高考數(shù)學數(shù)列復習的思索

一、高考要求

1、理解數(shù)列的概念，會根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的任意一項；

2、理解等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，掌握這兩個數(shù)列的通項公式和前n項和公式，并能運用公式解決一些簡單的問題；

3、了解數(shù)學歸納法，并能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。

二、解讀高考要求

數(shù)列是高中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的重要銜接點；由于它既具有函數(shù)特征，又能構(gòu)成獨特的遞推關(guān)系，使得它既與高中數(shù)學其他部分的知識有著密切的聯(lián)系，又有自己鮮明的特征。由于其內(nèi)容的豐富性、應(yīng)用的廣泛性和思想方法的多樣性，所以數(shù)列一直是高考考查的重點和熱點；幾乎每年高考中除以填空題和選擇題的形式考查外，還有一道綜合性強、變化多、難度較大的數(shù)列解答題；填空題和選擇題有“小、巧、活”的特點，解答題一般還涉及到函數(shù)、方程、不等式、三角、復數(shù)、二項式定理、解析幾何等內(nèi)容，體現(xiàn)函數(shù)與方程、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學思想以及待定系數(shù)法、配方法、換元法、分離變量法、歸納猜想證明等基本數(shù)學方法。

因此在高考復習的過程中，要突出兩條主線：一條是知識主線，一條是思想方法主線；通過分析典型例題和必要的解題訓練，進行反思，提煉出科學的方法；不斷提高邏輯思維能力、運算能力、轉(zhuǎn)化能力、歸納猜想能力，以及探究能力和分析問題與解決問題的能力。

三、規(guī)劃和實施

那么，如何合理對這一章的復習進行規(guī)劃與實施呢？針對上面的指導思想，我們將這一章的復習劃分為以下三個部分：

第一部分 用類比法歸納《數(shù)列》的基礎(chǔ)知識

回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，可以看出，將等差數(shù)列的定義中的“差”改為“比（商）”、“公差”改為“公比”即得等比數(shù)列的定義．也就是通過類比可以看出“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”的聯(lián)系．2004年北京高考試題就出了一道“等和數(shù)列”的題目，那么，什么是等和數(shù)列，就只需將“等差數(shù)列”中定義中的“差”字改為“和”字即可．要有效地把握好這一章的知識可以放手讓學生自己去梳理知識、去完善知識體系．老師可以指出，將等差數(shù)列的有關(guān)知識通過類比就可以得出等比數(shù)列的相應(yīng)知識，好比寫對聯(lián)，只要將“差”改為“商”，將“和”改為積，將“算術(shù)平均值”改為“幾何平均值”…，等等，即可．

給學生充足的時間，讓他們?nèi)ネ诰虮菊轮R的內(nèi)涵．可以讓總結(jié)得全面具體又突出了重點的學生在班上交流，給學生一個自學為主同時能展示與提升自己的機會與空間．

第二部分 用練習法鞏固《數(shù)列》的基礎(chǔ)知識

教師通過精選題目制成試卷，限時完成兩套小卷．是為鞏固上面的歸納而設(shè)計的.訓練時，既要講速度，又要講質(zhì)量，老師注意那些完成得快而好的學生，在講試卷評講課時，讓這些學生在班上交流他們的解法，是不是用了等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)或重要結(jié)論使得解題更趨于簡捷，這樣就可起到進一步項固本章的雙基的作用：

第三部分 用“模式化”方法抓好專題的復習

無論是從本章的知識結(jié)構(gòu)還是從高考的命題規(guī)律來看，數(shù)列問題的研究通常離不開對數(shù)列的通項公式與前n項和的研究，所以我們把數(shù)列通項公式的求法與前n項和的研究列為本章的兩個熱點專題．教師仍只是起導學的作用，放手讓學生自己去查閱資料，整理出求通項公式的方法與求前n項和的方法．

“歸納-猜想-證明”是解決這兩類問題的重要方法，除此之外，還要使學生明確針對不同的數(shù)列類型，如何選擇最快捷的方法來求這個數(shù)列的通項或前n項的和？由此要求學生對這兩類問題進行專題總結(jié)．讓學生領(lǐng)會到“模式分析”、“層次解決”是解決數(shù)列問題的基本策略．提倡學生將“模型”與“方法”對應(yīng)起來，以便在高考中能快速而又準確地解決好數(shù)列問題．

