高考中的幾何概型

幾何概型是一種重要的概率模型，在近幾年的高考試題中均有出現(xiàn)。解決幾何概型問題首先要明確幾何概型的定義，掌握幾何概型當(dāng)中事件的概率公式，其次要學(xué)會(huì)構(gòu)造隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率。下面舉例說明幾何概型在高考中的考查。

一、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

例1、[2012年遼寧卷]在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C. 現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm2的概率為

（A） （B）（C）（D）

【答案】C

【解析】設(shè)線段AC的長(zhǎng)為 cm，則線段CB的長(zhǎng)為（ ）cm，那么矩形的面積為 cm2，

由 ，解得 。又 ，所以該矩形面積小于32cm2的概率為 ，故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型中長(zhǎng)度的計(jì)算，以及分析問題的能力，屬于中檔題。

二、與面積有關(guān)的幾何概型

例2、[2012·湖北卷] 如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）

A. 12－1πB. 1π C．1－2πD. 2π

[解析] 如圖所示，不妨設(shè)扇形的半徑為2a，記兩塊白色區(qū)域的面積分別為S1，S2，兩塊陰影部分的面積分別為S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝ ＝14π（2a）2＝πa2①，

而S1＋S3與S2＋S3的和恰好為一個(gè)半徑為a的圓的面積，即S1＋S3＋S2＋S3＝πa2②.

由①－②得S3＝S4；

又由圖可知S3＝ ＋ ＝12πa2－a2，

所以 ＝πa2－2a2.

故由幾何概型概率公式可得，所求概率P＝ ＝ ＝1－ .故選C.

例3．[2012·北京卷] 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）

A. π4 B. π－22C. π6 D. 4－π4

[解析] 本題考查了線性規(guī)劃、圓的概念、圓的面積公式以及幾何概型公式等基礎(chǔ)知識(shí)．

如圖所示， 故選D.

三、與體積有關(guān)的幾何概型

例4、[2011長(zhǎng)沙模擬]在棱長(zhǎng)為2的正方體 中，點(diǎn) 為底面 的中心，在正方體 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) ，則點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離大于1的概率為。

解析：點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離大于1的點(diǎn)位于以 為球心、以1為半徑的半球外。記點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離大于1為事件A，則：

四、與角度有關(guān)的幾何概型

例5、在 中， ，過直角頂點(diǎn) 作射線CM交線段AB于M，求使得 的概率。

解：如圖：設(shè)事件D為“作射線CM，

使得 ”，在AB上取點(diǎn) 使 ，

因?yàn)?是等腰三角形，

所以 ，所以

【點(diǎn)評(píng)】由于CM落在 內(nèi)的任意位置是等可能的，若以長(zhǎng)度為“測(cè)度”，就是錯(cuò)誤的，因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的。此題學(xué)生最容易當(dāng)成長(zhǎng)度概率。