幾何中的分類討論解題研究

分類討論法是一種比較重要的解題方法，也是近年來中考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。在這里筆者對(duì)常見的幾種解題方法進(jìn)行歸納。

一、幾何圖形的高

方法一：由于三角形的高可在三角形的內(nèi)部、外部或與邊重合，所以在解決問題時(shí)常常將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

例1.為了美化環(huán)境，計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)用120m的草皮鋪設(shè)一塊一邊長為20的等腰三角形綠地，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的另兩條邊長。

分析：由題中已知一邊長20m的等腰三角形，可分為底邊長為20m或腰長為20m兩種情況，如圖1由底邊長為20m和面積為120m可求得底邊上的高為12m，進(jìn)而求得兩腰長都為2m，由腰長為20m和面積為120m分析時(shí)難度較大，需考慮將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，直角三角形的情況不成立，可分別得到圖2和圖3兩種情況。

[圖1 圖2 圖3]

方法二：比例尺畫圖法

例2.小剛玩拼圖游戲，所拼成的圖形是一個(gè)三角形，量得兩邊長分別為20cm、25cm，第三邊上的高為15cm，請(qǐng)你幫助他計(jì)算這個(gè)圖形的面積。

在教學(xué)中，筆者不僅要求學(xué)生掌握這種分類方法，同時(shí)還要求學(xué)生按條件用比例尺畫圖，并深入思考畫圖的步驟，使學(xué)生不僅從表面上明白畫兩種情況的圖形，還能分析出為什么要畫兩種情況，讓學(xué)生思考可否先畫一條直線上的高長為15 cm，然后用刻度尺在高的同側(cè)及異側(cè)畫出長度為20cm和25 cm的線段，這樣的圖形準(zhǔn)確無誤，更利于學(xué)生進(jìn)一步思考。

二、截圖問題

題型相對(duì)簡單，考查知識(shí)點(diǎn)為相似三角形的性質(zhì)及相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比等。常見題型有：

1.直角三角內(nèi)截等邊三角形

例4.在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，以C為頂點(diǎn)，作一個(gè)等邊三角形，其他兩個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，求這個(gè)等邊三角形的邊長。

2.直角三角形內(nèi)截正方形

例5.在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，作一個(gè)正方形，使它的四個(gè)頂點(diǎn)都上三角形的邊上，求正方形的邊長。

3.直角三角形內(nèi)截矩形

例6.為了節(jié)省資金，小明的爺爺將一塊兩直角邊長分別為30cm和40cm的直角三角形廢鏡片割成一塊長與寬的比為3﹕2的小長方形鏡片，為小明做了一個(gè)精美的小鏡子，（要求長方形的各個(gè)頂點(diǎn)均在直角三角形的邊上），請(qǐng)你計(jì)算一下長方形鏡片的長與寬各為多少厘米？

4.正方形內(nèi)截直角三角形

例7.正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上（點(diǎn)E、F不與頂點(diǎn)重合），△AEF是斜邊等于5的直角三角形，且∠EAF≠90°，求BE的長。

5.正方形內(nèi)截等腰梯形

例8.在邊長為8的正方形內(nèi)截一個(gè)上底為4，下底為6的等腰梯形，其各頂點(diǎn)在正方形的邊上，求截得的等腰梯形的面積。

6.矩形內(nèi)截等腰三角形

例9.矩形ABCD中，AB=8，BC=25，點(diǎn)O在BC邊上，BO=7，點(diǎn)M在線段OC上且OM=8，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點(diǎn)P在矩形的一邊上，求AP的長。

7.梯形內(nèi)截等腰三角形

例10.有一底角為60°的直角梯形，上底長為10cm，與底垂直的腰長為10cm，以上底或與底垂直的腰為一邊作三角形，使三角形的另一邊長為15cm，第三個(gè)頂點(diǎn)落在下底上，請(qǐng)計(jì)算所作的三角形的面積。

三、外拼問題

1.等邊三角形外拼等腰三角形

例11.張大爺家的耕地為四邊形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若張大爺沿對(duì)角線AC把地分給兩個(gè)兒子，其中耕地△ABC恰好為等邊三角形，另一塊耕地△ADC恰好為等腰三角形，求耕地△ADC的面積。

分析：本題的關(guān)鍵是要學(xué)生掌握從△ADC為等腰三角形這一條件出發(fā)，可得AC=AD、AC=CD、AD=CD這三種情況（如圖），由∠BAD=105°可得∠CAD=45°，所以后兩種圖形都是等腰直角三角形，因此筆者要求學(xué)生畫圖盡量標(biāo)準(zhǔn)，這樣在解題過程中才能避免失誤。

2.等腰直角三角形外拼等腰直角三角形

例12.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為多少？

3.直角三角形外拼直角三角形構(gòu)成等腰三角形

例13.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m、8m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)建后，等腰三角形綠地的周長。

4.直角三角形外拼直角三角形構(gòu)成相似圖形

例14.有一塊直角三角形綠地，它的兩條直角邊長分別為3m和4m，現(xiàn)要將其擴(kuò)充成四邊形，擴(kuò)充部分是以4m為一邊的直角三角形，且與原直角三角形相似，試求擴(kuò)充后的四邊形的面積。