數(shù)學(xué)教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想

李賢鍇

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在教材中沒有專門的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和做題練習(xí)而展開的.在教學(xué)中，要重視對常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想.

一、建模思想

建模思想就是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的一種思想方法.

例如，在講“分式”時，分式方程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，通過經(jīng)歷“實際”問題-分式方程模型-求解-驗證解的合理性的“數(shù)學(xué)化”過程，體會分式方程的模型思想.分式是“整式”之后對代數(shù)式的進一步研究，所以研究方法與整式相同.如，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示現(xiàn)實情境中數(shù)量關(guān)系（分式、分式方程）的過程，經(jīng)歷通過觀察、歸納、類比、猜想獲得分式基本性質(zhì)以及分式加、減、乘、除運算法則的過程，體會分式、分式方程的模型思想，進一步發(fā)展符號感.

二、方程思想

方程思想是指把一個數(shù)學(xué)問題通過途徑轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的數(shù)學(xué)思想方法.它在探索解題思路時經(jīng)常使用，特別是對解決與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時行之有效.

例如，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-3，-2）和點B（1，6），求此函數(shù)的解析式.解答此題，可先設(shè)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，再把A、B兩點的坐標分別代入，即可得到一個二元一次方程組，解此方程組即可求出k，b的值，從而確定函數(shù)的解析式.利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)y=kx+b中兩個待定的系數(shù) k，b，其實質(zhì)是根據(jù)已知條件列出k，b的二元一次方程組，從而把一次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，既體現(xiàn)了方程的思想，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是將要研究和解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個容易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，即把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”的思想方法.在解答數(shù)學(xué)問題時，如果直接求解比較困難時，就可以將其轉(zhuǎn)化為另一種形式求解.

在一些數(shù)學(xué)問題的解決中，轉(zhuǎn)化思想成了一種很適用的解題技巧.轉(zhuǎn)化思想注重把注意力和著眼點放在問題的結(jié)構(gòu)上，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，適時地調(diào)整和改變原有的思維方式，以求得問題的解決.可以說，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中的一個很重要的策略或解題技巧.

四、數(shù)形結(jié)合思想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休.”說得真好.這句話很形象地說明了數(shù)形結(jié)合的重要意義.數(shù)和式是問題的抽象與概括，圖形和圖象則是問題的具體化與直觀化.作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩大類型，或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；或者借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”.

五、類比思想

類比是一種在不同的對象之間，或者在事物與事物之間，根據(jù)它們的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的相似之處進行比較，通過聯(lián)想和猜想，推斷出它們在其他方面也可能相似，從而建立猜測和發(fā)現(xiàn)真理的方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比可以幫助學(xué)生利用已有的知識來認識、理解和掌握新知識.

例如，在講“分式和最簡分式的概念”時，通過類比分數(shù)，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式.分數(shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系.分數(shù)等表示具體的數(shù)值，或者說每個分數(shù)表示兩個特殊的整數(shù)的除法；分式則具有一般的、抽象的意義.分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運算法則，都是從分數(shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運算法則中經(jīng)過再抽象而產(chǎn)生的.在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)對分數(shù)有較多的了解，因此在學(xué)生對分數(shù)已有認識的基礎(chǔ)上，通過分式與分數(shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式.從學(xué)情分析來看，經(jīng)過七年級一年的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步養(yǎng)成了自主探究意識.一方面，在七年級上冊中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式，分式與整式一樣也是代數(shù)式，因此研究與學(xué)習(xí)的方法與整式相類似；另一方面，“分式”是“分數(shù)”的“代數(shù)化”，學(xué)生可以通過類比進行分式的學(xué)習(xí).

六、分類討論思想

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類的思想.將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法都屬于分類探究的方法.事實上，某些數(shù)學(xué)問題涉及的概念、法則、性質(zhì)、公式是分類給出的，或者在解答過程中，條件或結(jié)論不唯一時，會產(chǎn)生幾種可能性，這時就需要分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重分類討論思想的引導(dǎo)，可以考查學(xué)生思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解.分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類要按照同一標準進行；（2）分類要做到不重復(fù)、不遺漏.分類的步驟要求：（1）明確對象的全體；（2）確定分類標準；（3）分類討論；（4）歸納小結(jié)得出結(jié)論.