淺談高中數(shù)學(xué)例題的變式教學(xué)

摘 要：在經(jīng)濟(jì)科技迅猛發(fā)展的推動下，學(xué)生各階段所要掌握的知識更加復(fù)雜多樣，教師在課堂的有限時(shí)間內(nèi)要向?qū)W生傳授的信息量明顯增多。為了使課堂教學(xué)不會轉(zhuǎn)變成大量知識的反復(fù)疊加，致使學(xué)生找不到學(xué)習(xí)的方向，在教育方式上引進(jìn)了變式教學(xué)，從變式教學(xué)自身的特性和高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)著手，分析高中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)的作用。

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)；應(yīng)用模式；舉例分析

變式教學(xué)是在傳統(tǒng)的教學(xué)模式被經(jīng)濟(jì)、科技快速發(fā)展強(qiáng)烈沖擊的情況下產(chǎn)生的，它存在的目的就是使教師在有限的課堂時(shí)間內(nèi)更好地對知識進(jìn)行講解，而學(xué)生也能在課堂上完成對新知識的有效掌握，減少在課余時(shí)間的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

一、變式教學(xué)

1.變式教學(xué)的概念界定分析

變式教育在現(xiàn)階段被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)課程的講授過程之中，即教師通過有目的地對例題條件、結(jié)論中非本質(zhì)內(nèi)容的合理更改，使學(xué)生多方位掌握新知識，甚至達(dá)到一道例題能夠得出多項(xiàng)新知識的效果。這樣既可以高效完成教學(xué)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，又可以使學(xué)生所接觸的新知識以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)在學(xué)生面前，有利于學(xué)生系統(tǒng)掌握課堂知識而不是細(xì)小零碎知識的疊加。變式教學(xué)的順利實(shí)現(xiàn)不僅減少了教師在課堂上的教學(xué)任務(wù)，使教學(xué)模式變得清晰化，而且也有利于學(xué)生在課堂上對新知識的掌握，減少了課后自行對新知識系統(tǒng)化的負(fù)擔(dān)。

2.變式教學(xué)的作用

通過對變式教育的概念分析，我們可以發(fā)現(xiàn)變式教學(xué)是通過對一道例題的適當(dāng)改變達(dá)到一題多解、一題多用的效果，這樣多變式的教學(xué)模式不僅可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，而且在教師改變例題條件或結(jié)論的過程中，學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并嘗試性地自我解決問題，在這個(gè)過程中貫穿著對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。另外，變式教學(xué)提倡只對例題的條件、結(jié)論進(jìn)行合理化的改變而不是改變例題的本質(zhì)，這就有利于學(xué)生在解決問題的過程中能夠多角度對例題的本質(zhì)進(jìn)行分析、理解，加強(qiáng)對問題的認(rèn)識，在不刻意安排的情況下培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的思維模式。

二、變式教育在高中數(shù)學(xué)例題上的應(yīng)用模式

1.對數(shù)學(xué)例題內(nèi)容和形式的變式

在高中數(shù)學(xué)課程中有一些例題是可以通過對原有條件進(jìn)行不同角度的更改得到其在本節(jié)課甚至整本教材中所涉及其內(nèi)涵的全部結(jié)論。教師應(yīng)該注重對這種有變式潛力的例題的應(yīng)用，一道例題的頻繁出現(xiàn)不僅減少了學(xué)生的陌生感，也有利于學(xué)生將一段時(shí)間所學(xué)知識自主地連成知識網(wǎng)絡(luò)以方便學(xué)習(xí)。例如，教師在講述“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”后，經(jīng)常會選取類似這樣的習(xí)題為例題上練習(xí)課，例題為：直線y=x-2與曲線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。教師可采用這道例題為基礎(chǔ)，改變例題的條件或結(jié)論，進(jìn)行下列的一些變式：

變式一：若直線y=kx+b和拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，直線AB過（2p，0），求證：OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。

