基于MATLAB的線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)設(shè)計(jì)

【摘 要】依據(jù)線性代數(shù)課程的內(nèi)容特點(diǎn)和教學(xué)要求，運(yùn)用MATLAB的GUI功能設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)。系統(tǒng)將線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)分為基礎(chǔ)理解性實(shí)驗(yàn)、基礎(chǔ)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和綜合應(yīng)用性實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的可視化和良好的人機(jī)互動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，同時(shí)提高學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)工具和線性代數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)實(shí)驗(yàn) MATLAB 演示系統(tǒng)

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）29-0007-02

線性代數(shù)是高等院校理工科以及經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)生的基礎(chǔ)課，具有覆蓋面廣、應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)有較大影響，因而受到越來(lái)越廣泛的重視。隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的普及，線性代數(shù)的用途比過(guò)去任何時(shí)候都廣泛，在大學(xué)教育中的地位和作用也日益重要。本文選取與線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容配套的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，運(yùn)用MATLAB的圖形用戶界面系統(tǒng)GUI研制了線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)，并通過(guò)理論與實(shí)驗(yàn)并行的教學(xué)模式改善線性代數(shù)課程的教學(xué)效果。

一 線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則

線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的是幫助學(xué)生完成從認(rèn)識(shí)到實(shí)踐，在實(shí)踐中將理論知識(shí)內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)果的過(guò)程。因此，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)學(xué)生在不同階段、不同層面的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從教學(xué)實(shí)際需要出發(fā)，充分考慮實(shí)驗(yàn)的目的和作用，同時(shí)兼顧實(shí)驗(yàn)的可操作性。由于線性代數(shù)課程的授課對(duì)象多為低年級(jí)學(xué)生，計(jì)算機(jī)操作能力有限。要達(dá)到理想的教學(xué)效果，實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)界面應(yīng)盡量簡(jiǎn)潔直觀，并易于執(zhí)行。學(xué)生只需要通過(guò)簡(jiǎn)單的參數(shù)改變和命令輸入，即可得到預(yù)定的結(jié)果。演示實(shí)驗(yàn)內(nèi)容要涵蓋線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容和方法，同時(shí)兼顧基礎(chǔ)性、靈活性和應(yīng)用性。各實(shí)驗(yàn)?zāi)K之間要易于進(jìn)行聯(lián)系、比較和分析。

二 線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容選擇

根據(jù)線性代數(shù)的主要內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容劃分為行列式、矩陣、線性方程組、向量組和二次型五個(gè)知識(shí)模塊。每個(gè)模塊都有相應(yīng)的主題，模塊之間通過(guò)“線性方程組”這條主線連為一體。在選擇實(shí)驗(yàn)內(nèi)容時(shí)，根據(jù)每一知識(shí)模塊的基本知識(shí)點(diǎn)和相應(yīng)技能要求，設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理解性實(shí)驗(yàn)、基礎(chǔ)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和綜合設(shè)計(jì)性三種類型的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。

基礎(chǔ)理解性實(shí)驗(yàn)是由理論產(chǎn)生的背景出發(fā)，經(jīng)過(guò)假設(shè)和簡(jiǎn)化而成的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析和演示，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或計(jì)算方法，使學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)逐步上升到理論思考。此類實(shí)驗(yàn)有助于加深學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解，幫助學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系。

基礎(chǔ)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)是指運(yùn)用MATLAB強(qiáng)大的矩陣計(jì)算功能和豐富的函數(shù)命令，實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)中計(jì)算問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)。學(xué)生在掌握線性代數(shù)基本理論和低階問(wèn)題手算方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際操作學(xué)會(huì)應(yīng)用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)運(yùn)算。從而在掌握和鞏固課堂知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，進(jìn)一步提高計(jì)算能力，通過(guò)手算與機(jī)算的有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜、高階問(wèn)題的求解。