一直以來，數(shù)列總是高考考查的必考與重點考查的內(nèi)容之一.那么高考在這一部分有沒有一定的命題規(guī)律呢?有!這體現(xiàn)在高考對數(shù)列的考查體現(xiàn)了以下的五個亮點，這五個亮點體現(xiàn)了對課本中的數(shù)列部分所滲透的數(shù)學思想與方法的考查：

一、聯(lián)想與類比

數(shù)列部分的基礎(chǔ)知識是等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩種特殊的數(shù)列．將等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的定義進行類比分析，可得出其中的對偶關(guān)系：“相加”對“相乘”、“相減”對“相除”、“和”對“積”、“差”對“商”．利用這些對偶關(guān)系，我們就像寫對聯(lián)一樣，可以由等差數(shù)列中的有關(guān)結(jié)論輕松地得出等比數(shù)列中的相關(guān)結(jié)論．例如：在等差數(shù)列中，距首末兩端等距離的兩項的和相等.對偶地有：在等比數(shù)列中，距首末兩端等距離的兩項的積相等.

【例１】（2000年上海高考題）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10=0，則有等式a1+a2+a3+…+an= a1+a2+a3+…+a19-n（n<19，n∈N*）成立.類比以上性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若b9=1，則有等式____________________________成立.

【解析】我們從更一般的角度來分析等差數(shù)列｛an｝.由題設(shè)，如果ak=0，那么有a1+a2+a3+…+an= a1+a2+a3+…+a2k-1-n（n<2k-1，n∈N*）成立.又如果k+n=p+q，其中k，n，p，q是自然數(shù).對于等差數(shù)列｛an｝有ak+an=ap+aq；對于等比數(shù)列｛bn｝有bkbn=bpbq.這樣我們可以得出結(jié)論：

如果bk=1，則有等式 b1b2b3…bn= b1b2b3…b2k-1-n（n<2k-1，n∈N*）成立.結(jié)合本題k=9.

2k-1-n=2×9-1-n=17-n.

于是應(yīng)填：b1b2b3…bn= b1b2b3…b17-n（n<17，n∈N*）.

【點評】本題是一道小巧而富于思考的妙題.主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運用聯(lián)想與類比的思想方法由等差數(shù)列｛an｝而得到等比數(shù)列｛bn｝的新的一般性結(jié)論.

二、遞歸與遞推

如果知道數(shù)列的前一項或前幾項，并且知道遞推公式，就可以遞推地把所有項都找出來，這就是遞推法.因為后面的項總是歸結(jié)（返回）到用前面的項表示，所以也叫遞歸法.

【例2】已知S0=10+20+30+……+n0=n（n的一次式），S1=1+2+3+……+n= （n的二次式）.

求：S2=12+22+32+……+n2=?

【解析】為了遞歸用S0，S1表示S2，須找到一個遞推公式.猜想S2是n的三次式，于是想到簡單的恒等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1，

移項得（n+1）3-n3=3n2+3n+1，（遞推公式）

于是有n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1，

…………………………………………

33-23=3#8226;22+3#8226;2+1，

23-13=3#8226;12+3#8226;1+1，

疊加，消去相同項，得（n+1）3-1=3S2+3S1+S0（遞推公式），

∴S2= [（n+1）3-1-3S1-S0]

= [（n+1）3-1-3#8226; -n]= （2n3+3n2+n）

= n（n+1）（2n+1）.（n的二次三項式）.

【點評】由此可見，遞推法不僅能用于證明遞歸數(shù)列命題的結(jié)論，而且能用于尋求結(jié)論.

【例3】（2005年，北京模擬）猴子第一天摘下若干個桃子，當即吃了一半，還不過癮，又多吃了一個．第二天早上又將剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一個．以后第天早上都吃前一天剩下的一半后還要吃一個．到第十天早上想吃時，見只剩下一個桃子了．求第一天共摘了多少個桃子？

【解析】設(shè)從第一天開始順次每天還沒有吃時的桃子數(shù)組成的數(shù)列為｛an｝，由題意可得

設(shè) ，由前面介紹的求通項的方法可以求得 .

