淺析因式分解的概念

因式分解是初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的重要代數(shù)恒等變形，是今后學(xué)習(xí)分式、方程和函數(shù)等數(shù)學(xué)知識的重要工具。不少同學(xué)在進(jìn)行因式分解時(shí)，因?qū)忣}不慎、概念模糊、方法不當(dāng)?shù)戎T多原因?qū)е洛e(cuò)誤，本文試從六個(gè)方面來解讀因式分解的概念。

一、因式分解的對象是什么

二、因式分解的結(jié)果是什么

因式分解的結(jié)果是幾個(gè)整式的積的形式。

例如a2+a-2=a（a+1）-2，x2-3x-4=（x+2）（x-2）-3x等變形都不是因式分解，因?yàn)椴皇钦?，而是分式；（x+2）（x-2）-3x盡管第一項(xiàng)是積的形式，但總體上看還是和的形式，正確答案應(yīng)為（x-4）（x+1）。

三、因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系

整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；而因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式相乘，例如，把（a+b）（a-b）化為a2-b2，是整式乘法，把a(bǔ)2-b2化為（a+b）（a-b），則是因式分解，即因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系，知道了這種區(qū)別與聯(lián)系，不僅可以明白因式分解的意義，還可以把整式乘法的過程反過來，得到分解因式的一些基本方法，也可以用整式乘法來檢驗(yàn)因式分解是否正確。

四、因式分解是恒等變形

其結(jié)果除了要保證是幾個(gè)整式的積的形式以外，還要注意分解前后的值不能改變。如：

例1：分解因式x2+4x-12

錯(cuò)解：原式=（x-6）（x+2）

錯(cuò)解：原式=4x2+4x+1=（2x+1）2

例3：分解因式3x2-12xy+3x

錯(cuò)解：原式=3x（x-4）

以上三例因式分解的結(jié)果與原式之值不相等。例1符號錯(cuò)誤；例2濫去分母；例3丟項(xiàng)了。它們都不是恒等變形。

五、因式分解必須把每一個(gè)因式都分解到不能再分解為止

例4：分解因式x3+2x2-3x

錯(cuò)解：原式=x（x2+2x-3）

例5：分解因式x2（x-1）+9（1-x）

錯(cuò)解：原式=x2（x-1）-9（x-1）

=（x-1）（x2-9）

以上兩題錯(cuò)誤在于分解因式不徹底（即沒有在給定的范圍內(nèi)分解到不能再分解為止），半途而廢而導(dǎo)致前功盡棄。其正確答案是（4）x（x+3）（x-1）；（5）（x-1）（x+3）（x-3）。

六、因式分解不能走回頭路

例6：分解因式（3m+2n）2-（m-n）2

錯(cuò)解：原式=（3m+2n+m-n）（3m+2n-m+n）

=（4m+n）（2m+3n）

=8m2+14mn+3n2

例7：分解因式（x2+1）2-4x2

錯(cuò)解：原式=（x2+1+2x）（x2+1-2x）

=（x+1）2（x-1）2

=〔（x+1）（x-1）〕2

=（x2-1）2

例8：分解因式x4-18x2+81

錯(cuò)解：原式=（x2-9）2

=（x+3）2（x-3）2

=（x2+6x+9）（x2-6x+9）

例6錯(cuò)解中的結(jié)論是一個(gè)多項(xiàng)式，這是因?yàn)樵谧詈笠徊阶冃沃型私忸}初衷，把兩個(gè)整式的積化為一個(gè)多項(xiàng)式，這是整式乘法。例7、例8兩題分解完成后，又反過來進(jìn)行乘法運(yùn)算，從本質(zhì)上混淆了因式分解與整式乘法的區(qū)別，雖然最終結(jié)果是積的形式，但最后一步還是走了回頭路。

編輯 李建軍