空間交會中多圈Lambert問題的算法改進與實現(xiàn)

衛(wèi) 強，李新洪，王 剛

(裝備學院，北京101416)

0 引言

推進劑質(zhì)量是制約航天器全壽命的主要因素之一.推進劑消耗一般以軌道控制最多.空間交會需要追蹤航天器向目標航天器軌道進行遠距離軌道轉(zhuǎn)移，能耗問題更加突出.在滿足各類約束條件下，尋找能耗最少的轉(zhuǎn)移軌道很有必要.在時間較長的共面圓軌道雙沖量交會中，當對交會點沒有要求時，一般多采用霍曼轉(zhuǎn)移，而霍曼轉(zhuǎn)移是Lambert轉(zhuǎn)移的一種特殊形式.追蹤航天器在轉(zhuǎn)移軌道上運行不足一圈為單圈Lambert轉(zhuǎn)移，一圈及一圈以上為多圈Lambert轉(zhuǎn)移.

目前國內(nèi)外對多圈Lambert問題已有一些較為深入的研究，文獻［1］和［2］分別給出了一種算法，但效率都不高.文獻［3］利用普適變量與轉(zhuǎn)移時間的函數(shù)關系，提出了另一種魯棒性很強的算法.文獻［4］簡要闡述了一種類似于文獻［3］的算法.文獻［5］與［6］提出了一種基于雙縱坐標的工程圖解法，可以直觀地找到轉(zhuǎn)移軌道最優(yōu)解，還提出了交會始末位置不固定的多圈轉(zhuǎn)移設想.文獻［7］為將多圈Lambert問題算法置于遺傳算法的內(nèi)層進行優(yōu)化，利用文獻［5］與［6］提出的工程圖解法進行了最優(yōu)解集分析，然而其對最優(yōu)解集的劃定并不完全，在某些情況下可能會遺漏最優(yōu)解.文獻［8］針對大橢圓軌道的交會，結(jié)合一種輔助轉(zhuǎn)移問題，給出了一種與文獻［2］方法相似的算法，只比較兩個解便可求出最優(yōu)解，提高了計算效率，可是算法流程較為復雜，還需結(jié)合圖示.以上多圈問題算法流程雖然看似簡單，有的圖解法還可以直觀地在圖上找出最優(yōu)解，但是其只能進行定性判斷，具體精確值還需要針對性地編程，進行數(shù)值迭代計算.這些算法難以像解決單圈問題那樣將函數(shù)編程封裝，用時直接調(diào)用，也就難以將多圈轉(zhuǎn)移進一步拓展，如兩動點間的空間交會問題，以及“一對多”甚至“多對多”的在軌服務任務.本文設計了改進算法，簡化了流程，減少了計算量，并依此編寫了Matlab程序.

1 問題闡述

共面圓軌道間兩固定點多圈Lambert轉(zhuǎn)移是研究兩動點間及多動點間 Lambert問題的基礎，見圖1.F是地球質(zhì)心，為過P1和P2兩點的轉(zhuǎn)移軌道橢圓的實焦點，F(xiàn)*為虛焦點，其他參數(shù)意義參見文獻［5］.當F*在弦P1P2上時，為最小能量轉(zhuǎn)移軌道;當F*位于弧P1P2與弦P1P2構成的弧三角形外，為第一類轉(zhuǎn)移軌道;當F*位于弧P1P2與弦P1P2構成的弧三角形內(nèi)，為第二類轉(zhuǎn)移軌道.

圖1 多圈Lambert轉(zhuǎn)移軌道示意圖Fig.1 Sketch map of loopy Lambert transfer orbits

tf為追蹤航天器在橢圓軌道上的轉(zhuǎn)移時間，Δv為兩次變軌的速度增量之和，a為轉(zhuǎn)移軌道的長半軸，am為其最小值.當要求的tf較短時，可能只能完成單圈轉(zhuǎn)移;當較長時，就可能通過進行多圈轉(zhuǎn)移減小Δv.tf為定值時，兩固定點之間的單圈轉(zhuǎn)移軌道只有一條，而多圈轉(zhuǎn)移有多條，可以找出最優(yōu)解.多圈轉(zhuǎn)移需要分多種情況進行討論，可利用Lagrange轉(zhuǎn)移時間方程等公式［5］，將解析法、數(shù)值解法和圖示法結(jié)合起來，求出多個解進行逐個比對.

