“概率論”課程教學(xué)的思考與體會(huì)

摘要：“概率論”是高校理工科學(xué)生的一門十分重要的課程，不僅是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也在生活實(shí)踐的各個(gè)方面具有廣泛應(yīng)用。結(jié)合“概率論”課程的教學(xué)實(shí)踐，探討對(duì)該課程在教學(xué)思想和教學(xué)方法方面的思考與體會(huì)。

關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)；隨機(jī)性；興趣

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）21-0091-02

“概率論”不僅是各后續(xù)課程學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)，也在金融投資、保險(xiǎn)精算、醫(yī)學(xué)研究、生物統(tǒng)計(jì)以及工程技術(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用。不同于其他的數(shù)學(xué)課程，概率論主要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件，這就導(dǎo)致概率論在思維方式和研究方法上與以往確定性數(shù)學(xué)有很大的不同。筆者在近幾年的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論時(shí)常常反應(yīng)難度較大。究其原因在于：一是概率論的學(xué)習(xí)需要從思維方式上做到從確定性思維到隨機(jī)性思維的轉(zhuǎn)變，而學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)思維局限于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，缺乏隨機(jī)思想和隨機(jī)觀念，導(dǎo)致接受知識(shí)很困難；二是基本概念抽象復(fù)雜，不易理解，思想方法獨(dú)特，理論性強(qiáng)，遇到實(shí)際問(wèn)題思維難以展開(kāi)；三是微積分的基礎(chǔ)不好，對(duì)概率論的學(xué)習(xí)興致不高。作為從事“概率論”教學(xué)的教師，都會(huì)面臨“教師如何教”“學(xué)生如何學(xué)”的問(wèn)題，為此本文針對(duì)該課程的教學(xué)思想和教學(xué)方法進(jìn)行了探討。

一、在教學(xué)中注重隨機(jī)觀念的樹(shù)立與培養(yǎng)

概率論的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。由于隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生帶有不確定性，不能用簡(jiǎn)單的因果關(guān)系進(jìn)行描述，這對(duì)于習(xí)慣于運(yùn)用確定性思維和工具進(jìn)行研究的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難題。因此在教學(xué)中應(yīng)注重隨機(jī)觀念的樹(shù)立與培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從傳統(tǒng)的確定性思維方式進(jìn)入隨機(jī)性思維方式，是“概率論”教學(xué)順利開(kāi)展要解決的課題。

1.充分理解隨機(jī)現(xiàn)象的含義，正確把握偶然與必然的關(guān)系

隨機(jī)現(xiàn)象是在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的條件與結(jié)果之間不再具有邏輯上的因果關(guān)系，這是與確定性現(xiàn)象的本質(zhì)區(qū)別。但是，盡管在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生具有偶然性，但在大量的試驗(yàn)中隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生又具有一定的規(guī)律性，尋找這一規(guī)律是研究隨機(jī)現(xiàn)象的目的。在確定性思維的影響下，學(xué)生會(huì)以為通過(guò)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究，可以使原先無(wú)法預(yù)知的結(jié)果變得可預(yù)知。而隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)特點(diǎn)就在于結(jié)果的偶然性，無(wú)論研究與否，隨機(jī)現(xiàn)象的這一本質(zhì)特點(diǎn)都不會(huì)改變。也就是說(shuō)，隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性不會(huì)因?yàn)槿藗冋莆掌湟?guī)律性而改變。因此教學(xué)中需要通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生充分理解隨機(jī)現(xiàn)象各結(jié)果發(fā)生的偶然性以及大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來(lái)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性之間的辯證關(guān)系。

