導數思想在解決函數問題上的靈活應用
2014-04-29 00:00:00薛韶霞李金香
中國科教創(chuàng)新導刊 2014年1期
摘 要：導數是微積分的核心內容之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛應用，導數更是研究函數性質的強有力的工具，在解決函數單調性、最大值和最小值等問題時，不但避開了初等函數變形的難點，證明的繁雜，而且使解法程序化，變“巧法”為“通法”，優(yōu)化解題策略、簡化運算，具有較強的工具性作用。在應用導數研究函數單調性，極值，最值問題的教學過程中，體會導數的思想及其內涵。
關鍵詞：導數 函數單調性 極值 最值
中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）01（a）-0085-01
1 用導數求解某些函數的單調性，具有簡潔高效的特點
定理：設函數在內可導，則：
（1）如果在內，那么函數y=f（x）在內單調增加。
（2）如果在內，那么函數y=f（x）在內單調減少。
例1：討論的單調性。
分析：函數定義域為R，現在令，解得，
當或時，，∴函數在和上是增函數。
當時，，∴函數在（-2，2）上是減函數。
例2：設函數，其中，求的單調區(qū)間。
解：由已知得函數的定義域為：，且。
（1）當時，函數在上單調遞減。
（2）當時，可知當時，函數在上單調遞減。
當時，函數在上單調遞增。
例3：設函數，其中為實數。當的定義域為時，求的單調減區(qū)間。
解：，令，得，由，得或。
又，時，由得；當時，；
當時，由得 ，即當時，的單調減區(qū)間為；當時，的單調減區(qū)間為。
例4：設≥0時，
，令，討論在內的單調性。
解：根據求導法則有
，，
于是，當時，，當時，故知在內是減函數，在內是增函數。
2 用導數求解連續(xù)函數的極值和最值時，同樣具有幾乎公式化的解題方法
如果函數在上連續(xù)，則在上一定有最大值M和最小值m，一般先求出在內的一切駐點和一切不可導點，再比較這些駐點和不可導點的函數值以及在區(qū)間端點的函數值，最大者就是函數的最大值M，最小者就是函數的最小值m。由上述分析可知，求函數在閉區(qū)間上的最大值與最小值的步驟為：
（1）確定函數的定義域，并求其導數。
（2）解方程，求出的全部駐點和不可導點。
（3）討論在鄰近駐點和不可導點左，右兩側符號變化的情況，確定函數的極值點。
（4）求出各極值點的函數值，就得到函數的全部極值。
例5：求函數在區(qū)間上的最大值與最小值。
解：（1），
令，得函數定義域內的駐點為：其函數值分別為：。
（2）在區(qū)間端點處的函數值分別為：。
（3）比較以上各函數值，可以得到，函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為。
例6：求函數的極值。
解：函數定義域為R。
，令，得或：當或時，?！嗪瘮翟诤蜕鲜菧p函數；
當時，，∴函數在（0，2）上是增函數.∴當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值。
例7：求函數的極值。
解：函數的定義域為R。
令，得。當或時，，
∴函數在和上是減函數；當時，。
∴函數在（-1，1）上是增函數。∴當時，函數取得極小值。
當時，函數取得極大值。
導數是分析和解決函數問題的便利的、必不可少的工具，靈活運用導數，可以對解決一些單調性問題，最值問題，產生意想不到的效果，因此，在平時學習教學中應重點加以研究及應用。
參考文獻
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