綜合應(yīng)用性實(shí)驗(yàn)的目的是鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。將科技、工程中的實(shí)際問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)簡(jiǎn)化，形成容易理解的案例。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生充分體會(huì)到線性代數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，并有效提高學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖

三 線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)界面設(shè)計(jì)

線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)是借助MATLAB的圖形用戶開(kāi)發(fā)環(huán)境實(shí)現(xiàn)的。界面中包含一個(gè)初始化界面和若干功能界面。實(shí)驗(yàn)界面均由按鈕、文本框、菜單等圖形控件對(duì)象構(gòu)成?？丶牟季忠院?jiǎn)潔直觀、便于操作為原則。初始化界面由演示系統(tǒng)名稱、系統(tǒng)使用說(shuō)明、前進(jìn)和退出模塊構(gòu)成。學(xué)生通過(guò)“使用說(shuō)明”了解系統(tǒng)的主要構(gòu)成和操作方法，通過(guò)“進(jìn)入”鍵進(jìn)入子界面，通過(guò)“退出”鍵退出演示系統(tǒng)。子界面由菜單區(qū)和實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)區(qū)構(gòu)成，內(nèi)容由每個(gè)知識(shí)模塊決定，見(jiàn)圖2。

圖2 演示系統(tǒng)子界面

2012年度中國(guó)石油大學(xué)（華東）教學(xué)改革項(xiàng)目（編號(hào)：JY-B201252）和2014年度中國(guó)石油大學(xué)（華東）青年教師教學(xué)改革項(xiàng)目部分研究成果

在子界面的左側(cè)布置實(shí)驗(yàn)名稱、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)說(shuō)明等內(nèi)容，主要目的是說(shuō)明當(dāng)前實(shí)驗(yàn)的目的、要求和操作要點(diǎn)。左下側(cè)設(shè)置實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重置按鈕和返回按鈕。右側(cè)包括代表變量名稱的靜態(tài)文本框、用于實(shí)驗(yàn)參數(shù)和命令輸入的文本編輯框、用于執(zhí)行命令的按鈕和輸出實(shí)驗(yàn)結(jié)果的文本框。在演示操作時(shí)，在編輯文本框中輸入矩陣或變量，點(diǎn)擊運(yùn)行按鈕，即可在演示界面顯示結(jié)果。

四 線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式設(shè)計(jì)

線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)中，每個(gè)知識(shí)模塊包含的三類實(shí)驗(yàn)，即基礎(chǔ)理解性實(shí)驗(yàn)、基礎(chǔ)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和綜合設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，分別對(duì)應(yīng)著線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程的三個(gè)不同階段，即課程基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)識(shí)階段、知識(shí)擴(kuò)展提高階段和實(shí)際應(yīng)用階段。

圖3 基于線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)圖

在每個(gè)教學(xué)階段，學(xué)習(xí)內(nèi)容和對(duì)學(xué)生能力的要求不同，選擇的實(shí)驗(yàn)類型也不同，教學(xué)方法也應(yīng)有所區(qū)別。運(yùn)用演示系統(tǒng)進(jìn)行輔助教學(xué)過(guò)程，也是學(xué)生感受、理解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程。教師要根據(jù)教學(xué)目的，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，因材施教，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)、探索、交流和發(fā)展的空間。以“矩陣”演示實(shí)驗(yàn)為例，說(shuō)明演示系統(tǒng)在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

1.基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)識(shí)階段教學(xué)設(shè)計(jì)

基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)識(shí)階段的教學(xué)是學(xué)生初步接受基本概念、原理的過(guò)程。在矩陣一章中，選取“商場(chǎng)家電銷售量統(tǒng)計(jì)”作為基礎(chǔ)理解性實(shí)驗(yàn)，見(jiàn)圖2。

學(xué)生可以通過(guò)商場(chǎng)家電每月銷售情況的輸入了解矩陣結(jié)構(gòu)本身就是一張數(shù)表；通過(guò)數(shù)與銷售量矩陣的乘法理解矩陣數(shù)乘就是用數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素；通過(guò)總銷量矩陣的生成理解矩陣的加法矩陣就是同型矩陣對(duì)應(yīng)元素之和構(gòu)成的矩陣；通過(guò)銷售額矩陣的生成理解兩個(gè)矩陣相乘的條件、運(yùn)算規(guī)律。