變式二：若直線y=kx+b和拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線y=kx+b過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

變式三：若拋物線y2=2px（p>0），以AB為直徑的圓過O點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

變式四：如圖，拋物線y=- x2上有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），且 · =0，又 =（0，-2），求證： ∥ 。

變式五：（2012年福建高考文科卷21題）如圖，等邊三角形OAB的邊長為8 ，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2=2py（p>0）上。

（I）求拋物線E的方程；

（II）設(shè)動直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)。

2.對實(shí)際內(nèi)容的背景進(jìn)行變式

不改變問題的實(shí)質(zhì)而創(chuàng)造不同的應(yīng)用背景，通過對問題實(shí)質(zhì)在不同背景下的應(yīng)用，可以使學(xué)生從不同的角度抓住問題的實(shí)質(zhì)，對有總結(jié)意義的知識更系統(tǒng)地把握。數(shù)學(xué)知識具有其本身的嚴(yán)肅性，其本質(zhì)上的內(nèi)容是不容隨意更改的，教師通過對其實(shí)質(zhì)應(yīng)用背景進(jìn)行改變，即可對其本質(zhì)進(jìn)行不同層次的呈現(xiàn)，在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生反復(fù)透過現(xiàn)象看本質(zhì)才能對其本質(zhì)有更清楚的認(rèn)識。例如，人教版教材必修1第71頁中對數(shù)函數(shù)例7原題為求函數(shù)y=logax2的定義域。可以變式為：

變式一：求函數(shù)y=logax2的定義域和單調(diào)區(qū)間。

變式二：求函數(shù)y=logax2的定義域和判斷其奇偶性。

變式三：求函數(shù)y=logax2的定義域和值域。

3.對問題的難易程度進(jìn)行變式

引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地對知識進(jìn)行掌握是我國教育理念的彰顯，把變式教育引入教學(xué)過程中同樣應(yīng)該遵守。在對同一道數(shù)學(xué)例題進(jìn)行更改的過程中可以將原有復(fù)雜理論通過幾個(gè)簡單理論來引導(dǎo)，使學(xué)生在逐步變幻的例題中逐漸接受新的較難的結(jié)論，既不打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也使學(xué)生能夠掌握難度較大的新知識，同樣是變式教育在高中數(shù)學(xué)中常用的有效教學(xué)方法。例如，在人教版必修1“指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)時(shí)，可以這樣變式教學(xué)：

（1）有一張紙，把它撕成兩半，重疊后再撕一次，重疊后再撕一次……那么撕5次后把所有的紙重疊放置有多少層？10次呢？15次呢？

（2）有一張1毫米的紙，把它撕15次后將所有的紙重疊放置有多高？會不會比你高？若20次呢？

（3）你能否建立紙的張數(shù)y和撕紙的次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式呢？

三、對高中數(shù)學(xué)例題采用變式教育的意義

1.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力

我國傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教育就是通過教師對一道相對經(jīng)典的例子進(jìn)行詳細(xì)準(zhǔn)確的講解，使學(xué)生對重要的知識理論和程序化的解題步驟有一定的了解，再通過大量相似類型習(xí)題的應(yīng)用逐步對新知識進(jìn)行消化。而現(xiàn)代引入變式教學(xué)理念的高中數(shù)學(xué)例題是可多樣化變換的，學(xué)生根據(jù)老師不同角度的變換在課堂上就可以對其實(shí)質(zhì)問題有多層次的理解，這樣大大減少了學(xué)生課余時(shí)間的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。而且學(xué)生根據(jù)老師的變換也可以隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，在遇到困難的時(shí)候嘗試多角度分析，掌握應(yīng)用知識的技能遠(yuǎn)遠(yuǎn)比單純的掌握知識更重要。例如，人教版教材必修1第21頁例5原題為：畫出函數(shù)y=│x│的圖象?？梢圆扇∠铝械淖兪剑?/p>

