線性方程組的一類近似算法的舍入誤差分析

【摘 要】對(duì)計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)的舍入誤差分析是對(duì)數(shù)值計(jì)算方法作誤差分析的基礎(chǔ)。論文優(yōu)化相關(guān)結(jié)論并給予的論證。討論由代數(shù)運(yùn)算引起的誤差界，最后對(duì)矩陣運(yùn)算的舍入誤差進(jìn)行了誤差界的估計(jì)。

【關(guān)鍵詞】浮點(diǎn)數(shù) 舍入誤差 矩陣運(yùn)算 誤差界

一、引言

在計(jì)算機(jī)中實(shí)數(shù)要表示為浮點(diǎn)數(shù)的形式，但是由于計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)中尾數(shù)的位數(shù)是有限的，在計(jì)算的時(shí)候，對(duì)一般實(shí)數(shù)必須要按舍入原則表示為浮點(diǎn)數(shù)。這樣， 計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)就是該實(shí)數(shù)的近似值。因此，我們通過討論代數(shù)運(yùn)算引起的誤差界進(jìn)而給出求解線性方程組的近似算法的誤差界。

二、實(shí)數(shù)計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)表示方法[1]

計(jì)算機(jī)中的浮點(diǎn)數(shù)可表示為

這里是機(jī)器所用浮點(diǎn)數(shù)的基底，是階數(shù)，是尾數(shù)，尾數(shù)一般可表示為

其中是尾數(shù)位數(shù)，稱為字長(zhǎng)， 若，則稱該浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。若用表示一個(gè)系統(tǒng)的浮點(diǎn)數(shù)的全體所構(gòu)成的集合，則

顯然，集合是一個(gè)對(duì)稱地分布在區(qū)間中的有限數(shù)集，其中，

因?yàn)槭且粋€(gè)有限集，所以它就不可能將中任意實(shí)數(shù)表示出來(lái)。以下我們來(lái)討論對(duì)于一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，應(yīng)選擇什么樣的浮點(diǎn)數(shù)去表示它，由此產(chǎn)生的相對(duì)誤差又是多少。

三、浮點(diǎn)數(shù)的誤差界估計(jì)

實(shí)數(shù)表示成浮點(diǎn)數(shù)之后，我們即可得到它的相對(duì)誤差限，這是進(jìn)行誤差分析的基礎(chǔ)，由參考文獻(xiàn)[2]得誤差分析的基本定理如下：

四、算術(shù)運(yùn)算的舍入誤差分析

用來(lái)表示加、減、乘、除四則運(yùn)算中任意一種運(yùn)算。對(duì)給定的數(shù)，，在運(yùn)算中， 若是上溢；若是下溢。以下在不發(fā)生溢出的情況下進(jìn)行討論，則由參考文獻(xiàn)[2]知：定理3.1 ，，同上（6）式（8）

五、矩陣基本運(yùn)算的舍入誤差[4]

首先，我們引進(jìn)記號(hào)，

并規(guī)定 當(dāng)且僅當(dāng) ，

（一）向前誤差分析法

設(shè)是由中的元素構(gòu)成的矩陣且是用浮點(diǎn)數(shù)表示的實(shí)數(shù)，所以有

注釋：上述的這個(gè)三個(gè)矩陣基本運(yùn)算的舍入誤差界，是估計(jì)了計(jì)算解與精確解之間的誤差，舍入誤差的界與精確解有關(guān)。這種誤差分析的方法稱為向前誤差分析法。

（二）向后誤差分析法。

假定上面所述的矩陣是的上三角矩陣。則由定理3.1可知

注釋：向后誤差分析法的優(yōu)點(diǎn)在于，它將浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算化為實(shí)數(shù)的精確運(yùn)算，從而在分析過程中就可以毫無(wú)困難地使用實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐珍. 舍入誤差分析引論[D]. 上海： 上?？萍汲霭嫔?， 1987；

[2]劉永漢；多維基r（）FFT 舍入誤差的分析[J]；自然雜志；1986年05期；

[3]曹志浩， 張玉德， 李瑞遐. 矩陣計(jì)算和方程求根[M ] .北京： 高等教育出版社， 1984.

作者簡(jiǎn)介：

李晶（1994- ）性別，女，沈陽(yáng)師范大學(xué)，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

李巍（1977- ）性別，女，沈陽(yáng)師范大學(xué)，數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，講師