學(xué)生通過(guò)演示界面，不僅能夠理解矩陣這一新的抽象數(shù)學(xué)概念在實(shí)際中的反映，而且通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析和歸納可以得到矩陣運(yùn)算的規(guī)律，對(duì)涉及的新知識(shí)有了初步的認(rèn)識(shí)和把握。教師可以此為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生剖析與矩陣相關(guān)的更多內(nèi)在特征和性質(zhì)。

2.知識(shí)擴(kuò)展提高階段教學(xué)設(shè)計(jì)

在知識(shí)擴(kuò)展階段，學(xué)生已經(jīng)掌握了矩陣相關(guān)的基本理論，并且能夠手算低階矩陣的計(jì)算問(wèn)題。教師可以通過(guò)基礎(chǔ)驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，教授學(xué)生如何使用MATLAB命令進(jìn)行矩陣加法、數(shù)乘、乘法、求逆、求冪等問(wèn)題的計(jì)算機(jī)計(jì)算。學(xué)生通過(guò)認(rèn)識(shí)、模仿到設(shè)計(jì)等一系列的學(xué)習(xí)過(guò)程，在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，逐步具備使用軟件工具解決計(jì)算問(wèn)題的能力。

3.實(shí)際應(yīng)用階段教學(xué)設(shè)計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用階段，選擇“平面圖形的幾何變換”作為綜合設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，見(jiàn)圖4。

圖4 “平面圖形的幾何變換”實(shí)驗(yàn)演示界面

實(shí)驗(yàn)描述階段，由教師引導(dǎo)學(xué)生回顧中學(xué)階段解決平面圖形幾何變換的方法，并結(jié)合矩陣定義和運(yùn)算，建立旋轉(zhuǎn)變換和放縮變換的矩陣乘法模型。由于圖形平移運(yùn)算不是線性運(yùn)算，不能直接用平面坐標(biāo)的矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)，但可以通過(guò)將每個(gè)點(diǎn)的平面坐標(biāo)添加一個(gè)元素1，即變?yōu)辇R次坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)。學(xué)生可以由此建立起齊次坐標(biāo)下各種變換相應(yīng)的矩陣乘法模型。

實(shí)驗(yàn)分析設(shè)計(jì)階段，教師可以將學(xué)生進(jìn)行分組。學(xué)生小組根據(jù)前期分析進(jìn)行討論、構(gòu)思，建立齊次坐標(biāo)下的平面圖形幾何變換計(jì)算模型，并運(yùn)用MATLAB求解，實(shí)現(xiàn)圖形變換的演示，得出結(jié)論。

這一實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與實(shí)現(xiàn)了知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)換過(guò)程，并對(duì)學(xué)習(xí)課程應(yīng)掌握的數(shù)學(xué)思維、方法和技巧有了更深刻的認(rèn)識(shí)和把握，從而更大程度地提高了動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。

五 結(jié)束語(yǔ)

基于MATLAB的線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)演示系統(tǒng)，是線性代數(shù)課堂及實(shí)驗(yàn)教學(xué)的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)系統(tǒng)。通過(guò)系統(tǒng)的演示，能夠?qū)⒊橄蟮母拍钚蜗蠡?，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，從而幫助學(xué)生加深對(duì)概念和理論的理解。學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，不僅掌握了線性代數(shù)基本運(yùn)算的筆算和機(jī)算方法，提高了計(jì)算效率，而且能夠更好地實(shí)現(xiàn)抽象理論與實(shí)際應(yīng)用之間的結(jié)合，為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及應(yīng)用線性代數(shù)理論解決實(shí)際問(wèn)題打下很好的基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新能力起到一定的推動(dòng)作用。

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〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