逆向思維在矩陣零特征值中的教學(xué)探析

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

摘要：線性代數(shù)是高等教育的重要基礎(chǔ)課，矩陣特征值特征向量是線性代數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)，特別是矩陣的零特征值結(jié)合行列式，矩陣的秩以及方程組的基礎(chǔ)解系等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用就更加靈活，相關(guān)文獻(xiàn)也比較少，本文利用逆向思維的數(shù)學(xué)思想結(jié)合對(duì)比轉(zhuǎn)化思想就矩陣零特征值問(wèn)題一些靈活應(yīng)用做了些探討總結(jié)。并舉例說(shuō)明這種思想方法對(duì)相關(guān)題型的計(jì)算是相當(dāng)有益的，也能提高學(xué)生的解題能力和知識(shí)應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：矩陣；零特征值；逆向思維；數(shù)學(xué)思想

線性代數(shù)是高等教育的重要基礎(chǔ)課，矩陣特征值特征向量是線性代數(shù)的一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是教學(xué)的重點(diǎn)，其內(nèi)容抽象，定理結(jié)論較多，同時(shí)在求解過(guò)程有點(diǎn)比較繁復(fù)，是學(xué)生不易理解和掌握的部分，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果從逆向思維數(shù)學(xué)思想的角度思考，結(jié)合對(duì)比轉(zhuǎn)化思想，矩陣特征值特征向量有些類型的題目的求解就變得相當(dāng)簡(jiǎn)單，且思路清晰明了。所謂的逆向思維就是對(duì)司空見(jiàn)慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式。對(duì)于某些問(wèn)題，從結(jié)論往回推，倒過(guò)來(lái)思考，從求解回到已知條件，反過(guò)去想或許會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。因此借用逆向思維數(shù)學(xué)思想把直接求解不易或者較繁瑣的題目，從逆向的方向思考，就可使求解的過(guò)程更加簡(jiǎn)單快捷，進(jìn)而也可以加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，提高知識(shí)的應(yīng)用能力，能夠讓學(xué)生做到對(duì)線性代數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握其精髓，提高解題能力很有裨益。本文利用逆向思維數(shù)學(xué)思想結(jié)合對(duì)比轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐就矩陣有關(guān)零特征值的零變形、基礎(chǔ)解系和不可逆矩陣等相關(guān)問(wèn)題三個(gè)方面總結(jié)如下：

一、零變形

眾所周知，零是數(shù)學(xué)中一個(gè)很特殊的數(shù)字，它有一個(gè)非常好的特性，即是零乘以任何數(shù)仍等于零。如果在有關(guān)求解矩陣特征值特征向量的題目中，所求矩陣含有零特征值，就可借用零特征值的特殊性，利用逆向思維數(shù)學(xué)思想，結(jié)合對(duì)比轉(zhuǎn)化思想以及零的恒等變形，構(gòu)造出有利于解題的等價(jià)形式，從而使問(wèn)題的求解思路更加簡(jiǎn)單、明了、直觀，對(duì)問(wèn)題的理解和把握更加準(zhǔn)確，教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中可以總結(jié)講解，進(jìn)而提高學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解把握，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。例如：

例1.設(shè)為二階矩陣，α1，α2為線性無(wú)關(guān)的2維列向量，且Aα1=0，Aα2=2α1+α2，求的特征值。

解析：題目中由于矩陣A沒(méi)有給出，只給出了矩陣的階數(shù)和特征向量，按常規(guī)求矩陣特征值特征向量的解題思路，此題只能知道矩陣有兩個(gè)特征值，具體是什么根本無(wú)法直接求解，但根據(jù)題目其他已知條件，利用逆向思維數(shù)學(xué)思想結(jié)合對(duì)比轉(zhuǎn)化思想和零的恒等變形即零變形，就會(huì)使解題的思路豁然開(kāi)朗，也即是因Aα1=0，由零變形Aα1=0=0α1，利用矩陣的特征值特征向量的定義和性質(zhì)，已知λ=0為矩陣A的特征值。此時(shí)矩陣含有零特征值，結(jié)合其他已知條件，用同樣的思想方法可知，又因Aα2=2α1+α2，再由零變形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1（2α1+α2），就可求出矩陣的另一個(gè)非零特征值為，問(wèn)題得以順利解決。由此可窺知逆向思維數(shù)學(xué)思想的妙處。具體求解過(guò)程如下。

解：因Aα1=0，由零變形Aα1=0=0α1，則λ=0為矩陣A的特征值。又因Aα2=2α1+α2，再由零變形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1（2α1+α2）

因此λ=1為矩陣A的非0特征值。綜上，矩陣A的特征值為λ=0，λ=1。

二、 基礎(chǔ)解系

線性代數(shù)把線性方程組系統(tǒng)理論化，并給出線性方程組的如Cramer法則，Gauss消元法，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等諸多完善理論解法，其中線性方程組解的結(jié)構(gòu)求解方法是用方程組的基礎(chǔ)解系來(lái)表示方程組的全部解。解線性方程組是線性代數(shù)的線性方程組求解中需要重點(diǎn)掌握和理解的知識(shí)點(diǎn)，用基礎(chǔ)解系理論求解線性方程組有著非常好的理論和實(shí)際優(yōu)勢(shì)，思路清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，但求解過(guò)程所用到的知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算相對(duì)繁復(fù)一些，不過(guò)此解法仍是要求必須掌握的基本方法之一。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，若借用逆向思維的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合對(duì)比轉(zhuǎn)化思想把齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系問(wèn)題理解為系數(shù)矩陣屬于零特征值的特征向量問(wèn)題，由此可知此方程組的基礎(chǔ)解系就是系數(shù)矩陣屬于零特征值線性無(wú)關(guān)的特征向量，再結(jié)合特征向量及方程組相關(guān)知識(shí)達(dá)到方便求解的目的。進(jìn)而提高學(xué)生對(duì)線性方程組基礎(chǔ)解析相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確理解和把握，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力，轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。又如：

