直線與拋物線位置關(guān)系學(xué)考得分突破的策略研究

一、問題提出

浙江省高中生學(xué)業(yè)水平考試得A的一個關(guān)鍵點便是解析幾何的得分情況。目前，浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考解析幾何大題題型主要考查開口向上的拋物線，以其兼顧設(shè)點設(shè)線法、運算相對簡單且內(nèi)涵不變。本人剛好任教普通高中高二，學(xué)生面臨學(xué)考壓力。本文根據(jù)個人十年解題與教學(xué)經(jīng)驗累積，從學(xué)生的角度做些解題研究與學(xué)法分析，以期對溫州市普高高二學(xué)子的學(xué)考有所助益。

二、解析幾何大題學(xué)生難點的調(diào)查結(jié)果

大多數(shù)普高學(xué)生會四字訣“設(shè)”“聯(lián)”“消”“韋”，但在直線多時不知該設(shè)哪條直線方程，怎樣由恰當(dāng)?shù)臈l件設(shè)直線方程，多數(shù)會用韋達(dá)定理但對根的含義不明確，對多參量以及相應(yīng)的運算普遍有畏懼心理等問題，普遍缺乏消元技巧。

三、直線與拋物線的位置關(guān)系學(xué)習(xí)難點的對癥施教

基于普通學(xué)生對解析幾何的畏懼心理，我們可以給學(xué)生安全的東西。通過對近年來會考題的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)考解析幾何題相對基礎(chǔ)，而且較有規(guī)律，現(xiàn)把解這些題的步驟、知識、方法、運算加以整理，以增強(qiáng)學(xué)生做題的信心。

1.直線與拋物線位置關(guān)系一般解題步驟：“設(shè)”“聯(lián)”“消”“韋”；“斜”“中”“長”“橫”。斜指斜率，中指中點，長指距離和弦長，橫指化縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)，理由是開口朝上拋物線一般是消y得x的關(guān)系式。

2.直線與拋物線的位置關(guān)系常用公式及推論

（1）斜率公式。

（開口朝上拋物線的兩點斜率可被其橫坐標(biāo)之和表示）

（2）直線的常見設(shè)法。

①已知點P（x0，y0），設(shè)為y-y0=k（x-x0）（k存在）；

②已知點P（0，m），設(shè)為y=kx+m（k存在）。

（3）長度公式。

3.直線與拋物線的位置關(guān)系的兩種方法

方法一：會用韋達(dá)定理，特別是明確根的含義的交點的坐標(biāo)（橫或縱）。

由于韋達(dá)定理是通法，便簡單舉一例子。

示例1（2009浙江省會考）如圖，由半圓x2+y2=1（y≤0）和部分拋物線y=a（x2-1）（y≥0，a>0）合成的曲線C稱為“羽毛球形線”，且曲線C經(jīng)過點（2，3）。

（1）求a的值；

（2）設(shè)A（1，0），B（-1，0）過A且斜率為k的直線l與“羽毛球形線”相交于P，A，Q三點，問是否存在實數(shù)k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

問（2）∠QBA=∠PBA的實質(zhì)是直線QB與直線BP關(guān)于x軸對稱，得kQB=kBP。從當(dāng)年會考閱卷看到，相當(dāng)多的學(xué)生沒想到Q，P的坐標(biāo)可用k來表示，以致無法繼續(xù)快捷地進(jìn)行下去。從方程角度上看，點Q在定拋物線上，所以它的位置由動直線AQ決定，又因為A為定點，僅斜率k在變，當(dāng)斜率k確定時，直線確定，Q點確定，所以Q的坐標(biāo)取決于斜率k。同理P的坐標(biāo)取決于斜率k。均可由“設(shè)”“聯(lián)”“消”“韋”四字訣得到解得。

方法二：拋物線x2=2py的三個結(jié)論。

以上是我對“直線與拋物線位置關(guān)系學(xué)考得分突破的策略研究”的思考。

編輯 溫雪蓮