翻越二次函數(shù)這座“山”

摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是每年中考的必考內(nèi)容。二次函數(shù)按課標(biāo)要求可分為四個(gè)部分：二次函數(shù)的意義、圖象與性質(zhì)；如何求二次函數(shù)的解析式；會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解與不等式之間的關(guān)系；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。在復(fù)習(xí)中可按層層遞進(jìn)，一步一個(gè)階梯、由低到高地向上攀登，直至翻越“二次函數(shù)”這座“山”。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；解析式；不等式

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，具有較高的抽象性、綜合性和實(shí)用性，二次函數(shù)是函數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容，是每年中考的必考內(nèi)容，更是學(xué)生繼續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)。綜觀近年來(lái)各地的中考試題與課程標(biāo)準(zhǔn)，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的考查均比較全面、系統(tǒng)。對(duì)二次函數(shù)的考查有如下特征：加強(qiáng)了二次函數(shù)的意義、性質(zhì)、本質(zhì)的考查，增強(qiáng)了對(duì)二次函數(shù)的圖象與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合的考查；在二次函數(shù)的綜合運(yùn)用中突出了對(duì)數(shù)學(xué)思考問(wèn)題解決的考查；在解決實(shí)際問(wèn)題的考查中突出了建立二次函數(shù)模型，體現(xiàn)了“問(wèn)題情境—建模—解釋、應(yīng)用及拓展”的過(guò)程考查，突出了二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。

一、二次函數(shù)的意義、圖象與性質(zhì)

這是第一個(gè)臺(tái)階，也是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，也是學(xué)生遇到的第一個(gè)必登的臺(tái)階。尤其是基礎(chǔ)較差學(xué)生的第一個(gè)難關(guān)，為指導(dǎo)學(xué)生突破這一關(guān)，一定要按從特殊到一般，特別是結(jié)合函數(shù)圖象，始終把數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，讓學(xué)生能從二次函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式中可以“讀出”幾何特征，能從二次函數(shù)圖象中可以看到代數(shù)特點(diǎn)，并讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上要加以一定的記憶。函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸、開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值等。它們之間所存在的關(guān)系一定要理順，讓學(xué)生一定要理解這幾者之間的必然聯(lián)系。根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析函數(shù)的增減性，一定要教會(huì)分析方法，從左到右，對(duì)稱軸左側(cè)與右側(cè)，圖象是上升還是下降。二次函數(shù)平移，一定要抓住a不變，無(wú)論題目給什么，問(wèn)什么一定要抓住只是頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，所以一定要用頂點(diǎn)形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)又是如何變化一定要弄清。這部分知識(shí)的內(nèi)容較多有的學(xué)生聽(tīng)后會(huì)含糊不清，所以一定要用例題結(jié)合知識(shí)點(diǎn)講解。

教會(huì)學(xué)生畫(huà)二次函數(shù)的圖象的草圖，二次函數(shù)圖象形象直觀地反映了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其變化規(guī)律，函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)相互依存，由函數(shù)的圖象可以反映出函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)性質(zhì)也可以確定函數(shù)的圖象。根據(jù)草圖分析圖象與性質(zhì)。利用典型例題，以函數(shù)圖象為載體，讓學(xué)生會(huì)讀圖、析圖、釋圖，采用正確的引導(dǎo)、分析方法，使學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)與規(guī)律，從而站穩(wěn)二次函數(shù)的第一臺(tái)階。

二、求二次函數(shù)的解析式

知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)一元二次函數(shù)可以由三個(gè)獨(dú)立條件確定，這是課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)二次函數(shù)理解的較高水平要求。確定二次函數(shù)解析式是二次函數(shù)命題的重中之重，也是學(xué)生必須邁出的第二個(gè)臺(tái)階。二次函數(shù)解析式求法我們都知道三種形式：1.一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）；3.交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。教師要向?qū)W生揭示出這三種形式之間緊密的內(nèi)在聯(lián)系，雖然從命題形式上是三種形式，但共同的實(shí)質(zhì)還是三點(diǎn)問(wèn)題，只要能使學(xué)生掌握實(shí)質(zhì)，才能觸類旁通。

由于條件的不斷變化，使學(xué)生不能再套用原題的解題思路，從而改變學(xué)生機(jī)械的模仿性，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的途徑，達(dá)到了在變化中鞏固知識(shí)，在運(yùn)動(dòng)中尋找規(guī)律的目的，從而在知識(shí)的縱橫聯(lián)系中，提高了學(xué)生靈活解題的能力，讓學(xué)生順利地登上第二個(gè)臺(tái)階。

三、會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解，與不等式之間的關(guān)系

函數(shù)圖象是函數(shù)變化全過(guò)程的直觀表現(xiàn)形式，因此要想讓學(xué)生登上第三個(gè)臺(tái)階必須借助函數(shù)圖象分析這三者之間不可分割的聯(lián)系。會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解，重心不在于具體求出解的過(guò)程，甚至解的值是多少，而是讓學(xué)生體會(huì)借助圖象獲取的信息也是一種求解的方法。一元二次方程是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)函數(shù)y=0時(shí)情況，因此拋物線y=ax2+bx+c與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，另拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由b2-4ac的符號(hào)來(lái)確定，反之利用二次函數(shù)圖象可以求出一元二次方程的近似解。函數(shù)與不等式的聯(lián)系根據(jù)圖象在x軸上方或下方可確定y>0或y<0，從而根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)取值得到不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的取值集合。

四、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

這第四個(gè)臺(tái)階，可以說(shuō)是前三個(gè)臺(tái)階的知識(shí)整合，幾乎是所有學(xué)生的難關(guān)，要使學(xué)生掌握好，困難較大，解決二次函數(shù)的綜合應(yīng)用的重點(diǎn)與難點(diǎn)，就在于有關(guān)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系和相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系以及一些線段、圖形的相應(yīng)關(guān)系。只要教師能設(shè)法打開(kāi)學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的一般規(guī)律，抓住重點(diǎn)，二次函數(shù)的第四個(gè)臺(tái)階也就不難登上了。

在整個(gè)二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)掌握教學(xué)進(jìn)度，側(cè)重探索數(shù)學(xué)規(guī)律，把分析教材知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展相結(jié)合，把分析中考命題方向與學(xué)生實(shí)際水平相結(jié)合，從而確定復(fù)習(xí)起點(diǎn)，使各層次學(xué)生都能接受，把全班學(xué)生都吸引到教學(xué)中來(lái)。復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)精選好例題，選擇好學(xué)生復(fù)習(xí)的習(xí)題，使二次函數(shù)的復(fù)習(xí)能從一個(gè)臺(tái)階順利邁向下一個(gè)臺(tái)階，一步一個(gè)階梯、由低到高向上攀登，直至翻越二次函數(shù)這座“山”，順利而出色地完成二次函數(shù)復(fù)習(xí)的任務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]任子朝，孔凡哲.數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)新論.北京師大出版社，2010-08.

編輯 溫雪蓮