dǎo)律的介紹，給出地球自轉(zhuǎn)對(duì)于阻力跟蹤制導(dǎo)律的影響分析.得到地球自轉(zhuǎn)對(duì)未引入反饋的航天飛機(jī)制導(dǎo)律影響較大以及地球自轉(zhuǎn)影響需要通過反饋設(shè)計(jì)補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)論.最后設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的考慮地球自轉(zhuǎn)的反饋線性化跟蹤制導(dǎo)律，并分析了設(shè)計(jì)的機(jī)理.在未引入反饋?zhàn)饔脮r(shí)，標(biāo)稱狀態(tài)下仍具有很好的跟蹤效果.而引入反饋?zhàn)饔煤?，在初始狀態(tài)偏差和環(huán)境不確定性下與航天飛機(jī)制導(dǎo)律相比具有更好的跟蹤結(jié)果，可以有效跟蹤阻力參考軌跡.

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