初中數(shù)學函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)化

【摘 要】函數(shù)思想、方程思想貫穿整個初中數(shù)學的教與學，若我們能熟練地對這兩種數(shù)學思想進行恰當轉(zhuǎn)化，就會收到事半功倍的效果。本文通過分析具體案例著重探討了初中數(shù)學中函數(shù)思想與方程思想轉(zhuǎn)化的問題，希望能為數(shù)學教學提供有益參考。

【關鍵詞】初中數(shù)學 函數(shù)思想 方程思想

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相關概念解析

函數(shù)思想是運用運動和變化的觀點，分析研究數(shù)學中的等量關系，建立函數(shù)關系，在運用函數(shù)圖像和性質(zhì)分析問題中，達到轉(zhuǎn)化問題的目的。

方程思想是以數(shù)量關系為切入點，用數(shù)學語言把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型——方程、方程組，通過求解方程、方程組轉(zhuