例談數(shù)列解題中的非常規(guī)技巧

近幾年廣東高考數(shù)學試題數(shù)列題都排第四道解答題，一般為一小一大兩題，很多專家一致認為六道解答題中，數(shù)列題是最關鍵的一題.因為前兩題往往比較容易，大部分考生可以完成.而后兩題往往很難，很多考生會望而卻步，心有余而力不足.高考命題按考綱要求以能力立意的原則已經(jīng)成為命題的指導思想，將掌握知識與提高能力有機結合，全面考查考生是當下高考的主線.數(shù)列部分作為函數(shù)的延伸具備很多函數(shù)特性，但數(shù)列是特殊的函數(shù)，是離散函數(shù)，這就決定了數(shù)列題自身的個性.高考中數(shù)列會以單獨一道解答題的形式以凸顯其重要性，三角題、概率題、立體幾何題、數(shù)列題、解析幾何題、函數(shù)題是廣東高考經(jīng)常采用的解答題順序，數(shù)列題的地位可見一斑.我們僅僅掌握基本的題路是不夠的，除了基本解題思路和常規(guī)技巧外，掌握一些非常規(guī)的技巧也很必要，恰恰數(shù)列部分聯(lián)系其它知識較多，非常規(guī)技巧也很多，區(qū)別于函數(shù)題單獨列題也說明了這一點.以下是自己的對此的點滴感悟，分以下幾個方面闡述.

1. 利用等差（或等比）中項性質(zhì)簡化繁瑣運算

在數(shù)列復習中訓練考生的運算求解能力有至關重要的作用，有的題目，對運算能力強的考生可能是容易題，但對運算能力不過硬的考生可能就是中等題甚至難題，通過數(shù)列知識的復習深化考生的運算求解能力異常重要.運用等差（或等比）中項的性質(zhì)簡化運算有出奇制勝的效果，歷年高考在中都有所體現(xiàn)，不僅對考生的運算求解能力有較高要求，同時要求考生有較強的抽象概括能力.

例1. 等差數(shù)列{an}共有2n+1項，其中奇數(shù)項之和為4，偶數(shù)項之和為3，則n=（ " ）

A. 3 " " " " " B. 5 " " " " " C. 7 " " " " " D. 9

【解析】依題意Sn=，因為an+1=，故Sn=（2n+1）an+1，即an+1為等差中項，顯然奇數(shù)項有n+1項，偶數(shù)項有n項，且n和n+1必有一個為奇數(shù)，若n+1為奇數(shù)，同理可得奇數(shù)項之和為S奇=（n+1）an+1，所以==，解得n=3，故選A. 若n為奇數(shù)，則==，同樣解得n=3，故選A.

【評注】等差數(shù)列{an}中，2an+1=an+an+2，2an+k=an+an+2k，等比數(shù)列{an}中，a2n+1=anan+2，a2n+k=anan+2k，這是等差（或等比）中項的性質(zhì)，數(shù)列解題中，正確使用這一性質(zhì)可以大大簡化運算，此類題若用傳統(tǒng)方法回歸到首項、公差（或公比）解決，運算量會繁瑣很多.

2. 回歸到定義通過邏輯推理得出結果

邏輯推理能力是數(shù)學能力的重要方面，數(shù)列復習也不例外.數(shù)列復習需要強化考生對函數(shù)、方程、不等式等知識板塊理解和掌握，切不可因為訓練增多而忽略定義的作用，有時審題也需要回歸到定義用邏輯推理尋找路子.

例2. 設等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則（ ）

A. d<0 " " " "B. d>0 " " " "C.a1d<0 " " " "D.a1d>0

【解析】令bn=2a1an，因為數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，所以bn+1-bn=2a1an+1-2a1an=2a1（an+1-an）=2a1d<0，即a1d<0 .選C.

【評注】數(shù)列知識是高中代數(shù)的主干知識，要求考生重點把握，數(shù)列知識以其多變的形式和靈活的解題方法備受命題者青睞，本例中推理出數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列是關鍵.

例3. 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=？姿，an+1=an+n-4n，bn=（-1）n（an-3n+21），其中？姿為實數(shù)，n為正整數(shù).（1）求證：對一切實數(shù)？姿，{an}不是等比數(shù)列;（2）求證：當？姿≠-18時，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

【解析】（1）證明：假設存在一個實數(shù)？姿，使{an}是等比數(shù)列，則有a22=a1a2，即（？姿-3）2=？姿（？姿-4）？圳？姿2-4？姿+9=？姿2-4？姿？圳9=0，矛盾.

