一題多解

教材是我們獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識的主要來源，它在數(shù)學(xué)中起著不可替代的作用。筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、動手實(shí)踐自主探究、合作交流，對教材中的典型問題進(jìn)行加工改造、組合嫁接、引申推廣，會起到事半功倍的效果。這樣做能夠充分調(diào)動同學(xué)們的積極性與創(chuàng)造性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，還能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。這樣做，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與變通性，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力都有好處。

例：求函數(shù)y= 的值域。

這是北師大版高中數(shù)學(xué)教教材必修4第68頁B組第3題的第（2）小題，若進(jìn)行適當(dāng)變換后，如y= 是一道很簡單，內(nèi)容且十分豐富的好題，深入探討，引申推廣，發(fā)展學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)萬事萬物都有著必然的聯(lián)系。

方法1：學(xué)習(xí)了三解函數(shù)這一章后，可根據(jù)三角函數(shù)的有界性求之。

解：變形后可得

Sinx-ycosx=2y

根據(jù) 則由橢圓不等式得

∴

另外，學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)以后，可求導(dǎo)數(shù)。

當(dāng)

當(dāng)

∴函數(shù) 是增函數(shù)，在第一個(gè)區(qū)間

∴

這樣便達(dá)到了殊途同歸的效果。

方法2：可用萬能公式

替換式子中的

而 ∴

方法3：學(xué)習(xí)了直線方程這一章后，分析它的代數(shù)意義，揭示其幾何意義，式子可變形為 發(fā)現(xiàn)此式表示的是過動點(diǎn) 和定點(diǎn)（-2，0）直線的斜率，而動點(diǎn)在單位圓 上，設(shè)斜率為k，寫出直線方程，利用直線與圓相切，△=0便可得到k的最大值和最小值。

方法4：可利用點(diǎn)到直線的距離公式求之，由方法1知道

令 此方程是關(guān)于m，n的二元一次方程，表示一條直線，于動點(diǎn)（m，n）在單位圓m2+n2=1上，所以直線與圓相切或相交，則 法同方法1。

方法5：學(xué)習(xí)向量這一章，然后利用向量不等式 求之，由前面知

令

則由 得

解法同前。