淺談在新課標(biāo)下數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

所謂逆向思維，是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向進(jìn)行的一種思維。它是一種和正向思維方向相反而又相互聯(lián)系的思維過程，即我們通常所說的“倒著想”或“ 反過來想一想”。逆向思維屬于發(fā)散性思維的范疇，是一種創(chuàng)造性的求異思維。思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，也是培養(yǎng)其他能力的核心。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更離不開逆向思維能力，諸如常用的反證法，分析法等都是逆向思維的表現(xiàn)。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力就成為一項特殊而獨立的任務(wù)了。那么數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力呢？

一、教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維的途徑

1.重視數(shù)學(xué)定義的逆向性

定義是對一個名詞的說明，它使得數(shù)學(xué)概念和語言聯(lián)系起來，揭示了事物的本質(zhì)屬性，所以，它的逆命題都是成立的，即定義具有逆向性，對防止學(xué)生思維的單向定勢是有益的。

例如，線段中點定義：點B把線段AC分成兩條相等的線段，點B叫做線段AC的中點。它的逆命題敘述成“若點B是線段AC的中點，則B把AC分成兩條相等的線段”（如圖）。并用符號語言表示成：B是AC中點AB=BC=AC

2.強(qiáng)調(diào)公式（法則）的可逆性

教學(xué)實踐表明，學(xué)生對公式（法則）的逆向應(yīng)用不習(xí)慣，缺乏應(yīng)有的意識，思維常定勢在順向應(yīng)用公式上。所以，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)公式（法則）的可逆性。

例如：式子是教學(xué)重點，也是難點，課本中缺少逆向應(yīng)用的訓(xùn)練，教學(xué)時應(yīng)增加諸如：

①若，則x是什么數(shù)？

②若，則x應(yīng)取什么范圍內(nèi)的數(shù)？

這樣通過學(xué)生思維過程的雙向連結(jié)，才能對公式作透徹的理解和應(yīng)用。

3.重視引導(dǎo)學(xué)生探討命題（定理）的逆命題

有些數(shù)學(xué)命題，探討它的逆命題的正確與否，既可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造思維。

例：如圖，△ABC中，AB=AC，P、Q為BC

上兩點，且∠BAP=∠CAQ。求證：BP=CQ

命題證完以后，再引導(dǎo)學(xué)生將原命題的題設(shè)、

結(jié)論一一交換，構(gòu)造逆命題，再判斷真假，學(xué)生會

很有興趣地得到并證明以下兩個命題：

命題1：如上圖，已知△ABC中，AB=AC，BP=CQ，求證：∠BAP=∠CAQ。

命題2：如上圖，已知△ABC中，∠BAP=∠CAQ，BP=CQ。求證：AB=AC。

4.應(yīng)用反例進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練

肯定一個命題時，必須在題設(shè)條件下，對所有可能的情形證明結(jié)論真?zhèn)?，而否定一個命題時，只要舉一個符合題設(shè)條件而結(jié)論不正確的例子，即反例即可。教學(xué)中尋找反例正是要突破固有的正向思維模式從問題的逆向思考的，所以，反例教學(xué)也是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的一個重要途徑。

例：若兩個三角形有一邊及另兩邊上的高分別相等，這兩個三角形全等嗎？為什么？

此例正需從問題的對面去尋求一個符合題設(shè)，但結(jié)論不成立的例子，為此引導(dǎo)學(xué)生思考以下反例：

對如圖△ABC中，作∠BAD=∠BAC，

AD與CB的延長線交于D，易證對△ABC

和△ABD，AB邊公共，另兩邊上的高對應(yīng)

相等，但△ABD與△ABC卻不全等，從而否定命題。

5.重視引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)上的互逆關(guān)系

數(shù)學(xué)中的很多知識在結(jié)構(gòu)上都具有互逆的關(guān)系，教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，發(fā)現(xiàn)彼此間存在的互逆特征，這樣既可加深理解所學(xué)知識，又能幫助學(xué)生疏通整個教材，開拓學(xué)生的思維空間。

例如：在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求代數(shù)式的值與解方程之間的關(guān)系時，可給出這樣的訓(xùn)練題：

（1）當(dāng)x=3時，求代數(shù)式6x+1的值

（2）解方程6x+1=19

這兩個很簡單的問題，卻是同一問題的兩個互逆的思維形式，它們能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)求代數(shù)式的值與解方程之間的互逆關(guān)系，也為講解自變量的值與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系作了心理準(zhǔn)備。若講解“函數(shù)”時再引出這兩個問題，就更能使學(xué)生將求代數(shù)式的值與解方程這兩個問題有機(jī)的統(tǒng)一起來了。

二、逆向思維的訓(xùn)練有利于培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)

培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、深刻性、批判性等思維品質(zhì)的過程。

1.思維的敏捷性

思維的敏捷性即思維的速度問題，即使學(xué)生能正確迅速地解題，應(yīng)用逆向思維解題會提高解題速度。

2.思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動的靈活速度，逆向思維的訓(xùn)練能使學(xué)生從不同方向理解問題、產(chǎn)生多種聯(lián)想，從而提供不同的思考方法。

3.思維的深刻性

思維的深刻性反映思維的抽象概括程度，表現(xiàn)在善于抓住事物的規(guī)律和本質(zhì)，開展系統(tǒng)的理性活動。深刻性主要靠訓(xùn)練，而逆向思維的訓(xùn)練有這種作用。

4.思維的批判性

思維的批判性表現(xiàn)在學(xué)生有能力評價解題思路的選擇是否正確，作出這種思路必將導(dǎo)致的結(jié)果，在解題中能進(jìn)行各種方式的比較和檢驗。能驗證已得出或正在得出的結(jié)果，并表現(xiàn)出善于自覺地找出或修正自己的思維，甚至否定它。

三、培養(yǎng)逆向思維應(yīng)注意的幾個問題

逆向思維能力的培養(yǎng)，對學(xué)生更好地理解掌握知識，完善知識結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)思維品質(zhì)，促進(jìn)思維的發(fā)展都有極為重要的作用。逆向思維又難于順向思維，所以，培養(yǎng)學(xué)生 的逆向思維應(yīng)注意以下問題。

1.使學(xué)生具備扎實的基礎(chǔ)知識

強(qiáng)調(diào)逆向思維的訓(xùn)練，并不排斥正向思維訓(xùn)練的重要性，教學(xué)時應(yīng)在基礎(chǔ)知識訓(xùn)練到很熟練的程度后，才能轉(zhuǎn)向逆向思維的訓(xùn)練，否則就會徒勞無功。

例如，訓(xùn)練公式“ （a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）”的逆向應(yīng)用時，應(yīng)首先將根式的化簡訓(xùn)練到熟練程度，否則，講授根式的乘法、除法時，將收不到應(yīng)有效果。

2.重視“正向”與“逆向”思維聯(lián)結(jié)的約束條件

在進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練時，不可只將注意力集中在沿逆向展開思維，還應(yīng)重視“正向思維”與“逆向思維”的思維聯(lián)結(jié)的約束條件，否則容易造成錯誤。

例如： -4=；-5=；=.等等錯誤，都是逆向應(yīng)用公式時，忽略了公式逆向成立的條件約束造成的。

3.教學(xué)中，應(yīng)抓準(zhǔn)時機(jī)，選準(zhǔn)教材，注意有意識地、多方位、多角度、早滲透、采用類比、發(fā)現(xiàn)等方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。