淺談數(shù)學(xué)線性規(guī)劃在企業(yè)管理中的應(yīng)用

張博

【摘 要】線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的分支，近幾年來普遍應(yīng)用在企業(yè)管理中，為企業(yè)控制成本、提升經(jīng)濟(jì)效益做出了重要的貢獻(xiàn)。文章主要針對(duì)企業(yè)管理對(duì)數(shù)學(xué)線性規(guī)劃的需求及數(shù)學(xué)線性規(guī)劃在企業(yè)管理中的具體應(yīng)用進(jìn)行研究。

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃;企業(yè)管理;利益最大化

【中圖分類號(hào)】F270 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2020）11-0213-03

線性規(guī)劃能夠輔助人們進(jìn)行高質(zhì)量的科學(xué)管理，主要是針對(duì)線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題進(jìn)行分析。當(dāng)前，線性規(guī)劃已經(jīng)普遍應(yīng)用于企業(yè)管理、經(jīng)濟(jì)決策、軍事作戰(zhàn)等領(lǐng)域，為準(zhǔn)確且高效率地利用有限的資源做出了決策依據(jù)。在企業(yè)管理活動(dòng)中，線性規(guī)劃可以用于投資計(jì)劃、生產(chǎn)計(jì)劃、運(yùn)輸規(guī)劃及技術(shù)應(yīng)用等方面，從不同限制的條件組合中選擇出最高效、最合理的計(jì)算方式，通過建立線性規(guī)劃模型得出最理想的結(jié)果。

1 數(shù)學(xué)線性規(guī)劃及其發(fā)展

線性規(guī)劃屬于運(yùn)籌學(xué)范圍，是運(yùn)籌學(xué)中起步研究時(shí)間較早、已經(jīng)普及應(yīng)用、應(yīng)用領(lǐng)域廣泛的一個(gè)重要分支。1938年蘇聯(lián)列寧格勒大學(xué)教授康托洛維奇首次提出線性規(guī)劃，40年后美國(guó)教授又發(fā)現(xiàn)了一種計(jì)算機(jī)線性規(guī)劃模型的方式——單純形法。在此之后，經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章购粲醮蠹彝度刖€性規(guī)劃的研究，一批年輕的經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家，如胡爾維茨、薩米奧爾遜等都對(duì)線性規(guī)劃展現(xiàn)出極大的興趣[1]。1975年康托洛維奇與庫(kù)普曼斯因“最優(yōu)資源配置理論的貢獻(xiàn)”獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。當(dāng)前，在運(yùn)籌學(xué)眾多分支中，線性規(guī)劃研究最深入、應(yīng)用最廣泛。在單純形法出現(xiàn)后，可以憑借紙筆進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃模型計(jì)算，但是對(duì)于規(guī)模較大的線性規(guī)劃模型來說，人工計(jì)算難度較大，也極易出現(xiàn)錯(cuò)漏。從實(shí)際生產(chǎn)、管理中提出了一系列實(shí)際問題，決策變量與約束條件往往達(dá)到幾十、上百、成千上萬個(gè)，所以無法使用人力對(duì)線性規(guī)劃模型進(jìn)行計(jì)算。伴隨著近年來計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及，先后出現(xiàn)了各類解決線性規(guī)劃模型的軟件，并成為企業(yè)管理的重要工具。