2.通過(guò)對(duì)比分析正確理解概率的定義，增強(qiáng)對(duì)隨機(jī)概念的理解

隨機(jī)事件的概率是對(duì)事件發(fā)生可能性的度量。在教學(xué)中引入概率的概念時(shí)，通常會(huì)涉及四種定義：統(tǒng)計(jì)定義、古典定義、幾何定義和公理化定義。概率的統(tǒng)計(jì)定義是從試驗(yàn)角度出發(fā)，將大量試驗(yàn)中事件頻率的穩(wěn)定值作為一次試驗(yàn)中事件可能性大小的度量。概率的統(tǒng)計(jì)定義對(duì)試驗(yàn)不做任何要求，也比較直觀，但是在數(shù)學(xué)上很不嚴(yán)密。在實(shí)際中不可能對(duì)每一個(gè)事件都做大量的實(shí)驗(yàn)，求得頻率，然后用頻率估計(jì)概率。概率的古典定義是從分析角度出發(fā)，針對(duì)古典概率模型給出的計(jì)算概率的方法。古典定義要求試驗(yàn)滿足有限性和等可能性，這使得古典定義在實(shí)際應(yīng)用中有很大的局限性。概率的幾何定義是從測(cè)度的角度給出定義，雖然去掉了有限性的限制，但仍要求試驗(yàn)滿足等可能性，這在實(shí)際問(wèn)題中仍有很大的局限性。例如，擲一枚均勻的硬幣，這樣的實(shí)驗(yàn)就不具有等可能性，古典定義和幾何定義都不適用。概率的公理化定義是通過(guò)規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來(lái)定義概率，是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，對(duì)各種情況也都適用，但缺點(diǎn)是它沒(méi)有給出計(jì)算事件概率的具體方法。概率的這些不同定義容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑，到底概率是一個(gè)近似的數(shù)還是一個(gè)精確的數(shù)，是通過(guò)實(shí)驗(yàn)估計(jì)還是通過(guò)計(jì)算分析得到。實(shí)際上，概率是由事件的本身屬性所決定，與試驗(yàn)無(wú)關(guān)。概率的不同定義只是在不同條件下了解這種屬性的手段而已。在教學(xué)中應(yīng)結(jié)合概念的歷史發(fā)展背景，采取由具體到抽象，由特殊到一般的方式引入概念，并通過(guò)對(duì)比分析加強(qiáng)理解。

3.結(jié)合恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，加強(qiáng)隨機(jī)觀念的培養(yǎng)

首先，在具體的教學(xué)中可以利用生活中有趣的隨機(jī)問(wèn)題創(chuàng)造隨機(jī)環(huán)境，讓學(xué)生親自體驗(yàn)問(wèn)題中的隨機(jī)性，使學(xué)生把直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)與概率論的思想和方法聯(lián)系起來(lái)，如彩票問(wèn)題、生日問(wèn)題、抽簽問(wèn)題等。還可以構(gòu)造與時(shí)事相關(guān)的概率模型讓學(xué)生展開(kāi)討論。例如，一架飛機(jī)失蹤了，推測(cè)它等可能地墜落在三個(gè)區(qū)域，令1-ai表示飛機(jī)墜落在第i個(gè)區(qū)域的概率（ai稱為疏忽概率，取決于該地區(qū)的地理和環(huán)境條件）。若已知在其中一個(gè)區(qū)域搜索沒(méi)有發(fā)現(xiàn)飛機(jī)，討論飛機(jī)在其他區(qū)域墜落的概率。其次，開(kāi)展有針對(duì)性的專題講座，提煉、概括問(wèn)題中蘊(yùn)含的思想方法，深化學(xué)生對(duì)隨機(jī)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)。例如可以通過(guò)計(jì)算生日問(wèn)題與匹配問(wèn)題中事件的概率展開(kāi)對(duì)概率與直覺(jué)的討論，以“小概率原理”為主題探討概率意義下反證法的適用等。

二、教學(xué)中注重基本概念的理解

在概率論中，基本概念的理解非常重要，但又常常被學(xué)生所疏忽，往往是大部分內(nèi)容學(xué)完之后還有大多數(shù)學(xué)生對(duì)“什么是隨機(jī)變量”解釋不清楚，對(duì)于隨機(jī)變量的獨(dú)立、相關(guān)等概念更加不明所以。實(shí)際上，在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，這種情形非常常見(jiàn)。這主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)中的很多概念、規(guī)律很少以最初創(chuàng)立時(shí)的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)過(guò)濃縮提煉，被隱去了曲折、復(fù)雜的思維過(guò)程，呈現(xiàn)給人們的是經(jīng)過(guò)加工整理的嚴(yán)密、抽象的結(jié)論，導(dǎo)致其誕生的那些思想方法已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)在形式蘊(yùn)含其中。因此，教學(xué)中需要注意以下幾個(gè)方面：

1.展開(kāi)概念，而不是簡(jiǎn)單的給定義

概念是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較抽象概括得出的結(jié)果，教師在講解時(shí)應(yīng)當(dāng)完整體現(xiàn)這一生動(dòng)的過(guò)程，而不是簡(jiǎn)單的敘述和羅列。例如，兩個(gè)事件相互獨(dú)立性的定義，最初直觀的定義為如果事件A發(fā)生的概率與不受事件B發(fā)生與否的影響，則稱事件A與事件B是獨(dú)立的。表達(dá)為數(shù)學(xué)公式，即為。再結(jié)合概率的乘法公式，將獨(dú)立性的定義進(jìn)一步演變?yōu)椋喝羰录嗀與事件B滿足，稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的。用后一定義的好處在于獨(dú)立關(guān)系不受或的制約，且充分體現(xiàn)相互獨(dú)立這一對(duì)稱關(guān)系。但缺點(diǎn)是獨(dú)立的直觀意義不明顯。通常對(duì)獨(dú)立性做判斷時(shí)，主要通過(guò)三種方式：一是根據(jù)實(shí)際意義判斷，如甲乙兩人同時(shí)向同一目標(biāo)射擊，甲擊中與乙擊中通常認(rèn)為是相互獨(dú)立的；二是題目中隱含獨(dú)立性，如放回抽樣式樣中，前后兩次抽樣的結(jié)果是相互獨(dú)立的；三是需要根據(jù)定義計(jì)算概率做出判斷。這樣通過(guò)展開(kāi)、辨析、歸納就將兩個(gè)事件獨(dú)立性的概念分析清楚了。

