全線突破“力的分解與合成”時(shí)的幾個(gè)典型障礙區(qū)

力的分解是力學(xué)與動(dòng)力學(xué)基石，然而在進(jìn)行力的分解時(shí)常會(huì)出現(xiàn)以下幾個(gè)難以突破的典型障礙區(qū)：“死結(jié)”與“活結(jié)”、 “死桿”與“活桿”、“力分解的不唯一性及力分解的唯一性”等。現(xiàn)在我們就對(duì)這幾個(gè)典型的障礙區(qū)進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的分析，以便在以后的學(xué)習(xí)中遇到這些問題時(shí)便于正確分析。

障礙一、弄不清楚繩的“死結(jié)”與“活結(jié)”之間的力學(xué)特點(diǎn)

【突破策略】繩是物體間連接的一種方式，當(dāng)多個(gè)物體用繩連接的時(shí)候，其間必然有“結(jié)”的出現(xiàn)，根據(jù)“結(jié)”的形式不同，可以分為“活結(jié)”和“死結(jié)”兩種?！盎罱Y(jié)”是繩子間的一種光滑連接，其特點(diǎn)是結(jié)的兩端同一繩上的張力相等;而“死結(jié)”是繩子間的一種固定連接，結(jié)的兩端繩子上的張力不一定相等。對(duì)于這兩種模型的特點(diǎn)歸納如下：

【例1】如圖1所示，長為5m的輕質(zhì)細(xì)繩兩端分別系于豎立在地面上相距為4m的兩桿上，懸掛點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，繩上掛一個(gè)光滑的輕質(zhì)掛鉤，其下端連接著一個(gè)重為12N的物體，細(xì)繩和掛鉤的質(zhì)量不計(jì)，且細(xì)繩受力后不可伸長，試問：繩中的張力T為多少？

解析：在繩中掛一個(gè)輕質(zhì)掛鉤，而這個(gè)輕質(zhì)掛鉤就相當(dāng)于一個(gè)動(dòng)滑輪（相當(dāng)于一個(gè)活結(jié)），所以整條繩子所受張力的大小處處相同，且輕質(zhì)掛鉤兩邊的細(xì)繩與水平面之間的夾角相同，設(shè)為？琢.

以掛鉤與輕繩的節(jié)點(diǎn)O點(diǎn)為受力研究對(duì)象，其受力分析圖如圖2所示，根據(jù)力的平衡條件可知，T1、T2的合力與G等大反向，且T1=T2，根據(jù)力的正交分解和力的平衡有：

T1sin？琢+T2sin？琢=T3=G ①

即T1=T2=■ ②

根據(jù)幾何性質(zhì)可得：

AO·cos？琢+BO·cos？琢=CD=4m " " " " ③

AO+BO=5m " " " " " ④

由③、④兩式可解得：cos？琢=0.8 " " " sin？琢=0.6

將sin？琢=0.6帶入②式可解得：T1=T2=10N.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于活結(jié)一定要明確：“活結(jié)”是把繩子分為兩部分，實(shí)際上還是一段繩子，同一段繩子上的彈力處處相等，在分析這類問題時(shí)一定要抓住這一特點(diǎn)。

【例2】如圖3所示，AO、BO和CO三根輕質(zhì)繩子所能承受的最大拉力相等，其中O為結(jié)點(diǎn)，OB與豎直方向夾角為θ，懸掛物質(zhì)量為m，輕繩OA保持水平方向.試分析下列問題：

（1）OA、OB、OC三根輕質(zhì)繩子所受拉力的大小;

（2）若A點(diǎn)向上移動(dòng)少許，則物體重新平衡后，繩中的張力如何變化？

解析：（1）以節(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，結(jié)點(diǎn)O的受力如圖4所示，根據(jù)力的平衡條件可知，T1、T2的合力F與重物所受的重力G等大反向，但T1不一定等于T2，根據(jù)幾何知識(shí)可得：

T1=T2sinθ，G=T2cosθ

由以上兩式解得：T2=■，T1=Gtanθ

再根據(jù)力的相互性可知繩OC所受到的拉力大小為T=G。

（2）若A點(diǎn)向上移動(dòng)少許，重新平衡后，根據(jù)力的平形四邊形定則可知繩OA、OB的張力均要發(fā)生變化，如圖4的平行四邊形FT/1OT/2，可以看出平行四邊形的邊長在變短，可見若A點(diǎn)向上移動(dòng)少許，則物體重新平衡后，繩中的張力都變小.