［2］中，P1和P2兩點的真近點角f1和f2是直接求反余弦函數(shù)得出，筆者認為不妥.真近點角的范圍是［0，2π)，而反余弦函數(shù)求得的結(jié)果范圍是［0，π］，故應該分情況進行討論.經(jīng)過計算，兩者結(jié)果有偏差，分情況討論得出的結(jié)果是正確的.

2 算法設計

為便于編寫Matlab程序，使算法更加結(jié)構化，以下利用兩類軌道的tf、Δv與a三者之間的函數(shù)關系，以及Lagrange參數(shù)在不同情況下的判定結(jié)果，分析和總結(jié)了解集的分布特點，對多圈算法進行了不再依賴圖示的純程序運算改進.

分3種情況進行分析:

1)當θ0＜π時，第一類軌道Δv隨a的增大先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，而第二類軌道則單調(diào)遞增，故多圈轉(zhuǎn)移時得到的2Nmax+1個a的解只需要比較第一類軌道a的所有解和第二類軌道a的最小解即可.

2)當θ0=π時，兩類軌道Δv隨a的增大先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，故多圈轉(zhuǎn)移時得到的2Nmax+1個a的解只需要比較第一類軌道或第二類軌道a的最小解即可.也可將此情況并入θ0＜π或θ0＞π的計算中.

3)當θ0＞π時，第二類軌道 Δv隨a的增大先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增，而第一類軌道則單調(diào)遞增，故多圈轉(zhuǎn)移時得到的2Nmax+1個a的解只需要比較第二類軌道a的所有解和第一類軌道a的最小解即可.

定義tfN為N圈轉(zhuǎn)移(N≥0)時am對應的tf的值，tfminN為N圈(N≥1)轉(zhuǎn)移時tf的最小值，aminN為tfminN對應的a值，為N圈轉(zhuǎn)移(N≥0)時第一類軌道a，為N圈轉(zhuǎn)移(N≥0)時第二類軌道a，為N圈轉(zhuǎn)移(N≥0)時第一類軌道Δv，為N圈轉(zhuǎn)移(N≥0)時第二類軌道Δv.

r1、r2、tf和 θ0為已知條件.由 Lagrange 轉(zhuǎn)移時間方程的求導式計算aminN(N≥1)，以及其對應的tfminN.若tfminN＞tf，則N-1 為Nmax.若Nmax=0，則為單圈轉(zhuǎn)移;若Nmax＞0，則為多圈轉(zhuǎn)移.分多種情況進行討論，設計算法流程，見圖2.

可以看出，照上述算法編寫的Matlab程序可將解集中解的數(shù)量由2Nmax+1個減少為Nmax+1或Nmax+2個，提高了計算效率.

圖2 算法流程設計Fig.2 Algorithm flowchart

3 問題拓展

可將從共面圓軌道上兩固定點間的轉(zhuǎn)移推廣到兩動點空間交會.

若追蹤航天器和目標航天器分別以平均角速度n1和n2在半徑為r1和r2的圓軌道上同向運行，且r1≤r2.給定完成交會任務的總時間為T，但不限定追蹤航天器進行變軌的時機.在初始時刻t0，兩者的分離角為.要求在終點時刻te完成交會任務，即終點時分離角=0.可將交會過程劃分為3個階段，見圖3.

