高中數(shù)學(xué)解題常見(jiàn)入手點(diǎn)問(wèn)題探討

【摘要】入手點(diǎn)作為解題的源頭，統(tǒng)領(lǐng)解題的整個(gè)過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要支撐點(diǎn)。本文針對(duì)入手點(diǎn)的特征、功能、與解題關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建了如何有效解題的可支配型策略。

【關(guān)鍵詞】入手點(diǎn)特征功能解題

入手點(diǎn)作為解題之始，思維之初，對(duì)解題至關(guān)重要。老師在教學(xué)中不乏對(duì)入手點(diǎn)的歸納、提煉、指導(dǎo)、訓(xùn)練，但學(xué)生們?nèi)狈?duì)多入手點(diǎn)的靈活機(jī)動(dòng)地分析、比較、銜接、切換、調(diào)整、綜合的處理能力。顯然，加強(qiáng)對(duì)入手點(diǎn)的教學(xué)，加深對(duì)入手點(diǎn)的本質(zhì)特征、功能、與解題關(guān)系的探索、思考，已成為構(gòu)建了如何有效解題的必由之路。

1入手點(diǎn)的\"前進(jìn)性\"思維特征與立足長(zhǎng)遠(yuǎn)入手解題。

從教育學(xué)分析，解題是一個(gè)系統(tǒng)過(guò)程，我們?cè)趩?wèn)題分析教學(xué)中不能就入手點(diǎn)講入手點(diǎn)，割裂入手點(diǎn)與整體解題的聯(lián)系，相反，應(yīng)深入地剖析入手點(diǎn)與整體解題的聯(lián)系。

例1、求f（x）= 2（x+1）+12x+1的值域。

分析：學(xué)生易想到分離常數(shù)，得f（x）=2+-12x+1 ，此時(shí)入手于何處？源頭在哪里？不難看到解析式的核心是2x，它能成為入手破題的源頭嗎？請(qǐng)看它的前進(jìn)性功能：

2x （0， +∞ ）2x+1 （1， +∞ ） 12x+1（0， 1）12x+1 （ -1， 0）f（x） （ -1， 1）

向著目標(biāo)，不斷挺進(jìn)，持續(xù)發(fā)展，美不勝收！

這樣的例子數(shù)不勝數(shù)！

它們不正是我們數(shù)學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)化思想的深刻體現(xiàn)嗎？

2入手點(diǎn)的\"后退性\"思維特征與后退一步解題法。

華羅庚先生曾說(shuō)，解題要善退，要退到我們熟悉的知識(shí)，熟悉的方法，熟悉的起點(diǎn)中來(lái)，再以它們?yōu)榛A(chǔ)向前探索，前進(jìn)，就能到達(dá)綜合創(chuàng)新的彼岸。

例2、M={a0， a1， a2， a3}，規(guī)定ai aj=ak，其中k是i+j被4除的余數(shù)。令N={ ai ︳ai ai=a2， ai M}，則N的元素為 。

說(shuō)明：①本題考查新運(yùn)算符 ，這類(lèi)題目集中考查學(xué)生對(duì)新運(yùn)算符的自主探究、嘗試、理解、創(chuàng)新應(yīng)用的能力，是近幾年高考的熱點(diǎn)。

②學(xué)生總想一蹴而就地理解掌握新符號(hào)，但對(duì)新事物理解總是一個(gè)過(guò)程，困難隨之出現(xiàn)了。

③理解是一個(gè)過(guò)程，用過(guò)程去理解。教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生，理解新符號(hào)，\"貴\"在\"退\"字，這樣的解法就是后退一步解題法。特點(diǎn)是：入手低，講發(fā)展，重過(guò)程。

3入手點(diǎn)解題的階段性特征

事物總是發(fā)展變化的。綜合問(wèn)題的解決常具有階段性特征。一個(gè)成功的入手點(diǎn)可以推動(dòng)本階段任務(wù)的完成，進(jìn)入到新的階段，就需要重新開(kāi)始，重新挖掘新的入手點(diǎn)，開(kāi)啟新的征程。

例3、已知3a=4b=6c，試探究a、b、c的關(guān)系。

分析：已知條件中的a、b、c據(jù)于指數(shù)位置，看看結(jié)論，它指引我們把它們\"取\"出來(lái)，探尋其間的直接的等量關(guān)系。

本題的解決呈現(xiàn)階段性特征：

階段一 入手點(diǎn)：分離出a、b、c，令3a=4b=6c=N，得 a=log3N， b=log4N， c=log6N

階段二 新入手點(diǎn)：解決當(dāng)前的首要問(wèn)題：不同底，換底得：

a= lgNlg3b=lgN2lg2c=lgNlg6

階段三 新入手點(diǎn)：尋找原始的等量關(guān)系：lg6=lg2+lg3

進(jìn)而：lgNc = lgN2b+lgNa ∴1c=12b+1a即為所求。

不斷發(fā)展的入手點(diǎn)依次產(chǎn)生了！

4入手點(diǎn)的多樣性與多樣性的入手解題法。

4.1知識(shí)點(diǎn)入手解題法。

數(shù)學(xué)學(xué)科的基本知識(shí)點(diǎn)是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基石，是理所當(dāng)然的入手點(diǎn)。