【點(diǎn)評(píng)】“死結(jié)”可理解為把繩子分成兩段，且不可以沿繩子移動(dòng)的結(jié)點(diǎn)?！八澜Y(jié)”兩側(cè)的繩因結(jié)而變成了兩根獨(dú)立的繩，因此由“死結(jié)”分開的兩段繩子上的彈力不一定相等。

障礙二 、分不清楚“死桿”與“活桿”的區(qū)分

【突破策略】輕桿是物體間連接的另一種方式，根據(jù)輕桿與墻壁連接方式的不同，可以分為“活桿”與“死桿”。

【例3】如圖5所示，輕繩AD跨過固定的水平橫梁BC右端的定滑輪掛住一個(gè)質(zhì)量為M1的物體，∠ACB=30°;圖6中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細(xì)繩EG拉住，EG與水平方向也成30°，輕桿的G點(diǎn)用細(xì)繩GF拉住一個(gè)質(zhì)量為M2的物體，求：

（1）輕繩AC段的張力FTAC與細(xì)繩EG的張力FTEG之比;

（2）輕桿BC對(duì)C端的支持力;

（3）輕桿HG對(duì)G端的支持力。

解析：題圖5和6中的兩個(gè)物體M1、M2都處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡的條件，首先判斷與物體相連的細(xì)繩，其拉力大小等于物體的重力;分別取C點(diǎn)和G點(diǎn)為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析如圖7和8所示，根據(jù)平衡規(guī)律可求解。

（1）在圖7中輕繩AD跨過定滑輪拉著質(zhì)量為M1的物體，物體處于平衡狀態(tài)，輕繩AC段的拉力大小為：

FTAC= FTCD =M1g

在8圖中由于FTEGsin30°=M2g

解得：FTEG=2M2g

所以有■=■

（2）圖7中，三個(gè)力之間的夾角都為120°，根據(jù)力的平衡規(guī)律有FNC=FTAC=M1g，方向與水平方向成30°度夾角，方向指向右邊。

（3）在圖8中，根據(jù)力的平衡規(guī)律有FTEGsin30°=M2g，F(xiàn)TEGcos30°=FNG

由以上兩式解得FNG=M2gcot30°=■M2g，方向水平向右。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于輕桿受力問題，首先應(yīng)明確一端是否固定，若不固定，則另一端合力必沿桿方向，若固定，則可以受任何方向的力，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況（如受力平衡等）加以分析。

障礙三、弄不清楚“力的合成”與“力的分解”的實(shí)質(zhì)

【突破策略】在求某個(gè)力的大小時(shí)，常要利用“力的合成”或“力的分解”，而這兩種方法的原理都要用到力的平行四邊形定則。正是因?yàn)檫@樣，所以很多初學(xué)者會(huì)將力的合成法與力的“分解法”混為一談，下面我們通過一道具體的例題來揭開這兩種方法的真實(shí)“廬山面目”。

【例4】在圖9中，用一輕質(zhì)三角支架懸掛一重量為G的重物，求水平桿AB受到的壓力和繩索AC受到的拉力。

對(duì)于該題我們現(xiàn)在利用兩種方法加以分析：

方法1、用力的合成法

以A點(diǎn)為研究對(duì)象，A點(diǎn)受三個(gè)力：懸掛物繩子拉力F，桿的推力FB，繩的拉力FC。由牛頓第三定律得F=G;

根據(jù)力的平行四邊形定則A點(diǎn)受力分析如圖10，由共點(diǎn)力平衡條件得：FBC=F=G，在直角三角形AFBCFB中有：

FC=■，F(xiàn)B=■

方法2、用力的分解法

選A點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析如圖11所示，懸繩上A端受到豎直向下的拉力F=G，在這個(gè)拉力作用下，它將壓緊水平桿AB并拉緊繩索AC，所以應(yīng)把拉力F按作用效果沿AB、CA兩方向分解，設(shè)兩分力為F1、F2，畫出的平行四邊形如圖3所示.由直角三角形知識(shí)可得