所以{an}不是等比數(shù)列.

（2）證明：∵bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（an-2n+14）

=-（-1）（an-3n+21）=-bn .

又？姿≠-18，∴b1=-（？姿+18）≠0. 由上式知bn≠0，∴=-（n∈N？鄢），故當？姿≠-18時，數(shù)列{bn}是以-（？姿+18）為首項，-為公比的等比數(shù)列.

【評注】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力，等比數(shù)列的定義隱含條件是項與公比都不為0，第（1）小題還用到反證法.

3. 從認知動因中挖掘隱含條件類比數(shù)量關系

第一輪復習主要就是要抓基礎、抓重點、抓落實，數(shù)列題的基本功就是基本的數(shù)值運算.等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式和前n項和公式的運用，疊加法、疊乘法、錯位相減法等基本的運算技巧，基本題往往可以練就基本功.從另外一個角度看僅有這些是不夠的，人的認知動因雖然不盡相同，但也有一定規(guī)律，需要考生去挖掘，沒準兒能挖除我沒想要的.

例4. 等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=48，前2n項和S2n=60，求其前3n項和S3n.

【解析】等比數(shù)列{an}中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍然成等比數(shù)列，依題意，S2n-Sn=60-48=12，故等比數(shù)列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n的公比為=，∴ S3n-S2n=12×=3，∴ S3n=S2n+3=60+3=63.

【評注】挖掘隱含條件的分析來自認知動因的激活，聯(lián)想到等差數(shù)列的類似題目，必須分清前n項和、次n項和、后n項和與本體條件中的前n項和、前2n項和、前3n項和的關聯(lián)性以及不同點.為了挖掘其隱含條件，易知等差數(shù)列的前n項和、次n項和、后n項和還是成等差數(shù)列的，類比到等比數(shù)列，間隔相同的“等長片段和”也成等比數(shù)列.這既可證明，又可以從特殊激活一般的策略. 等比數(shù)列{an}中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，，仍然成等比數(shù)列，類似的結論可以引導考生去發(fā)現(xiàn)，最好不要直接給出，因為考生容易掌握，引領考生多發(fā)現(xiàn)，熟能生巧.

4. 使用特殊化思想指引解題思路

特殊化思想，在數(shù)學解題中是一種重要思想，稍加留意就能體會到，數(shù)列題也不例外，唯物辯證法告訴我們：一般存在于特殊之中，任何一般都有特殊的一部分，特殊化思想，有時可以講一般性的問題退到特殊問題，最終以退為進，解決問題.

例5. 設無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，

（1）若首項a1=，公差d=1，求滿足=（Sk）2的正整數(shù)k;

（2）求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對于一切正整數(shù)k都有=（Sk）2成立.

【解析】（1）設無窮等差數(shù)列{an}的公差為d，=（Sk）2中分別取k=1，2得S1=（S1）2且S4=（S2）2，即a1=（a1）2且4a1+d=（2a1+d）2，解得a=0，d=0或6，a=0，d=0或2，反過來代入=（Sk）2檢驗得符合條件的有三組解：a=0，d=0，a=1，d=0，a=1，d=2.所以，滿足條件的無窮等差數(shù)列{an}有：an=0，an=1， an=2n-1三個.

【評注】對于式子=（Sk）2，一般考生都會認為是要證明k2a1=d=（ka1+d）2對一切正整數(shù)k都成立，但式子過于繁瑣不好化簡，很多考生會不了了之.如果將一切正整數(shù)k退化成k=1，2的情況就可以找到所有這樣的等差數(shù)列.此題也是當年高考的亮點，很多行家推崇，本例也體現(xiàn)了命題的創(chuàng)新.

5. 運用最鄰近數(shù)學知識探索自然思路

數(shù)列解題不僅是掌握知識、提高能力的途徑，同時也是一門藝術，等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式、前n項和公式的運用，首項、公差（公比）、項數(shù)、通項、前n項和這些基本量之間的計算盡可能追求思路的自然流暢、方法的簡單明了體現(xiàn)了數(shù)列題的美感.但考生犯怵的是，有時想到怎么做容易可做起來很難.尤其是一些數(shù)列考題拘泥于某種章法而思路狹窄，或追求另類奇特的問題情境.這時能考慮一下其最鄰近的數(shù)學知識，興許能柳暗花明.

例6. 正項等比數(shù)列{an}中，T=a1a2…an，S=a1+a2+…+an，試用S，T表示Q=++…+.

【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q，則

Q=（qn-1+qn-2+…+1）=（a1qn-1+a1qn-2+…+a1）==.