2 企業(yè)管理對(duì)數(shù)學(xué)線性規(guī)劃的需求

企業(yè)日常經(jīng)營(yíng)管理中時(shí)常會(huì)面臨著如何使得銷售成本最低、利潤(rùn)最高，如何規(guī)劃最高效、最快捷的路線，以及如何實(shí)現(xiàn)最高效率的流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)等一系列問題。針對(duì)這些經(jīng)營(yíng)管理中的不同問題，可以從不同角度提出各類解決問題的方法。其中，線性規(guī)劃就是解決這一問題的重要手段。線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)方法，是將數(shù)學(xué)引入企業(yè)管理工作中的重要途徑，能夠推動(dòng)現(xiàn)代企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理實(shí)現(xiàn)科學(xué)化發(fā)展。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)運(yùn)籌學(xué)的重要分支，主要研究如何利用有限的資源實(shí)現(xiàn)最大的價(jià)值，或如何利用最少的資源完成既定的工作任務(wù)。企業(yè)在日常經(jīng)營(yíng)管理中需要注重“質(zhì)”與“量”，以形成統(tǒng)一的整體[2]，企業(yè)所進(jìn)行的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)也需要達(dá)成“質(zhì)”與“量”的平衡。企業(yè)在經(jīng)營(yíng)管理中進(jìn)行決策、預(yù)測(cè)及制訂計(jì)劃都需要進(jìn)行定量的分析與對(duì)比，通過計(jì)算選擇最合理的管理方案，經(jīng)過數(shù)學(xué)模型選擇最合理的決策、計(jì)劃。企業(yè)日常經(jīng)營(yíng)中存在人力、財(cái)力、物力等方面的運(yùn)用，要實(shí)現(xiàn)它們相互關(guān)系的平衡就需要實(shí)現(xiàn)數(shù)與量的平衡。應(yīng)用線性規(guī)劃則能夠在數(shù)量上為企業(yè)提供可行性強(qiáng)的計(jì)劃與方案。通過線性規(guī)劃，可以在若干個(gè)可供選擇的方案中選取最好的方案。線性規(guī)劃在企業(yè)管理中具有普遍適用性，因此它已經(jīng)在企業(yè)管理中得到了普及應(yīng)用，尤其是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的成熟發(fā)展，解決了線性規(guī)劃計(jì)算繁雜的問題。近幾年，伴隨著企業(yè)管理的科學(xué)化，線性規(guī)劃已經(jīng)被越來越多的企業(yè)管理者重視，日益成為企業(yè)規(guī)劃方案、科學(xué)決策的重要工具。

3 線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模式

線性規(guī)劃是在滿足相應(yīng)約束條件下用最少的資源達(dá)到目標(biāo)經(jīng)濟(jì)效益。從企業(yè)管理角度來看，要想提升企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益可以從兩個(gè)方面入手：一是升級(jí)優(yōu)化技術(shù)，例如引入先進(jìn)設(shè)備、增加設(shè)備數(shù)量、挖掘資源潛力等;二是在企業(yè)設(shè)備資源等硬件環(huán)境保持不變的情況下，通過轉(zhuǎn)變企業(yè)的經(jīng)驗(yàn)管理方案與計(jì)劃提升企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益。線性規(guī)劃就是在企業(yè)資源不變的情況下用于調(diào)整方案與計(jì)劃，從而提升企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的方法。企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理中的部分問題可以通過線性規(guī)劃的屬性模型表示，利用計(jì)算機(jī)對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，從而得出最優(yōu)化的解答，使得企業(yè)的資源分配更加合理、經(jīng)營(yíng)計(jì)劃更加科學(xué)，進(jìn)而提升企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益。

線性規(guī)劃與企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理之間有著密切關(guān)系。在企業(yè)日常管理中往往希望實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的經(jīng)濟(jì)目標(biāo)，但由于內(nèi)部因素與外部環(huán)境的限制，在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程中往往會(huì)受到不同類型的阻礙。因此，目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)的阻礙是存在矛盾關(guān)系的，但客觀上目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)及其阻礙之間存在一定的依賴關(guān)系，兩者既統(tǒng)一，又同處于相同事物中[3]。線性規(guī)劃就是在這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)與阻礙的關(guān)系中，尋找兩者的聯(lián)系與相互制約的關(guān)系，從而建立起來的數(shù)學(xué)模型[4]。企業(yè)管理中經(jīng)營(yíng)目標(biāo)往往包括最大銷售利潤(rùn)、最低成本投入、最短運(yùn)輸線路等，而阻礙目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的往往是有限的成本投入、人力資源的限制、市場(chǎng)需求量的約束、硬件設(shè)備的不足等。線性規(guī)劃就是在不同客觀條件的約束下，高效合理地安排企業(yè)的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)經(jīng)濟(jì)目標(biāo)。線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型需要具備以下3個(gè)要素：一是一個(gè)由若干變量構(gòu)成的線性目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)需要取最大值或最小值;二是所有決策變量必須為正數(shù)或零;三是決策變量需要滿足若干個(gè)通常為不等式的線性約束條件。上述3個(gè)關(guān)鍵要素直接決定著線性規(guī)劃模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。線性規(guī)劃的通用數(shù)學(xué)模型可以縮寫如下：