FC=■，F(xiàn)B=■。

【點(diǎn)評(píng)】力的合成法實(shí)質(zhì)上是將物體所受到的多個(gè)力利用力的平行四邊形定則逐個(gè)將這些力合成，若物體受到N個(gè)力二處于平衡狀態(tài)，那么要求某個(gè)力的大小時(shí)，根據(jù)共點(diǎn)力平衡的特點(diǎn)可將另外的（N-1）個(gè)力合成，那么這些力的合力大小就是要求的那個(gè)力;力的分解法的實(shí)質(zhì)就是某個(gè)力產(chǎn)生的效果就是其他分力產(chǎn)生的原因，而在利用力的分解法來分析平衡問題時(shí)，一定要按力此時(shí)產(chǎn)生的效果來分解力，然后再根據(jù)相關(guān)的幾何性質(zhì)（如三角函數(shù)）建立等式關(guān)系。

障礙四、弄不清楚有附加條件的力的分解問題。

【突破策略】已知一個(gè)力F的大小和方向，求它的兩個(gè)分力。據(jù)平行四邊形定則知，這種情況下可以作出無數(shù)個(gè)符合條件的平行四邊形，即對(duì)一已知力分解，含有無數(shù)個(gè)解，但如果再加以下條件，情況就不一樣了，下面討論：

1. 已知兩個(gè)分力F1、F2的方向（在同一直線上的情況除外），有唯一解。如圖12所示：

由上圖可知，由于力F的大小和方向已知，且兩分力F1、F2的方向又確定，根據(jù)幾何知識(shí)可知，以F1、F2為鄰邊做平行四邊形、F為該平行四邊形的對(duì)角線，這個(gè)平行四邊形是唯一確定的。也就是說要將已知大小和方向的力F進(jìn)行分解，得到的結(jié)果是唯一的。

2. 已知一個(gè)分力的大小和方向（如F1），有唯一解，如圖13所示：

由上圖可知，由于力F、F1的大小和方向已知，根據(jù)幾何知識(shí)可知，以F1、F2為鄰邊做平行四邊形、F為該平行四邊形的對(duì)角線，這個(gè)平行四邊形是唯一確定的。也就是說在該條件下將力F進(jìn)行分解，得到的結(jié)果也是唯一的。

3. 已知兩個(gè)分力F1、F2的大小，此時(shí)F的分解情況如下圖所：

（1）當(dāng)F1≠F2時(shí)，有兩解。如圖14所示：

由上圖可知，由于已知兩個(gè)分力F1、F2的大小和力F的大小和方向，現(xiàn)分別一F的矢端為圓心，以F1的大小作圓弧，然后再以F的始端為圓心、以F2的大小作圓弧。于是可得兩圓弧有兩個(gè)交點(diǎn)，于是便可得到兩個(gè)不同的平行四邊形，這兩個(gè)平行四邊形都是以F1、F2為鄰邊，這兩個(gè)平行四邊形的對(duì)角線都為F。也就是說在該條件下將力F進(jìn)行分解，得到的結(jié)果有兩解。

（2）F1=F2時(shí)，有唯一解。

由以上做圖可知，雖然能作兩個(gè)平行四邊形或三角形，但它們完全一樣，因此只有一解。

4. 已知合力F、一個(gè)分力F2的方向和另一個(gè)分力的大小，求F2的大小和F1的方向，有多種情況。具體情況如圖16所示：

（1）當(dāng)F1

設(shè)F于F2的夾角為α，由12圖可知當(dāng)

（2）當(dāng)F1=Fsinα?xí)r，有唯一解。

設(shè)F于F2的夾角為α，由圖17的分析可知當(dāng)F1=Fsinα?xí)r，F(xiàn)、F1、F2能構(gòu)成一個(gè)三角形，也就是說，按該條件F分解，可能分解，且只有一解。

