小技巧，大突破

【摘 要】從歷年高考數(shù)學(xué)試卷來看，三角函數(shù)是每年高考必考題型之一，分值較高，學(xué)生得分率卻較低，有些考生面對三角函數(shù)甚至望而生畏，題目還沒看，心理上已經(jīng)是放棄了，得分自然低下。因而，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意三角函數(shù)知識中容易被忽略的一些小問題、小技巧，以獲得大突破，提高考試成績。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 小技巧 大突破

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）04-0140-02

高中數(shù)學(xué)中，除了立體幾何有點(diǎn)難之外，三角函數(shù)也算是高中數(shù)學(xué)中重難點(diǎn)之一，大部分學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)過程中普遍反映函數(shù)太難學(xué)，此知識點(diǎn)一度成為學(xué)生們的“攔路虎”。其實(shí)，細(xì)細(xì)探究，三角函數(shù)并非是難于上青天，只要掌握其中訣竅，就可化難為易，讓學(xué)生們愛上三角函數(shù)。本文試從幾種常見的典型的例題加以探究，以給學(xué)生們學(xué)習(xí)三角函數(shù)提供些小技巧。

一 給出三角函數(shù)值的求角

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對此類問題通常會(huì)存在如下幾個(gè)困惑：一個(gè)三角函數(shù)值可能對應(yīng)著多個(gè)或無數(shù)個(gè)角，不知道該先求哪個(gè)角？不能準(zhǔn)確地寫出已知要求的那個(gè)范圍的角，下面結(jié)合例題加以解釋說明：

例1，已知 且 ，求x的取值集合。

解：令sinα= （α為銳角），則α= ，又 0

且≠-1，且 ，所以滿足條件的角在（ ，0）

內(nèi)，所以x=-α= ，所以x的取值集合為{ }。

例2，已知 且x∈[0，2π]，求x的取值集合。

解：令sinα= （α為銳角），則α= ，又

<0且≠-1，且x∈[0，2π]，所以滿足條件的角在（π，

），（ ，2π）內(nèi)，所以x=π+α= 或x=2π-α=

，所以x的取值集合為{ ， }。

在處理此類問題時(shí)，無論三角函數(shù)值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，解題時(shí)可暫時(shí)把它看作正數(shù)，以便更容易找到看作正數(shù)后相對應(yīng)的那個(gè)銳角α，最后再利用：π-α或π+α或2π-α處

理一下，就能很容易得出相應(yīng)的區(qū)間：（ ，π）；（π， ）；

（ ，2π）；（ ，0）內(nèi)符合題意的角了。若是滿足條件

的角可以有無數(shù)個(gè)，那么可以將剛才求出來的角“+”2kπ（k∈Z）就可以了。

二 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小

在教學(xué)比較函數(shù)大小時(shí)，我們通常要求學(xué)生把三角函數(shù)化成同名且自變量落在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后再進(jìn)行比較，這種方法看似容易，但學(xué)生在練習(xí)中很容易混淆單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。不妨換種方法，把此類問題中的自變量利用誘導(dǎo)公式負(fù)角化為正角，正角統(tǒng)一都化為銳角，這樣使得解題

更簡潔、明朗，因?yàn)檎?、余弦、正切函?shù)在區(qū)間（0， ）

內(nèi)的單調(diào)性依次為：單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，學(xué)生非常熟悉。

例3，比較tan（ π）與tan（ π）的大小。

解：tan（ ）=-tan =-tan（2π+ ）=-tan

=-tan（π+ ）=-tan

tan（ π）=-tan =-tan（2π+ ）=-tan =

-tan（π+ ）=-tan

因?yàn)閥=tanx在（0， ）內(nèi)單調(diào)遞增，且 < ，所

以 < ，所以- > ，即tan（ π）

>tan（ π）。

三 利用正、余弦定理解三角形

在△ABC中，設(shè)∠A、∠B、∠C的對邊長分別為：a、b、c。

正弦定理： （r為△ABC的外接

圓半徑）

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA； b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。

此定理內(nèi)容及變形學(xué)生們都非常熟悉，但在解題時(shí)卻鮮有學(xué)生能靈活運(yùn)用，本文從兩道例題中介紹下如何解答此類題型。

例4，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，已知cosC+（cosA- sinA）cosB=0。（1）求∠B的大??；（2）若a+c=1，求b的取值范圍。

解析：（1）由已知得-cos（A+B）+cosAcosB- sinAcosB=0，即有sinAsinB- sinAcosB=0?！遱inA≠0，∴sinB- cosB=0，即 cosB=sinB?！?

>0，∴cosB>0，∴tanB= ，即B= 。（2）由余弦定理

得b2=a2+c2-2accosB，∵a+c=1，cosB

= ，∴b2=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-3（ ）2=

（a+c）2= ，∴b≥ 。又a+c>b，∴b<1，∴ ≤b<1。

例5，在△ABC中，已知a=7，b=10，c=6，求A、B、C（精確到1°）。

分析：已知形式為：“三邊”，所以用余弦定理。

解：∵ ，∴A≈44°。

∵ ，∴C≈36°。

∴B=180°-（A+C）≈180°-（44°+36°）=100°。

〔責(zé)任編輯：范可〕