圖3 兩動點空間交會示意圖Fig.3 Sketch map of two moved points in space rendezvous

1)追蹤航天器在初始軌道的等待階段，時間為Δt1，Δt1=t1-t0，t1為追蹤航天器第一次變軌的時刻.Δv1為第一次變軌的速度改變量，Δ為第一次變軌的最大速度改變量.隨著兩航天器在各自軌道上的運行，兩者的分離角由θ*0逐漸變化，至t1時分離角為為整數(shù)，使得的范圍為［0，2π).

2)追蹤航天器在轉(zhuǎn)移軌道的轉(zhuǎn)移階段，時間為tf，tf=t2-t1，t2為追蹤航天器第二次變軌的時刻.Δv2為第二次變軌的速度改變量，為第二次變軌的最大速度改變量.隨著兩航天器在各自軌道上的運行，兩者的分離角由逐漸變化，至t2時分離角為n2tf-2kπ，k為整數(shù)，使得的范圍為［0，2π).

3)兩航天器在終端軌道的再等待階段，時間為Δt2，Δt2=te-t2.隨著追蹤航天器在t2時變軌，脫離轉(zhuǎn)移軌道進入終端軌道，與目標航天器交會，兩航天器在終端軌道繼續(xù)運行，分離角保持為0不變，直至te時任務完成.

在規(guī)定的時間內(nèi)完成交會，以推進劑消耗量最小為優(yōu)，忽略姿態(tài)控制所需的推進劑消耗量和攝動力對軌道精度的影響，只對二體問題建模如下:

可利用遺傳算法等多種智能算法對式(1)進行最優(yōu)化求解.單圈或者多圈問題函數(shù)作為內(nèi)層優(yōu)化的適應度函數(shù)，根據(jù)之前設計的算法編寫的Matlab程序可以直接調(diào)用.易知在T足夠大時，兩航天器會調(diào)相至滿足霍曼軌道轉(zhuǎn)移的條件，而當T不能滿足時，兩航天器也可以找到一條最優(yōu)或者較優(yōu)的多圈或者單圈轉(zhuǎn)移軌道.

4 算例驗證

算例1.選取文獻［5］中的多圈轉(zhuǎn)移算例，算例中為便于分析，將距離和時間歸一，分別計算了θ0＜π、θ0=π、θ0＞π 3種情況下的單圈和多圈轉(zhuǎn)移問題.計算機CPU為英特爾酷睿i5-4200M，計算耗時分別為 0.112 2 s，0.134 8 s，0.126 4 s，得到的結(jié)果與文獻中圖解法得到的一致，驗證了設計算法和編寫程序的正確性及高效性，見表1.結(jié)果顯示，在給定時間T允許的情況下，采用多圈Lambert轉(zhuǎn)移可能比單圈速度增量小得多.

算例2.霍曼轉(zhuǎn)移軌道是一條特殊的單圈轉(zhuǎn)移軌道，而單圈可以看作廣義多圈轉(zhuǎn)移軌道(N≥0)的子集，因此，針對多圈轉(zhuǎn)移設計的一般算法對兩者都是適用的.選取文獻［9］中的兩固定點間和兩動點間空間交會霍曼轉(zhuǎn)移例題.利用編寫的程序直接計算兩固定點間空間交會問題，霍曼轉(zhuǎn)移為原題結(jié)果，Lambert轉(zhuǎn)移為程序運行結(jié)果，結(jié)果一致，誤差在允許范圍之內(nèi)，見表2.

