突變理論研究及應(yīng)用

中圖分類號(hào)：F830文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

摘要：突變理論研究的是從一種穩(wěn)定組態(tài)躍遷到另一種穩(wěn)定組態(tài)的現(xiàn)象和規(guī)律。它指出自然界或人類社會(huì)中任何一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，都有穩(wěn)定態(tài)和非穩(wěn)定態(tài)之分。在微小的偶然擾動(dòng)因素作用下，仍然能夠保持原來(lái)狀態(tài)的是穩(wěn)定態(tài)；而一旦受到微擾就迅速離開原來(lái)狀態(tài)的則是非穩(wěn)定態(tài)，穩(wěn)定態(tài)與非穩(wěn)定態(tài)相互交錯(cuò)。非線性系統(tǒng)從某一個(gè)穩(wěn)定態(tài)（平衡態(tài)）到另一個(gè)穩(wěn)定態(tài)的轉(zhuǎn)化，是以突變形式發(fā)生的。突變理論作為研究系統(tǒng)序演化的有力數(shù)學(xué)工具，能較好地解說(shuō)和預(yù)測(cè)自然界和社會(huì)上的突然現(xiàn)象?，F(xiàn)狀突變理論在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等方面有著廣闊的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：突變理論；協(xié)同學(xué)；確定性；結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

我們對(duì)突變理論的研究可以起源于上世紀(jì)60年代，最初，突變理論是一門數(shù)學(xué)理論，是用形象的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述連續(xù)性行動(dòng)濡染中斷導(dǎo)致質(zhì)變的過(guò)程，經(jīng)歷了由初等突變理論（也稱經(jīng)典突變理論）到非初等突變理論的發(fā)展過(guò)程，而且突變理論與混沌理論相關(guān)，盡管它們是兩個(gè)完全獨(dú)立的理論，但現(xiàn)在突變理論普遍被視作混沌理論的一部分。

一、突變理論起源

著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家R.湯姆（R，TboD〕）于1972年在“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與形態(tài)發(fā)生學(xué)一書中，提出并系統(tǒng)地闡述了“突變理論”，從而引起國(guó)際學(xué)術(shù)界廣泛的注意，著名的數(shù)學(xué)家E.C.齊受（E.C.Z叩姆n）等人將這一理淪用于社會(huì)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和胚胎發(fā)育等方面，取得了很多成果。概括起來(lái)說(shuō)，湯姆創(chuàng)建了突變理論，證明了控制因索不多于四個(gè)，則突變模型可歸結(jié)為七種基本類型，并對(duì)這些突變進(jìn)行了分類，在實(shí)際應(yīng)用方面也進(jìn)行了一定的研究，而齊受則對(duì)理論的應(yīng)用和推廣作出了重要貢獻(xiàn)，他設(shè)計(jì)了突變機(jī)構(gòu)證明了突變理論的正確性和反映自然界突變現(xiàn)象的真實(shí)性。

在突變模型的運(yùn)用方面，齊曼等人作了大量研究工作，湯姆、齊里認(rèn)為微積分解釋了光滑而連續(xù)變化的現(xiàn)象；突變理論則描述了自然界中大量存在的不連續(xù)的突然變化的現(xiàn)象。也就是說(shuō)，能用微分方程描述的對(duì)象的運(yùn)動(dòng)特性是連續(xù)的、漸變的；微分方程需要一個(gè)連續(xù)的和光滑的函數(shù)或者可微函數(shù)作為它的解。但是，社會(huì)科學(xué)、生物科學(xué)是人類所面臨的最復(fù)雜的科學(xué)領(lǐng)域，除了連續(xù)的漸變的過(guò)程外，大量存在的是不連續(xù)的、突變的過(guò)程，就是說(shuō)環(huán)境條件、控制因素的漸變能引起狀態(tài)的突變。例如人的轉(zhuǎn)位因子、裂腦人的行為、生物種群的消長(zhǎng)與生滅過(guò)程、人的情緒波動(dòng)，動(dòng)物的進(jìn)攻與逃跑行為等等，都是包含突變?cè)趦?nèi)的復(fù)雜的生物學(xué)過(guò)程，用微分方程描述這些過(guò)程遇到了難以克服的困難。這個(gè)事實(shí)說(shuō)明，在所謂“軟科學(xué)”的研究中，不僅需要目前已有的數(shù)學(xué)工具和描述方法，而且更需要提出某些新的數(shù)學(xué)工具來(lái)描還已有的數(shù)學(xué)工具所不能適應(yīng)的許多現(xiàn)象，建立必要的模型，作出適當(dāng)?shù)念A(yù)測(cè)。