∴

解得 ，

即第一天猴子共摘了1534個摘子．

【點評】由上面的遞推關(guān)系可得 ，已知 可求 ，已知 可求 ，…，由此可求出 ，這就是遞歸法．研究數(shù)列的通項的思想其實就是遞歸的思想．

三、猜想與論證

如果一個命題的特殊情況甚多，不便于用窮舉歸納法，這時往往先研究少數(shù)（或個別）情況以求得結(jié)論，這就是不完全歸納法.這種方法雖然結(jié)論不一定正確，但對發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到正確結(jié)論有重要幫助作用.對猜想的結(jié)論只要加以嚴密的論證，就保證了猜想結(jié)論的正確性.

【例4】已知各項都是正數(shù)的無窮數(shù)列｛an｝滿足以下條件：

a1=1，an+1>an（n∈N*）；

an+12+an2-2an+1an-2an+1-2an+1=0（n∈N*）.

求數(shù)列｛an｝的通項公式.

【分析】在遞推公式中，依次令n=1，2，3，同時注意到題設(shè)告訴我們該數(shù)列是遞增的正項數(shù)列，可以求得a2=4，a3=9，a4=16，由此可以猜想：an=n2；如果猜想正確，那么 =n，｛ ｝為公差為1，首項也為1的等差數(shù)列，于是只須證明 - =1.

【解】對題設(shè)條件變形得：（an+1-an-1）2=4an 所以 an+1=an+1+2 （為什么）

即（ ）2=（ +1）2，

∴ - =1，而a1=1，an+1>an（n∈N*），

∴數(shù)列｛ ｝為公差為1，首項也為1的等差數(shù)列.

∴ =1+（n-1）#8226;1=n， ∴an=n2（n∈N*）.

【點評】本題如果不事先進行歸納猜想，就很難找到以上的簡單解法.正如一位偉人所說：沒有大膽的猜想，便沒有偉大的發(fā)現(xiàn).

四、順思與逆思

數(shù)列部分中的許多重要結(jié)論，把它們作為一個個的命題，那么在這些真命題中，有的逆命題是成立的，但有的逆命題是不成立的.平常，我們要自覺地多加以思考.我們知道，如果一個數(shù)列是等差數(shù)列，那么它的前n項和公式為：Sn= n（a1+an）；反過來，如果一個數(shù)列的前n項和公式為：Sn= n（a1+an），那么這個數(shù)列是不是等差數(shù)列呢？這就是1995年的一道文科高考壓軸題，回答是肯定的.再如，我們知道，兩個等差數(shù)列的對應(yīng)項的和組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，那么兩個等比數(shù)列的對應(yīng)項的和組成的新數(shù)列是不是等比數(shù)列呢?這便是2000年的一道高考探索題，需要我們進行分類與討論后才能做出正確的回答.高考對我們的要求是，要求我們能夠進行主動性的學習，所以平常我們要養(yǎng)成自覺地提出問題，分析問題與解答問題的好習慣.

【例5】（2004年高考題#8226;湖北卷）已知數(shù)列｛an｝的前n項和

Sn=a[2-（ ）n-1]-b[2-（n+1）（ ）n-1]（n=1，2，3…），其中a、b是非零常數(shù).則存在數(shù)列｛xn｝、｛yn｝使得

（A）an=xn+yn，其中｛xn｝是等差數(shù)列，｛yn｝是等比數(shù)列

（B）an=xn+yn，其中｛xn｝和｛yn｝都是等差數(shù)列

（C）an=xnyn，其中｛xn｝是等差數(shù)列，｛yn｝是等比數(shù)列

（D）an=xnyn，其中｛xn｝和｛yn｝都是等比數(shù)列

【解析】等差數(shù)列的前n項和的一般形式為Sn=An2+Bn；等比數(shù)列在公比不等于1（公比等于1時可把它當成等差數(shù)列對待）的時候，其前n項和的一般形式為Sn=C-C#8226;qn（C≠0）.因為兩個等差數(shù)列的對應(yīng)項的和組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，故應(yīng)排斥（B）；又因為兩個等比數(shù)列的對應(yīng)項的積組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，故應(yīng)排斥（D）；假設(shè)選（A），則Sn= An2+Bn+ C-C#8226;qn（C≠0），對比條件分析知必有A=0且B=0，于是a[2-（ ）n-1]-b[2-（n+1）（ ）n-1]= C-C#8226;qn（C≠0），此不可能，排斥（A）；所以選（C）.

