揭示本質 啟發(fā)思維

摘 要：數(shù)學離不開解題，解題離不開變，“變在何處、為什么要變、怎樣變”能夠促進學生思維的發(fā)展。圍繞核心概念變，提升思維的廣闊性；圍繞知識節(jié)點變，發(fā)展思維的深刻性；圍繞解題策略變，加強思維的敏捷性。通過感悟思想方法、構建知識體系，揭示數(shù)學本質。

關鍵詞：變式教學；數(shù)學思想；數(shù)學本質

“變式教學”是通過對定理、命題進行變式，從不同角度、不同層次、不同背景揭示問題的本質，探尋知識點的內在聯(lián)系的一種教學設計方法。

“變在何處？”——變條件、變結論、變圖形、變背景、變拓展生長等等。在變中從簡單模仿到自發(fā)領悟到自覺分析；從基礎到創(chuàng)新再到卓越；從知識運用到經(jīng)驗積累再到能力提升。

“為什么要變？”——“變”可以使學生對問題解決過程和問題本身的結構有一個清晰的認識，能更深刻地理解概念、公式、定理的本質特征，能幫助學生學會方法遷移、學會內省，利于揭示本質、啟發(fā)思維。

“怎樣變？”——圍繞核心概念變、圍繞知識節(jié)點變、圍繞解題策略變。

一、圍繞核心概念變，提升思維的廣闊性

案例1.如圖1，∠AOB=30°，點P是OB上一個動點，以P為圓心、3cm為半徑畫⊙P。

（1）若⊙P與直線OA相交，求OP的取值范圍；

（2）若⊙P與直線OA無公共點，求OP的取值范圍；

（3）若⊙P與射線OA只有一個公共點，求OP的取值范圍。

【案例分析】

這是一道考查關于直線與圓的位置關系的典型習題，起點低，激活基本技能。引導學生將相交、相離問題轉化為相切處理，體會動靜之間的轉換；將圓與直線位置關系轉化為交點的個數(shù)探究，滲透轉化意識?！爸本€與射線”一字之差，關注審題，回歸概念?！跋嘟粫r圓與直線一定有2個公共點，而射線則可能有1個或2個公共點”，“d與r”的大小關系即直線與圓的位置關系。

變式1：如圖2，菱形ABCD，AD=6cm，∠CDA=60°，點P從D出發(fā)沿DB向B運動，以P為圓心、3cm為半徑畫⊙P。

（1）若⊙P與線段BA相交，求DP的取值范圍；

（2）若⊙P與線段DA相離，求DP的取值范圍。

【變式分析】

將角的背景變?yōu)椤傲庑巍?，圖形在變化，求解思路不變，實現(xiàn)了從知識層面到方法層面的過渡。

變式2：如圖3，菱形ABCD，AD=6cm，∠CDA=60°，點P從D出發(fā)以 cm/s的速度沿DB向B運動，過P作PQ∥AB，交AD于Q，以P為圓心PQ為半徑畫⊙P，設運動時間為ts：

（1）DB=______，DP=______，PQ=________；

（2）t為何值時，⊙P與直線AB相交？相切？相離？

（3）t為何值，⊙P與邊AB相交有1個公共點？有2個公共點？

你還能提出一些關于⊙P與直線AB、線段AB有關的問題嗎？

（怎樣解決這些問題？解決問題的關鍵是什么？在解決問題的過程中用到了哪些數(shù)學方法？通過以上問題的解決，你有什么發(fā)現(xiàn)、感悟？）

【變式分析】

將直線變?yōu)榫€段、射線，d變→圓心位置變→r變→圓心和r同時變，從定向的變到開放的變，從解決問題到提出問題，“變”將相關問題串聯(lián)起來，表象在變而本質未變，解決問題的思路和方法沒變。通過“變”表象揭示核心；通過“變”與“不變”體會數(shù)學思想，感悟數(shù)學本質，提升思維的廣闊性。

二、圍繞知識節(jié)點變，發(fā)展思維的深刻性

案例2.已知拋物線的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）。

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線上、x軸下方尋找點P，使得S△ABP=S△ABC，求點P坐標。

變式1：（相等是否特殊些？）在拋物線上、x軸下方尋找點Q，使得S△ABQ= S△ABC，求點Q坐標；

變式2：（等量關系是否特殊些？）在拋物線上、x軸下方尋找點E，使得S△ABE面積最大，求點E坐標；

變式3：在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△AMC為直角三角形，求點M坐標；

變式4：在拋物線的對稱軸上是否存在點N，使得△ANC為等腰三角形，求點N坐標；

變式5：在線段BC上是否存在點G，使得△BOG與△ABC相似，若存在求點G坐標，若不存在請說明理由。

【變式分析】

在2011版課標中，7～9年級課程內容“圖形與幾何”部分內容包含：圖形的性質（涉及平行線、相交線、三角形、四邊形、圓）；圖形的變化（涉及軸對稱、平移、旋轉、相似、投影）；圖形與坐標等。這道題以二次函數(shù)為背景，以坐標系為載體嵌入幾何與圖形，通過“變”引導學生審題——審共性、審差異，審變與不變；通過“變”挖掘條件（顯性條件：點的坐標，隱性條件；三角形面積、坐標系內兩點之間的距離、直線表達式）與結論之間的數(shù)學聯(lián)系，在條件與結論的聯(lián)系中探求架接渠道，探索解題之道。

