對一類特殊雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù) 斂散性的探討

【摘要】交錯(cuò)級數(shù)的斂散性是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)內(nèi)容，但是要檢測一個(gè)具體的級數(shù)是否滿足判別準(zhǔn)則的條件本身是困難的，數(shù)學(xué)分析中交錯(cuò)級數(shù)斂散性的判別法主要是萊布尼茲判別法以及拉貝爾判別法等.本文主要研究了一類特殊雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)的斂散性.

【關(guān)鍵詞】雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)；萊布尼茲判別法；斂散性

1 雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)的定義和判別方法

1.1 定義：形如，+…（ >0）（1）

的級數(shù)稱為雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)。

與交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法類似，對于雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)有下面的判別法：

命題1[1]若雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）滿足：

1）

2）

則雙項(xiàng)級數(shù)（1）收斂，其和s滿足 .

證明：令 .

一方面有：

.

另一方面有：

由條件1）可得： 遞增并且 .

根據(jù)單調(diào)有界原理知 收斂，設(shè) ，則有 .

下面證明 .

事實(shí)上， ， ， .

據(jù)條件2）可得 從而有 故命題成立.

1.2 雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)絕對收斂和發(fā)散的判別法

命題2 對于雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1），令：

1）若 （s是確定的實(shí)數(shù)），則雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）收斂并且和是s，

記作 .

2）若 不存在，則雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）發(fā)散.

由一般項(xiàng)級數(shù)的取絕對值判別法，比較判別法，根值判別法可知下面的命題成立.

命題3 雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1），若 收斂，則雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）絕對收斂.

命題4 雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1），若 ，則

1）當(dāng) <1時(shí)，雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）絕對收斂；

2）當(dāng) >1或 = 時(shí)，雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）發(fā)散.

命題5 雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1），若 則

1）當(dāng) <1時(shí)，雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）絕對收斂；

2）當(dāng) >1或 =+ 時(shí)，雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）發(fā)散.

說明：在命題4和命題5中， =1時(shí)雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）可能收斂也可能發(fā)散.

2 雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)求和

若 滿足萊布尼茲收斂條件，則級數(shù)收斂，且其和 ，其余項(xiàng) 的絕對值 ，并給出一類雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)的求和公式.

定理1[2] 若將調(diào)和級數(shù)項(xiàng)的符號改變，使得p個(gè)正項(xiàng)之后跟隨著p個(gè)負(fù)項(xiàng)，但不改變原來的順序，則此級數(shù)收斂.

證明：顯然，若p=1，則新級數(shù)為 ，收斂.

一般地，記 考慮 ，

顯然由Leibniz定理知 收斂.易見所得級數(shù)與 同收斂，故所得級數(shù)收斂.

顯然，當(dāng)k=2，級數(shù) 就是一個(gè)特殊的雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)，它是收斂的.

下面考慮一類特殊的雙交錯(cuò)級數(shù)，形如

（1）

其中，a，b為正整數(shù).

定理2 雙交錯(cuò)級數(shù)（1）是收斂的.

證明：級數(shù)（1）的前4n項(xiàng)部分和為

顯然，數(shù)列 單調(diào)增加.

由于

，

所以數(shù)列 有界.

于是，數(shù)列 收斂，記 .

又因?yàn)椋?，

其中 所以 .

因此，級數(shù)（1）收斂.證畢！

級數(shù)（1）的求和，首先有結(jié)論B：

設(shè)a，b>0，則：+…= （2）

證明：令

若a，b為自然數(shù)，則右端冪級數(shù)的收斂區(qū)間至少是[0，1]，逐項(xiàng)求導(dǎo)，得：

，

于是 ，此即為所要證的.

在根據(jù)定理2知，交錯(cuò)級數(shù) 和 均收斂.利用無窮級數(shù)收斂性定義，可以證明收斂的交錯(cuò)級數(shù)（1）可以按下列方式重排：

因此，級數(shù)（1）式的和為上述兩個(gè)交錯(cuò)級數(shù)的和，

即（3）

又由（2）式的

（4）

顯然（4）式的左端是有理函數(shù)的積分，這樣就有了下面的求和公式.

雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）的和為 .

3 特殊雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)的斂散性

利用正項(xiàng)級數(shù) 的斂散性，討論了雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù) （其中 ，數(shù)列{ }單調(diào)遞增，且 ，數(shù)列{ }有界）的斂散性，并給出它的判別方法.

定理3[3]若雙項(xiàng)交錯(cuò)級數(shù)（1）滿足：

1）

2）

則級數(shù) 一定收斂.

若數(shù)列{ }不滿足定理?xiàng)l件2），

比如級數(shù) 和 ，那么它們的斂散性如何呢？

引理1 若級數(shù) 收斂，若級數(shù) 發(fā)散，那么級數(shù) 一定發(fā)散.

證明：假設(shè) 收斂，又級數(shù) 收斂，則 = 一定收斂，與條件 發(fā)散矛盾.所以 一定發(fā)散.

定理4 設(shè)有級數(shù) ，滿足數(shù)列{ }單調(diào)遞增，且 .則有

1）當(dāng)正項(xiàng)級數(shù) 收斂時(shí)，級數(shù) 收斂；

2）當(dāng)正項(xiàng)級數(shù) 發(fā)散時(shí)，級數(shù) 發(fā)散；

證明：

=（5）

而數(shù)列{ }單調(diào)遞減，且 ，由定理1知，級數(shù) 收斂.

又級數(shù) 為正項(xiàng)級數(shù)（至少從某項(xiàng)以后為正項(xiàng)級數(shù)）則

所以當(dāng) 收斂， 收斂；

當(dāng) 發(fā)散， 發(fā)散.

有（5）得：當(dāng) 收斂， 收斂；

當(dāng) 發(fā)散 發(fā)散.

定理5 設(shè)有級數(shù) 滿足：

1）數(shù)列{ }單調(diào)遞增，且 （2）數(shù)列{ }有界.

則當(dāng)正項(xiàng)級數(shù) 收斂時(shí)， 必收斂.

證明：

（6）

因?yàn)閧 }有界，所以存在M>0，使 ，所以

（7）

又

因此，當(dāng) 收斂時(shí)，級數(shù) 收斂，由（7）知，

級數(shù) 絕對收斂，因而它必收斂.又 收斂，

由（6）知，級數(shù) 收斂.

例題1 判別級數(shù) 的斂散性.

解：

由于 有界，而級數(shù) 收斂

由定理5知， 收斂.

參考文獻(xiàn)：

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