4 數(shù)學(xué)線性規(guī)劃在企業(yè)管理中的應(yīng)用

4.1 數(shù)學(xué)線性規(guī)劃在企業(yè)人力資源管理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)線性規(guī)劃可以用于企業(yè)生產(chǎn)組織計(jì)劃的優(yōu)化，合理安排企業(yè)人力資源，使得經(jīng)濟(jì)效益最大化。A企業(yè)為建筑企業(yè)，現(xiàn)擁有41名技術(shù)人員，當(dāng)前同時(shí)承接了4個(gè)工程項(xiàng)目，其中2個(gè)為建筑工程施工項(xiàng)目，另外2個(gè)項(xiàng)目為建筑設(shè)計(jì)。由于這4個(gè)項(xiàng)目均源自不同客戶，對(duì)項(xiàng)目的完成標(biāo)準(zhǔn)與要求也有所不同，因此A企業(yè)對(duì)內(nèi)部人員分配進(jìn)行了優(yōu)化處理，也對(duì)薪酬做出調(diào)整。公司的41名技術(shù)人員登記與薪資如下：技術(shù)員（5名）每日110元，助理工程師（10名）每日170元，工程師（17名）每日170元，高級(jí)工程師（9名）每日250元。表1為4個(gè)項(xiàng)目及人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn);表2為4個(gè)項(xiàng)目對(duì)不同等級(jí)技術(shù)人員的數(shù)量要求。

由于丙項(xiàng)目、丁項(xiàng)目要在辦公室內(nèi)完成設(shè)計(jì)工作，所以需要每人每天增加50元的管理費(fèi)用。根據(jù)上述條件與情況，A公司面臨的問題是如何合理分配企業(yè)現(xiàn)有人員，最大限度地節(jié)約成本，獲取最高收益。

模型建立過程：制定4類技術(shù)人員向甲項(xiàng)目、乙項(xiàng)目、丙項(xiàng)目、丁項(xiàng)目的分配方案。決策變量：在工程項(xiàng)目j中分配第i種技術(shù)人員共xij≥0。第i種技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為cij，其中i=1，2，3，4;j=1，2，3，4。目標(biāo)函數(shù)：對(duì)不同類別的技術(shù)人員分配不同項(xiàng)目所獲得的費(fèi)用，以及公司對(duì)不同類別技術(shù)人員所花費(fèi)的支出及管理費(fèi)用之間的差值進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算差值最大化，且設(shè)立目標(biāo)函數(shù)。約束條件：約束條件可從表1、表2得出。經(jīng)過計(jì)算機(jī)軟件分析后，得出甲項(xiàng)目分別為高級(jí)工程師1人、工程師6人、助理工程師2人、技術(shù)員1人;乙項(xiàng)目分別為高級(jí)工程師5人、工程師3人、助理工程師5人、技術(shù)員3人;丙項(xiàng)目分別為高級(jí)工程師2人、工程師6人、助理工程師2人、技術(shù)員1人;丁項(xiàng)目分別為高級(jí)工程師1人、工程師2人、助理工程師1人、技術(shù)員0人?？梢缘贸鯝公司每天的直接受益最多為27 150元。

線性規(guī)劃應(yīng)用在企業(yè)人力資源管理中可以兼顧市場(chǎng)需求及企業(yè)人力資源現(xiàn)狀，在有限的人力、成本環(huán)境下實(shí)現(xiàn)人力資源的最大化利用[5]。利用計(jì)算機(jī)計(jì)算軟件將繁雜的人員配置計(jì)劃計(jì)算得出，讓企業(yè)能夠在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中快速制訂科學(xué)合理的人力資源方案，有效提升企業(yè)的工作效率與經(jīng)濟(jì)效益。