二、初等突變理論

2.1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

這是突變理論中用到的一個(gè)十分重要的概念，最早出自“粗”系統(tǒng)，后來(lái)被作為現(xiàn)代拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)的基石，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng)收到小的振動(dòng)時(shí)仍能保持其基本性質(zhì)不變，這種振動(dòng)不象研究運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性時(shí)述及初始或邊界條件，而是述及描述系統(tǒng)性態(tài)的方程。比如我們重復(fù)做實(shí)驗(yàn)時(shí)，條件總會(huì)略有變動(dòng)，我們希望得到的結(jié)果基木一樣，其實(shí)就是要求系統(tǒng)有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的定義中有以下找個(gè)要素，數(shù)學(xué)系統(tǒng)類別、攝動(dòng)類別、等價(jià)關(guān)系。其選擇可因問(wèn)題而異。簡(jiǎn)單地說(shuō)，等價(jià)關(guān)系就是從數(shù)學(xué)上定義什么是“基本一樣”，一般是指給出相同的（局部）拓?fù)洹＠鐚?duì)一個(gè)無(wú)阻尼單擺而言，若允許攝動(dòng)項(xiàng)可以包括耗散項(xiàng)，則它是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。反之若只允許包括保守項(xiàng)，則它是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。

2.2 確定性

初等突變理論解決的一個(gè)重要問(wèn)題（也是為證明分類定理所需要的），是在哪里Taylor截?cái)嗉?jí)數(shù)為安全的間題。所謂安全，就是要求這樣得到的有限項(xiàng)級(jí)數(shù)能在原點(diǎn)的足夠小的鄰域內(nèi)忠實(shí)地代表原來(lái)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，定量近似也是正確的。注意這與這個(gè)Taylor級(jí)數(shù)的收斂性完全是兩回事。即使是發(fā)散的級(jí)數(shù)，其有限項(xiàng)之和也可能在原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域內(nèi)很好地反映出原函數(shù)的性態(tài)。

三、初等突變理論的應(yīng)用

初等突變理論的應(yīng)用極其廣泛，在計(jì)算數(shù)學(xué)、光學(xué)、熱力學(xué)和相變、激光物理、化學(xué)、彈性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、流休的幾何形狀、船舶的穩(wěn)性、非線性振動(dòng)、生物學(xué)和生態(tài)學(xué)、行為學(xué)、社會(huì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等許多學(xué)科中，都有很多成功的應(yīng)用例子。它在“硬”科學(xué)（數(shù)理化等）中的應(yīng)用，不僅使人們加深了對(duì)已有解釋的現(xiàn)象認(rèn)識(shí)能從較高的觀點(diǎn)來(lái)統(tǒng)一地處理問(wèn)題，也有一些一導(dǎo)致了新的結(jié)果，最有名的是下面將提到的焦散現(xiàn)象的解釋。在“軟”科學(xué)（生物、社會(huì)科學(xué)等）的應(yīng)用，則使許多原來(lái)難以或無(wú)法作數(shù)學(xué)處理的問(wèn)題得到了一種有效的數(shù)學(xué)手段。

初等突變理論的應(yīng)用方式可以粗分為兩類。一類是分析性的，主要適用于硬科學(xué)，與勢(shì)相類似的函數(shù)或與某一突變流形或分叉集有相同數(shù)學(xué)描述的系統(tǒng)，然后應(yīng)用適名的數(shù)學(xué)概念和技巧如確定性、開折、變換等。另一類是經(jīng)驗(yàn)性的，主要適用于“軟”科學(xué)，即由觀察到的特征現(xiàn)象如跳躍、滯后等設(shè)想個(gè)初等突變數(shù)學(xué)模型，然后作數(shù)據(jù)擬合，再看這個(gè)數(shù)學(xué)模型能否用來(lái)很好地解釋觀察到的現(xiàn)象，最后由之啟發(fā)而推斷現(xiàn)象的機(jī)理，學(xué)出一個(gè)物理模型。其中，第二類方式更加重要，也有了一些成功的應(yīng)用例子。但由于“軟”科學(xué)中的問(wèn)題一般十分復(fù)雜，還有待于進(jìn)行更深入的研究。

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作者簡(jiǎn)介：呂懷偉（1988.10-），女，漢，河北邯鄲，碩士研究生，河北工業(yè)大學(xué)，組織管理學(xué)。