2.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，不要過(guò)早下結(jié)論

教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過(guò)程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系。學(xué)生的思考過(guò)程對(duì)于概念的理解和記憶意義重大。例如在引入貝葉斯公式時(shí)，若是直接給出繁瑣的公式，學(xué)生不易接受且印象不深。如果先根據(jù)運(yùn)用全概率公式解題的例子提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自己完成貝葉斯公式的推導(dǎo)，則會(huì)使學(xué)生加深對(duì)公式的理解和記憶，事半功倍。

3.靈活貫通，避免呆板記公式

在實(shí)際教學(xué)中注重激活學(xué)生的推理能力，使學(xué)生能夠?qū)⒁延械恼J(rèn)識(shí)和方法上下貫通，前后遷移，避免呆板的死記硬背。例如互斥與相互獨(dú)立這一組概念在理解記憶時(shí)，除了從概念上分析，還可以引導(dǎo)學(xué)生從以下角度展開(kāi)理解：互斥描述能否同時(shí)發(fā)生，相互獨(dú)立描述有沒(méi)有影響；互斥描述一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的不同事件，相互獨(dú)立描述兩次或多次試驗(yàn)出現(xiàn)的不同事件；互斥事件和的概率等于概率的和，獨(dú)立事件乘積的概率等于概率的乘積；兩兩互斥則彼此互斥，兩兩獨(dú)立則未必相互獨(dú)立等等。這樣通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)多向思維，擴(kuò)大思路，可以對(duì)探究的問(wèn)題得到新的認(rèn)識(shí)和結(jié)果。

三、鞏固基礎(chǔ)，激發(fā)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性

初等數(shù)學(xué)和微積分基礎(chǔ)不好是一些學(xué)生對(duì)概率論學(xué)習(xí)興致不高的主要原因。實(shí)際上，在概率論中涉及的計(jì)算技巧并不多，只是一些簡(jiǎn)單的排列組合，導(dǎo)數(shù)和積分的計(jì)算。因此，教學(xué)中做好基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固和新舊知識(shí)內(nèi)容的銜接非常重要。例如，在講解古典概型的概率計(jì)算之前，先對(duì)排列組合的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié)；在介紹離散隨機(jī)變量的概率分布之前，先對(duì)可能涉及的級(jí)數(shù)求和公式進(jìn)行回顧；在開(kāi)始介紹連續(xù)隨機(jī)變量的定義之前，對(duì)部分微積分的計(jì)算公式和性質(zhì)做簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)整理等等。這樣教師在進(jìn)行概率知識(shí)的講解和應(yīng)用時(shí)，就水到渠成，學(xué)生做題也會(huì)得心應(yīng)手。

興趣是促使學(xué)生進(jìn)行探索的原動(dòng)力。教師在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓被動(dòng)的學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)，那么必然會(huì)取得比較好的教學(xué)效果。對(duì)于概率論來(lái)說(shuō)，要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，需要注意以下兩方面：首先，知識(shí)點(diǎn)的引入非常重要，要精心設(shè)計(jì)。這樣做的目的是要從一開(kāi)始就抓住學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生求知欲望。其次，例題的選取要恰當(dāng)，突出趣味性與實(shí)用性。“概率論”課程與實(shí)踐聯(lián)系非常緊密，教師可以針對(duì)教學(xué)內(nèi)容選取有趣且與生產(chǎn)、生活密切相關(guān)的例子，讓學(xué)生感受到趣味性的同時(shí)，認(rèn)識(shí)到所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

總體來(lái)說(shuō)，影響一門課程教學(xué)效果的因素有很多，只有教師保持對(duì)教學(xué)工作的熱情和責(zé)任心，努力提高自身的學(xué)術(shù)水平，認(rèn)真鉆研教學(xué)的方法和技巧，才能使自身的教學(xué)水平有所提高，取得好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，

2008.

[2]羅斯（Ross， S.M.）.概率論基礎(chǔ)教程[M].北京：人民郵電出版社，

2010.

[3]運(yùn)懷立.概率論的思想與方法[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，

2008.

[4]孫榮恒.趣味隨機(jī)問(wèn)題[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯：孫晴）