4.2 數(shù)學(xué)線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用

生產(chǎn)計(jì)劃的主要目標(biāo)在于實(shí)現(xiàn)企業(yè)利潤(rùn)最大化，生產(chǎn)計(jì)劃的制訂是為生產(chǎn)活動(dòng)服務(wù)的。因此，利用線性規(guī)劃所建設(shè)的生產(chǎn)計(jì)劃模型可以將成本最小化及利益最大化作為目標(biāo)函數(shù)。企業(yè)在安排生產(chǎn)計(jì)劃的過程中需要考慮不同方面的約束條件，例如企業(yè)生產(chǎn)能力的限制、市場(chǎng)需求的限制、生產(chǎn)成本的限制等[6]。在眾多限制條件中需要優(yōu)先考慮生產(chǎn)能力與工時(shí)的限制，再搭配生產(chǎn)成本、利潤(rùn)等限制，在這一基礎(chǔ)上對(duì)企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行協(xié)調(diào)。企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的成本為C，主要由原料成本（C1）、能源成本（C2）、制造成本（C3）、人工成本（C4）等構(gòu)成。在歸集產(chǎn)品生產(chǎn)成本后，形成生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化模型的約束條件。在成本歸集時(shí)發(fā)現(xiàn)，原料成本與產(chǎn)品單價(jià)成正比;能源成本與產(chǎn)品預(yù)定分配率成正比;制造成本與產(chǎn)品預(yù)定分配率成正比;人工成本與人力薪酬率成正比。在整體產(chǎn)品成本結(jié)構(gòu)中，能源成本、制造成本及人工成本較為穩(wěn)定，且占比較低。原料成本占據(jù)總成本的80%以上，且市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)明顯，因此將原料成本考慮為約束條件對(duì)生存計(jì)劃模型的影響。

B為鐵合金企業(yè)，要在眾多約束條件下實(shí)現(xiàn)月度生產(chǎn)利潤(rùn)最大化。當(dāng)前，B企業(yè)每月生產(chǎn)量最大為400 t;按照正常生產(chǎn)工作制度，每月有效工時(shí)需要控制在176 h內(nèi);每月用于生產(chǎn)的原料采購(gòu)成本需要控制在3 500萬元以內(nèi)。B企業(yè)需要生產(chǎn)5個(gè)類別的產(chǎn)品，不同品種的單位利潤(rùn)與成本不同。產(chǎn)品1（P1）的單位利潤(rùn)為9萬元/噸，所需成本25萬元/噸;產(chǎn)品2（P2）的單位利潤(rùn)為3萬元/噸，所需成本20萬元/噸;產(chǎn)品3（P3）的單位利潤(rùn)為1萬元/噸，所需成本1.4萬元/噸;產(chǎn)品4（P4）的單位利潤(rùn)為1萬元/噸，所需成本1萬元/噸;產(chǎn)品5（P5）的單位利潤(rùn)為0.5萬元/噸，所需成本1.1萬元/噸。B企業(yè)的生產(chǎn)時(shí)間以工作日單班制為準(zhǔn)，平均每日生產(chǎn)8 h。各類產(chǎn)品每8小時(shí)所能生產(chǎn)的爐數(shù)及其重量見表3。

在這一情況下建立線性規(guī)劃模型：Smax=cixi;xi≤400;tixi≤176;uixi≤3 500;xi≥0 i=1，...，n。

其中，S為總利潤(rùn);xi為第i種產(chǎn)品數(shù)量;n為產(chǎn)品類別數(shù)量;ci是第i種產(chǎn)品的單位利潤(rùn);ti為第i種產(chǎn)品花費(fèi)的單位工時(shí);ui為第i種產(chǎn)品投入的單位原料成本。

建立線性規(guī)劃模型后利用單純形法獲得最優(yōu)解：B企業(yè)P1生產(chǎn)137.7 t，P4生產(chǎn)55.9 t，就可以獲得最大利潤(rùn)為1 295.78萬元。通過建立線性規(guī)模為B企業(yè)制訂生產(chǎn)計(jì)劃提供了可靠的依據(jù)，在企業(yè)有限的資源限制下，制訂合理的生產(chǎn)計(jì)劃，能夠讓企業(yè)最大限度地獲取利潤(rùn)。在實(shí)際運(yùn)用中，需要充分考慮不同時(shí)期原料單價(jià)與銷售價(jià)格的變化及市場(chǎng)需求的動(dòng)態(tài)發(fā)展，根據(jù)不同方面的情況修正模型數(shù)據(jù)，并根據(jù)每月的實(shí)際情況制訂生產(chǎn)計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益最大化。

5 結(jié)語

企業(yè)管理的科學(xué)化直接關(guān)系著企業(yè)戰(zhàn)略目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的環(huán)境下，企業(yè)管理者需要立足于當(dāng)前，轉(zhuǎn)變以往粗放型的發(fā)展戰(zhàn)略，發(fā)揮企業(yè)資源的最大效益。數(shù)學(xué)線性規(guī)劃就是一種幫助企業(yè)挖掘資源優(yōu)勢(shì)，在有限的資源下實(shí)現(xiàn)利益最大化的重要工具，為企業(yè)管理者調(diào)整管理方案、優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃提供了可靠的依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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