【例5】已知力F的一個(gè)分力為F1跟F成30°角，大小未知，另一個(gè)分力F2大小是，方向未知，則F1的大小可能是（ ）

A. ■F/3 B. ■F/2 C. 2■F/3 D. ■F

解析：如圖18所示，先畫一條有向線段AB表示力F，過F的始端A畫一條與AB成30°角的射線（是力F1的作用線，表示出力F1的方向已知），然后過F的末端做一垂線BC垂直射線于C，由幾何關(guān)系可知BC=■。由于■F>■，所以以F的末端為圓心、F2為半徑做圓，則該圓與圖18中的射線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)分別為E和D（如圖18所示），也就是說如果按題目中的條件將F進(jìn)行分解，可有兩解，根據(jù)平行四邊形定則可得到如圖19和20所示的F的矢量分解圖。

為便于分析求解，現(xiàn)將F的兩中分解在一個(gè)矢量三角形中表示出來，如圖21所示，由幾何知識(shí)可知：在直角三角形△EBC中，因CB=■，EB=■F，∠CBE=∠ABE=？茲=30°，故△ABD為直角三角形，利用直角三角形可知E為直角三角形△ADB的斜邊AD的中點(diǎn)，AE=■F，AD=■F，即F1的大小可能是F1=■F，也可能是F1？蛐=■F，故選項(xiàng)A、C正確。

答案：A、C

【點(diǎn)評(píng)】在對(duì)一個(gè)力進(jìn)行分解時(shí)，一定要弄清分解的條件，在按某一條件進(jìn)行分解時(shí)，最好利用幾何圖形進(jìn)行分解，這樣會(huì)使問題變得簡單明了。

障礙五、誤以為某個(gè)力分解成兩個(gè)力后物體受的力便增加了兩個(gè)

【突破策略】在求解某個(gè)力的大小時(shí)，常要將其中的某個(gè)或幾個(gè)力進(jìn)行分解，為解題方便，一般按正交分解法對(duì)力進(jìn)行分解，也就是說習(xí)慣上將某個(gè)力分解為兩個(gè)，而在分解時(shí)又按力產(chǎn)生的效果來分。但很多同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為將某個(gè)力分解成兩個(gè)分力后，誤以為物體所受力的個(gè)數(shù)便增加了兩個(gè)。在分解實(shí)際問題中的某個(gè)力時(shí)，一般是根據(jù)力的實(shí)際效果來分解一個(gè)力時(shí)，其具體做法是：①先根據(jù)力的實(shí)際作用效果確定兩個(gè)分力的方向;②再根據(jù)兩個(gè)實(shí)際分力方向畫出平行四邊形;③根據(jù)平行四邊形和學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)求出兩分力的大小。

【例6】在圖22中，光滑斜面上物體的重力分解為F1、F2兩個(gè)力，下列說法正確的是（ ）

A. F1是斜面作用在物體上使物體下滑的力，F(xiàn)2是物體對(duì)斜面的壓力

B. 物體受到重力mg、FN、F1、F2四個(gè)力的作用

C. 物體只受到重力mg和斜面支持力FN的作用

D. FN、F1、F2三個(gè)力的作用效果與mg、FN兩個(gè)力的作用效果相同

解析：F1、F2兩個(gè)力是mg的兩個(gè)分力，其作用效果與重力mg等效，F(xiàn)1的作用是使物體沿斜面下滑，F(xiàn)2的作用是使物體壓緊斜面，這是重物在斜面上產(chǎn)生的兩個(gè)作用效果;物體只受重力mg和斜面對(duì)物體的支持力FN的作用.綜上所述，故選項(xiàng)C、D都正確.

答案：CD

【點(diǎn)評(píng)】按力產(chǎn)生的效果進(jìn)行力的分解時(shí)要明確以下要點(diǎn)：①力的實(shí)際問題分解，一定要首先弄清力的作用效果;②分析物體受力時(shí)，分力和合力不能同時(shí)并存;③把一個(gè)力進(jìn)行分解，僅是一種等效替代關(guān)系，不能認(rèn)為在分力的方向上有施力物體。

（作者單位：陽山縣陽山中學(xué)）

責(zé)任編校 李平安