變式1、變式2對比分析如下：

通過分析會發(fā)現(xiàn)：平行線是溝通數(shù)與形的橋梁。

變式3、變式4、變式5對比分析如下：

在對比中會發(fā)現(xiàn)，這幾個變式問題有著共同的結構，問題的落點都回歸到圖形構成的基本元素“點、線、角”上，看似問題各自獨立、各不相同，但實質上“同宗同源”，知識在此聚合、生長。在變式的過程中，辨析圖形的基本元素，抓住元素的本質屬性，提煉核心規(guī)律，內化“數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸”的數(shù)學思想，在知識的節(jié)點處發(fā)展思維的深刻性。

三、圍繞解題策略變，加強思維的敏捷性

案例3.如圖4，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直線m，垂足為D；CE⊥直線m，垂足為E；猜想BD，CE，DE三者的數(shù)量關系，并說明理由。

這是一道課本改編題，開放的提問方式讓學生的思維更活躍，學生借助全等能夠順利完成猜想：DE=BD+CE。

（一）縱向遷移

變式1：（90°→任意角度）

如圖5，AB=AC，點D、A、E三點共線，當∠BDA=∠BAC=∠AEC時關于BD，CE，DE的猜想還成立嗎？說明理由。

變式2：（刪減條件→全等變相似）

如圖6，點D，A，E三點共線，當∠BDA=∠BAC=∠AEC時，關于BD，CE，DE的猜想還成立嗎？說明理由。

變式3：（基本圖形辨析）

兩個等腰直角三角形Rt△AMN和Rt△FDE，如圖7，∠N=∠F=90°，點A是DE中點，DF交AN于點B，AM交FE于點C，關于DE，BD，CE三者的數(shù)量關系還成立嗎？你還有什么新發(fā)現(xiàn)呢？說明理由。

變式4：在變式3的基礎上，Rt△AMN繞點A旋轉一定角度，AN交DF的延長線于點B，AM交FE于點C，如圖8，你的猜想還成立嗎？

【變式分析】一線三等角的基本圖形沒有變，嵌入等腰直角三角形，植入旋轉，圖形的演變將知識點進行了串聯(lián)，由點及面體會圖形在幾何中的作用，幫助學生充分理解圖形的本質，體會圖形的發(fā)展變化，在復雜的圖形中辨析蘊含的基本圖形，讓思維跳躍，讓解題策略靈動起來，直擊問題的本質。

（二）橫向遷移

變式5：如圖9，等邊三角形△CDE，B為DC上一點，，∠BAC=60°，AE=1，BD= ，求DE長；

變式6：如圖10，矩形DECF折疊，BC是折痕，點F落在邊DE上，BC=5 ， = ，求FC的長。

【變式分析】

在這一組題的變化中，從角變到邊變，從顯性的基本圖形到基本圖形的組合內隱，從特殊到一般，策略隨問題而變，思維隨策略而動。在變化中，基本圖形從不同角度向外擴散，縱向深入、橫向拓展，使學生頭腦中的信息存儲更為系統(tǒng)；在變中，對基本圖形進行理性思考，內化為思維單元進行解題運用，將復雜的問題變得簡明、形象，更加直觀地理解數(shù)學?！白儭笔怯袑哟?、有梯度的“進”，在進中找規(guī)律、尋通法，整合思維模式，加強思維的敏捷性。

英國科學家培根說：“數(shù)學是進入各個科學門戶的鑰匙，如果沒有數(shù)學知識就不可能知曉這個世界。”數(shù)學離不開解題，解題離不開變——“變則靈動”，我們不僅要知道“怎樣變”“變在何處”，更要明晰“為什么要變”。

變，延伸、拓寬，由例及類、由此及彼，在沉淀中，感悟數(shù)學思想方法，喚醒生命的課堂，使顯性的知識與隱形的素養(yǎng)自然融合；變，把知識連成線、串成網(wǎng)、構成體，在構建知識的內在體系中，深刻洞察、理解數(shù)學；變，讓知識有“固著點”，使能力有“生長點”，能揭示本質，啟發(fā)思維。

參考文獻：

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[3]刁成海.中小學教師培訓[J].東北師范大學，2012（4）.

編輯 王夢玉