【說明】順思與逆思也就是要求我們注意運用邏輯分析的方法去分析問題與解決問題，要注意命題的等價形式，如一個命題的原命題與它的逆否命題是等價的，而當一個命題為真命題時，它的逆命題卻不一定為真；要注意正難則反的思維策略，……，如此等等.

五、求和與放縮

由于高等數(shù)學學習對數(shù)列知識的要求，加之數(shù)列知識是一塊只有調(diào)整未作刪減的內(nèi)容，高考命題組的高校教師熱衷于不等式與遞歸數(shù)列的綜合應(yīng)是十分正常的，這類命題能較好體現(xiàn)課本知識內(nèi)容與能力要求的關(guān)系，復習中應(yīng)該是一個重點，同學們必須明確對這類問題的三種處理方法（一是利用轉(zhuǎn)化，化歸為等差或等比數(shù)列問題解決；二是可能借助數(shù)學歸納法解決；三是可望求出通項公式后一般性解決）．數(shù)列與不等式的綜合通常涉及數(shù)列求和問題，有的題中的和式不能事先求和，但放縮以后的式子可能可以求和，求和方法通常有兩種，一是直接利用等差或等比數(shù)列等求和公式，二是裂項求和、分組求和、錯位相減求和等.

【例６】在 平面上有一系列點對每個自然數(shù) ，點 位于函數(shù) 的圖象上．以點 為圓心的⊙ 與 軸都相切，且⊙ 與⊙ 又彼此外切．若 ，且 ．

（1）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；

（2）設(shè)⊙ 的面積為 ， ，求證： .

【解】（1）依題意，⊙ 的半徑 ， ⊙ 與⊙ 彼此外切， ，

，

兩邊平方，化簡得，

即 ，

，

， ，

∴ 數(shù)列 是等差數(shù)列．

（2）由題設(shè)， ，∴ ，

，

＝ ＝ ．【點評】本題綜合性極強，是考知識、考能力的好題，要求同學們多多回味，理科學生要加強這方面的訓練.【例７】（2005年高考，湖北卷）已知不等式 ，其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)．設(shè)數(shù)列{an}的各項為正，且滿足 ；（I）證明： ；.（II）試確定一個正整數(shù)N，使得n>N時，對任意b>0，都有 .【解析】本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想．第（I）問實質(zhì)是要求考生找第n項與第1項的不等關(guān)系，所以要通過研究相鄰兩項的不等關(guān)系入手，將已知條件進行合適的變形，構(gòu)造新數(shù)列 后用累加法 即可得到所要證的不等式；第（II）問的意思的要求考生找出某一項，使得對于這一項以后的各項都有 ，這里所找的一個條件沒有要求是充要條件，所以只給出一個充分條件即可，N的值應(yīng)該是不唯一的，體現(xiàn)了命題者對考生的人文關(guān)懷．我們可以來看一下下面的一種解法，在邏輯上也是很合理的，因而也是正確的．欲使 ，即要求 ．由于 時， ，則 時，有 即只需對一切 都有 ……（*）.而使（*）式恒成立的一個充分條件可以是 成立．由于 ， ， .將以上各不等式兩端相加可知，可取N=210-1=1023．【點評】N除了可取1023外，還可取比1023更大的值.這道題目中給出的數(shù)列的相鄰兩項的關(guān)系不是以等式的形式給出的，那么要用遞歸或遞推的方法去求出它的通項是完全行不通的，所以解題的關(guān)鍵就是合理把握好放縮與求和的關(guān)系-是先求和再放縮還是先放縮再求和.