例4、已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的取值范圍。

分析本題的條件與結(jié)論，它們的結(jié)構(gòu)都有明顯的知識(shí)特征。

法一：與三角知識(shí)特征相符，入手點(diǎn)：三角換元，令a=cosα ， b=sinα ， c=2cosβ ， d =2sinβ ，進(jìn)而得ac+bd=2cos（ αβ ） [2， 2]。

法二：本題也符合向量?jī)?nèi)積的知識(shí)特征，入手點(diǎn)：引入向量，

兩種解法都顯示出知識(shí)點(diǎn)入手解題的巨大魅力！

4.2數(shù)學(xué)思想（方法、模型）入手解題法。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的思維核心，它充滿了數(shù)學(xué)學(xué)科的每一角落，是數(shù)學(xué)學(xué)科最有力的武器。從數(shù)學(xué)思想入手破題，我們的解題就有了靈魂，有了方向。

例5、已知a212x2， x [- 1， 1]，a>0且a ≠1，求a的范圍。

分析：（1）本題既考查指數(shù)函數(shù)ax，又考查二次函數(shù) 12x2，兩者的解析式不易結(jié)合，但兩者的圖象都易獲得，數(shù)形結(jié)合是入手點(diǎn)一。

（2）本題的指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a ≠1）具備不確定性，故適于分類(lèi)討論，即入手點(diǎn)二。

兩大數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，分類(lèi)作圖，即可解得答案。

5入手點(diǎn)的辯證統(tǒng)一，靈活多變與立體式、交互式、網(wǎng)絡(luò)式發(fā)展。

5.1解剖入手點(diǎn)的功能、作用，它們是入手點(diǎn)相互結(jié)合的根源。

教學(xué)中對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)不能只講操作，要落實(shí)到對(duì)入手點(diǎn)作用、功能的挖掘上，它們是入手點(diǎn)有機(jī)結(jié)合的土壤。

例6、求函數(shù)f（x）=lg（x2- x -2）的單調(diào)區(qū)間

分析：本題：教學(xué)中\(zhòng)"老師反復(fù)講解，學(xué)生反復(fù)出錯(cuò)\"。稍加推敲，不難發(fā)現(xiàn)本題有兩個(gè)入手點(diǎn)，（1）定義域；（2）函數(shù)分解與單調(diào)性合成。解題的關(guān)鍵在于兩個(gè)點(diǎn)位的合成。學(xué)生易錯(cuò)。

5.2入手點(diǎn)的切換，\"學(xué)得無(wú)助感\(zhòng)"與\"逃脫性學(xué)習(xí)法\"。

例7、已知f（x）=a -22x+1 ，當(dāng)a為何值時(shí)，f（- x）= -f（x）恒成立。

這不是一道題，但學(xué)生仍有陷入危機(jī)的可能。

我的一位學(xué)生作如下分析：由f（ -x）=- f（x）得a -22-x+1= -a+ 22x+1∴22x+1+22-x+1=a

學(xué)生想入手通分，發(fā)現(xiàn)難，于是先處理2 -x得：22x+1+12 1x+1=a，因?yàn)樗季S的慣性，學(xué)生又想通分，仍然失敗，學(xué)生說(shuō)他自己都要絕望了……

這種情形，關(guān)系重大，一定要指點(diǎn)學(xué)生自主\"逃生\"：

第一步：指點(diǎn)學(xué)生將剛才的想法（通分法）密封起來(lái)，堅(jiān)決不用，打破思維的慣性。

第二步：學(xué)生清醒過(guò)來(lái)，重新入手，重新定位，多角度找入手點(diǎn)，或采用后退法找入手點(diǎn)，學(xué)生一定可以找到新的入手點(diǎn)，逃出生天。

不斷交匯發(fā)展，創(chuàng)新的問(wèn)題變式教學(xué)不但可以向?qū)W生深刻展現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的形成過(guò)程，還可以培養(yǎng)學(xué)生靈活地、發(fā)展地、綜合地、辯證地入手解題，促進(jìn)解題入手的立體式，交互式、網(wǎng)絡(luò)式發(fā)展。促進(jìn)學(xué)生辯證思維能力形成。

【參考文獻(xiàn)】

[1]《現(xiàn)代心理學(xué)》————上海人民出版社張春興著

[2]《數(shù)學(xué)學(xué)科中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題常見(jiàn)策略初探》————蔣元政