變式一：畫出函數(shù)y=│x2-2x-3│的圖象。

變式二：畫出函數(shù)y=x2-2│x│-3的圖象。

變式三：求函數(shù)y=x2-2│x│-3的單調(diào)區(qū)間，奇偶性，值域。

2.有利于高中數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)

高中數(shù)學(xué)所涉及的知識在橫向的寬度和縱向的深度上都比較廣，這就決定教師在每節(jié)課上需要向?qū)W生傳遞的信息量都比較大，而有效的課節(jié)是有限的，所以如果不能采用好的教學(xué)辦法，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是沒有辦法順利實(shí)現(xiàn)的。變式教育是通過對一道例題的適當(dāng)改變而達(dá)到一題多用的目的，這將大大縮短教師在講解過程中反復(fù)引入不同例題所用的時(shí)間，學(xué)生對原有例題已經(jīng)有了一定程度的理解，所以在新問題出現(xiàn)的時(shí)候不用再對題干等進(jìn)行反復(fù)的審讀，這也大大節(jié)省了一部分時(shí)間。減少課堂中無用時(shí)間的浪費(fèi)是提高高中數(shù)學(xué)授課效率的有效辦法，這在無形之中延長了教師對知識的講授時(shí)間，也能讓學(xué)生更清楚地知道教師每道例題所突出的重點(diǎn)，使教學(xué)目標(biāo)更有可能順利地完成。

例如，人教版教材必修2第69頁原題為：如圖1，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC。

變式一：如圖2，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，

（1）有多少對線線垂直？

（2）有多少對線面垂直？

（3）有多少對面面垂直？

變式二：如圖3，若B在AC，AD上的射影分別是E，F(xiàn)，連接EF，

（1）有多少對線線垂直？

（2）有多少對線面垂直？

（3）有多少對面面垂直？

變式三：（2008年浙江理科卷第14題）如圖4，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，則球O的體積等于_________。

3.有利于數(shù)學(xué)思維的確立

如果將高中數(shù)學(xué)知識看做毫無關(guān)聯(lián)的多個(gè)知識點(diǎn)的累積，其學(xué)習(xí)難度將會被無限地放大，學(xué)生不能在面對難題的時(shí)候靈活地對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行應(yīng)用，那再新穎、多樣化的教學(xué)方法都失去了意義。變式教學(xué)是在例題的變換過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生產(chǎn)生條件的微小變化都可能影響結(jié)論的意識，在處理數(shù)學(xué)問題過程中對條件有更明確的分析方法和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，并在邏輯運(yùn)算的過程中時(shí)刻注意其細(xì)微變化。高中數(shù)學(xué)課程不應(yīng)該以單純的解題步驟講解為學(xué)生扎實(shí)基本功的主要方法，而應(yīng)該以學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)思維為主，只有學(xué)生產(chǎn)生了與題型相呼應(yīng)的數(shù)學(xué)思維，才能在多樣化的題型中找到其本質(zhì)，抓住本質(zhì)處理問題。

變式教育是由高中數(shù)學(xué)課程自身特點(diǎn)所決定的，它在高中數(shù)學(xué)例題中的引入對于教師而言可以減輕教學(xué)的負(fù)擔(dān)，使教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)更好地實(shí)現(xiàn)，教學(xué)成果更加顯著。而對于學(xué)生而言，在對一道熟悉例題的變換過程中能夠了解多種新知識，方便將獨(dú)立的知識點(diǎn)聯(lián)成網(wǎng)絡(luò)，更有利于其記憶和應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)中引入變式教育對于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的系統(tǒng)教學(xué)都是行之有效的辦法。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.問題的解決與數(shù)學(xué)教育[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[2]劉凱成，范偉亮.變式教育在教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].應(yīng)用研究，2011（32）：117-122.

[3]樊燕，杜曉璐.對高中數(shù)學(xué)的自身特點(diǎn)探討[J].特點(diǎn)探討，2012，8（12）：102-107.

編輯 王夢玉