表1 算例1轉(zhuǎn)移軌道對比Tab.1 Contrast of transfer orbits in case 1

表2 算例2轉(zhuǎn)移軌道比較Tab.2 Contrast of transfer orbits in case 2

兩動點空間交會問題中，不限定完成交會任務的總時間.利用遺傳算法工具箱和編寫的程序，采用遺傳算法接力進化，即將本次進化結(jié)束后輸出的最終種群作為下一次輸入的初始種群，進化代數(shù)設定為120.由于工具箱封裝的特殊性，不便于直接計算大數(shù)目，故首先對算例中的軌道半徑和周期做歸一化處理:r1=0.155 8，r2=1，T1=0.061 5，T2=1.最終適應度隨進化代數(shù)變化，呈收斂趨勢，見圖4.得出的結(jié)果 Δt1=0.014 3，tf=0.217 4，Δv=8.040 8，經(jīng)過換算后，與文獻［9］中用霍曼轉(zhuǎn)移算法得出的一致，誤差在允許范圍之內(nèi)，見表2.結(jié)果表明，在給定完成任務的總時間足夠大的情況下，Lambert轉(zhuǎn)移軌道可調(diào)相至滿足霍曼轉(zhuǎn)移，以達到最優(yōu)化;兩動點空間交會模型是正確的，設計的算法是有效的.

圖4 適應度變化趨勢Fig.4 Range of fitness

5 結(jié)論

本文對多圈Lambert問題算法進行了改進，并利用改進后的結(jié)構化算法編寫了可以直接調(diào)用進行計算的Matlab程序.應用算例的運行結(jié)果與文獻中霍曼轉(zhuǎn)移和圖解法所得結(jié)果對比一致，驗證了程序運行的正確性和有效性.在兩固定點轉(zhuǎn)移的基礎上，還探討了空間交會時兩動點間的多圈轉(zhuǎn)移問題，建立了數(shù)學模型，并設計遺傳算法進行了計算，驗證了模型的正確性.Matlab程序的實現(xiàn)還可為進一步設計基于多圈轉(zhuǎn)移的自主任務規(guī)劃軟件提供必要的條件.下一步可將攝動力影響和轉(zhuǎn)移時航天器碰撞的可能性引入算法設計中，完善模型，提高計算精度.

參考文獻

［1］PRUSSING J E.A class optimal two-impulse rendezvous using multiple-revolution Lambert solutions［J］.Journal of the Astronautical Sciences，2000，48(2):17-39.

［2］SHEN H J，PANAGIOTIS T.Optimal two-impulse rendezvous using multiple-revolution Lambert solutions［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26(1):50-61.

［3］韓潮，謝華偉.空間交會中多圈Lambert變軌算法研究［J］.中國空間科學技術，2004，24(5):9-14.HAN C，XIE H W.Research on algorithm loopy Lambert transfer in space rendezvous［J］.Chinese Space Science and Technology，2004，24(5):9-14.

［4］唐國金，羅亞中，張進.空間交會對接任務規(guī)劃［M］.北京:科學出版社，2008:141-145.

［5］朱仁璋，蒙薇，胡錫婷.航天器交會中的Lambert問題［J］.中國空間科學技術，2006，26(6):49-55.ZHUR Z，MENG W，HU X T.Lambert's problem in spacecraft rendezvous［J］.Chinese Space Science and Technology，2006，26(6):49-55.

［6］朱仁璋，蒙薇.航天器交會兩點邊界值問題［J］.宇航學報，2006，27(6):1182-1186.ZHU R Z，MENG W.Two point boundary value problem in space rendezvous［J］.Journal of Astronautics，2006，27(6):1182-1186.

［7］歐陽琦，趙勇，陳小前.共面軌道航天器在軌服務任務規(guī)劃［J］.中國空間科學技術，2010，30(1):34-40.OUYANG Q，ZHAO Y，CHEN X Q.Programming of onorbit service mission for multiple object spacecraft in coplanar circular orbits［J］.Chinese Space Science and Technology，2010，30(1):34-40.

［8］譚麗芬，閆野，周英，等.航天器交會中的Lambert問題研究［J］.國防科技大學學報，2010，32(5):12-16.TAN L F，YAN Y，ZHOU Y，et al.Research on multiplerevolution Lambert problem in spacecraft rendezvous［J］.Journal of National University of Defense Technology，2010，32(5):12-16.

［9］SELLERSJ J，ASTORE W J，GIFFEN R B，et al.理解航天:航天學入門［M］.張海云，李俊峰，譯.北京:清華大學出版社，2007:209-212.