由T=a1a2…an=a1·a1q·…·a1qn-1=an1，a1=，從而Q=.

【評注】傳統(tǒng)等比數(shù)列的解法認為通過a1，q表示S，T，再通過a1，q找S，T，Q之間的等量關系，這樣思路簡單，但做起來很繁瑣，還得討論公比q=1和q≠1兩種情況.這是局限于常規(guī)解題思路的結果，嘗試非傳統(tǒng)甚至非主流的解題技巧也許會大有不同.構造倒序?qū)ε际酱蚱瞥Ｒ?guī)，事實上等比數(shù)列最直接的形式是通項公式an=a1qn-1，由Q=++…+想到找最小公分母后通分在求和就會自然而簡單，再說也可以省掉討論公比q=1和q≠1兩種情況.考生來講的確是個難點，本輪復習可以特意加強字母運算的訓練.

6. 利用函數(shù)思想探究遞推數(shù)列的通項公式

數(shù)列題對思想方法特別是函數(shù)思想有較高要求，數(shù)列本身就是離散函數(shù).等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義體現(xiàn)了最簡單的遞推關系，但等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n項和為Sn公式的推導過程卻隱藏著疊加法、疊乘法、錯位相減法不完全歸納法等數(shù)學方法.從中提煉這些方法并把它用于其它題目中，這本身就是提高悟性的表現(xiàn). 對于這種比較難的題目，除了具備深厚的數(shù)學專業(yè)知識外，還需要具備閱讀理解能力、數(shù)學探究能力、應用能力、是學習能力. 閱讀理解能力即要讀懂數(shù)學題目所講的內(nèi)容，包含題目中的隱含條件，一般認為一流考生的標準就是審題時間和作答時間是五五開;數(shù)學探究能力即就是題目的結論不明確，聯(lián)想自己過去做的題;應用能力即將一些數(shù)學知識與實際生活的某些方面相結合; 學習能力即題目給出的一些新信息，這可以是一個新的定義，把這個信息與所學的知識結合起來，這就看誰能夠領會，領會以后很快把自己過去的知識結合起來.

例7. "已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn-Sn-2 =3（-）n-1（n≥3），且S1=1，S2=-求數(shù)列{an}的通項公式.

【解析】先考慮偶數(shù)項有：S2n-S2n-2=3·（-）2n-1=-3·（）2n-1，

S2n-2-S2n-4=3·（-）2n-3=-3·（）2n-3，S4-S2=2·（-）3=-3·（）3.

∴S2n=S2-3[（）2n-1+（）2n-3+…+（）3]

=-3[（）2n-1+（）2n-3+…+（）3+]

=-3·=-4[-·（）n]

=-2+（）2n-1（n≥1）.

同理考慮奇數(shù)項有：S2n-1-S2n-1=3（-）2n=3·（）2n.

S2n-1-S2n-3=3·（-）2n-2=3·（）2n-2·…·S3-S1=3·（-）2=3·（-）2.

∴ S2n+1=S1+3[（）2n+（）2n-2+…+（）2]=2-（）2n（n≥1）.

∴ a2n+1=S2n+1-S2n=2-（）2n-（-2+（）2n-1）=4-3·（）2n（n≥1）.

a2n=S2n-S2n-1=-2+（）2n-（2-（）2n-1）=-4+3·（）2n-1）（n≥1）.

a1=S1=1.

綜合可得an=4-3·（）n-1，n為奇數(shù)-4+3·（）n-1.n為偶數(shù)

【評注】本題的定位是壓軸題，很有難度，在數(shù)列中，屬于已知數(shù)列的前n項和Sn來求通項公式，經(jīng)過仔細推敲發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項相鄰的兩個之間的差為等比數(shù)列，利用累加法求出前n項和Sn的公式，最后再利用前n項和Sn來求通項公式，通常累加法可以解決數(shù)列中相鄰兩項的差成等比數(shù)列或有規(guī)律的關系，此例可以采用累加法解決.

7. 結束語

現(xiàn)在高考備考都流行務實備考，簡單說就是針對自己，合理規(guī)劃.低效的、吃力不討好的事少做或不做，數(shù)列部分更是如此.數(shù)列這個部分，需要考生在對基本知識、基本技巧掌握的基礎上，學習一些非常規(guī)技巧，非常規(guī)技巧起的是“錦上添花”而非“雪中送炭”的作用.需要考生站在更高的角度，才能看得更遠.

（作者單位：南雄市第一中學）

責任編校 " 徐國堅