例2.已知A2=0，A≠0，證明A不能相似對(duì)角化。

證析：題目是一個(gè)抽象矩陣的求解證明問(wèn)題，沒(méi)有給出矩陣的具體元素，不可利用矩陣對(duì)角化方法直接求解，只可結(jié)合矩陣相似的性質(zhì)和題目已知條件求解，因A2=0，A≠0，此時(shí)可以考慮到矩陣零特征值問(wèn)題，便可利用逆向思維數(shù)學(xué)思想和對(duì)比轉(zhuǎn)化思想來(lái)求解，有題目條件已知矩陣A的秩滿足r（A）≥1，不妨設(shè)Aα=λα（α≠0）為矩陣A屬于特征值A(chǔ)α=λα（α≠0）特征向量Aα=λα（α≠0），故有A2α=λ2α=0，因此可知λ=0為矩陣A的特征值，即矩陣A有零特征值，故此題可以用矩陣A的零特征值求解，由線性方程組理論易知線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有n-r（A）個(gè)向量，即λ=0有n-r（A）個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以矩陣不可對(duì)角化，問(wèn)題得證。通過(guò)此題可見(jiàn)若利用逆向思維數(shù)學(xué)思想可以使題目的思路更加簡(jiǎn)便，學(xué)生理解掌握知識(shí)更加透徹，更有利于社會(huì)人才的培養(yǎng)。具體證明如下：

證：因A2=0，A≠0，則r（A）≥1，設(shè)Aα=λα（α≠0），從而A2α=λ2α=0，則λ=0為矩陣A的特征值，因此Ax=0的基礎(chǔ)解系有n-r（A）個(gè)向量，即λ=0有n-r（A）個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以矩陣A不可對(duì)角化，得證。

例3.設(shè)A是n階矩陣，且r（A）

解析：由r（A）

例4.設(shè)A是3階不可逆矩陣，且α1， α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，α3是A屬于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是_____

A. α1+3α2 B. α1-α2 C. α1+α3 D.3α2

解析：由α1， α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，可知α1， α2是A屬于特征值λ=0的特征向量，即Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，易知選項(xiàng)A，B是特征向量；再由α3是A屬于特征值λ=1的特征向量，易知選項(xiàng)D是特征向量，有排除法可知答案為C。

三、不可逆矩陣

矩陣可逆與否是線性代數(shù)重要理論之一，相關(guān)題目很多，其求解方法也很多，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于有些n階矩陣求解問(wèn)題，如果題設(shè)中有矩陣A不可逆，或者矩陣A的秩小于矩陣階數(shù)等相關(guān)信息時(shí)，此類題目就可考慮借用逆向思維數(shù)學(xué)思想和對(duì)比轉(zhuǎn)化思想來(lái)思考求解方法，結(jié)合矩陣相關(guān)理論，易知矩陣不可逆則矩陣必有零特征值，在根據(jù)矩陣的零特征值問(wèn)題與零的恒等變形，進(jìn)而可以利用零特征值相關(guān)知識(shí)求解，可使此類問(wèn)題的求解過(guò)程和思路得到很好的簡(jiǎn)化。進(jìn)而提高了解題的速度和準(zhǔn)確性，又能提過(guò)教學(xué)質(zhì)量，有利于學(xué)生的相關(guān)能力的培訓(xùn)。舉例如下：

例5.設(shè)A是秩為2的3階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+5A=0，則的特征值是______

解：由A是秩為2的3階實(shí)對(duì)稱矩陣，即r（A）=2<3，則矩陣A必有λ=0的特征值，且其重?cái)?shù)為3-2=1重；又由A2+5A=0，則有A+5E=0，也即Aα=-5Eα=-5α，故矩陣A的另一非零特征值λ=-5，由對(duì)稱性其重?cái)?shù)為2。綜上，A的特征值是0，-5，-5。

例6.已知A是3階不可逆矩陣，-1，2是的特征值，則B=A2-A-2E的特征值為_(kāi)_______

解：由A是3階不可逆矩陣，則矩陣A必有0的特征值，因此矩陣的特征值為0，-1，2，所以B=A2-A-2E的特征值為-2，0，0。

綜上，借用逆向思維的數(shù)學(xué)思想和對(duì)比轉(zhuǎn)化思想，可以簡(jiǎn)單準(zhǔn)確地解決矩陣零特征值問(wèn)題，不但能夠提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，而且加深了學(xué)生對(duì)矩陣特征值特征向量相關(guān)知識(shí)的準(zhǔn)確理解和把握，使求解相關(guān)問(wèn)題更加靈活高效，更能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和知識(shí)的應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙樹(shù)嫄《線性代數(shù)》（第四版）中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系《工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)》（第五版）高等教育出版社，2007.