命題的逆命題在什么情況下不唯一

在有關(guān)命題的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：有些命題的逆命題不唯一。

例如，原命題：等式兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式。

它的逆命題是什么呢？

教材中對(duì)互為逆命題是這樣描述的：如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么就說(shuō)這兩個(gè)命題互為逆命題。表述形式如下：

原命題：若p，則q。逆命題：若q，則p。

那么，如果寫一個(gè)命題的逆命題，只需改變?cè)}的條件和結(jié)論的位置即可。但上面的命題的條件和結(jié)論分別是什么呢？

原命題：若一個(gè)等式的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，則所得的結(jié)果仍是等式。

用數(shù)學(xué)符號(hào)表示原命題為：若a=b，c是一個(gè)常數(shù)，則ac=bc。

條件：a=b，c是一個(gè)常數(shù)。結(jié)論：ac=bc。

發(fā)現(xiàn)其條件有兩個(gè)，則其逆命題的條件和結(jié)論分別為：

條件：ac=bc，c是一個(gè)常數(shù)。結(jié)論：a=b。

或者條件：ac=bc，a=b。結(jié)論：c是一個(gè)常數(shù)。

所以，原命題的逆命題為：

若一個(gè)式子的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果是等式，則這個(gè)式子是等式。

或：若一個(gè)式子的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果是等式，則這個(gè)數(shù)是常數(shù)。

題目分析完成了，但是有一個(gè)問(wèn)題值得我們深思：究竟什么樣的命題的逆命題不唯一呢？

通過(guò)上例可以看出，該命題與教材所給的命題若p，則q的最大區(qū)別是它是若p，m，則q。即命題的條件是兩個(gè)。也就是說(shuō)，若p則q是一個(gè)一因一果的命題，其逆命題是條件和結(jié)論互換，即是一個(gè)一對(duì)一的交換。而p，m，則q是一個(gè)多因一果的命題，其逆命題應(yīng)保證條件中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行一對(duì)一互換，而另外那個(gè)條件應(yīng)繼續(xù)保留在命題的條件位置。這也是命題的逆命題不唯一的本質(zhì)原因。

如，原命題：直角三角形的兩銳角互余。

條件：三角形為直角三角形，其中兩個(gè)角為銳角。

結(jié)論：這兩個(gè)角互余。

則逆命題為：若三角形中兩個(gè)角為銳角，且這兩個(gè)角互余，則這個(gè)三角形為直角三角形。

或：若三角形為直角三角形，且兩個(gè)角互余，則這兩個(gè)角為銳角。

重新整理，逆命題為：兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形。

或：直角三角形中兩個(gè)互余的角為銳角。

所以，如果一個(gè)命題含有多個(gè)條件和一個(gè)結(jié)論，其逆命題就不是唯一的。

編輯 溫雪蓮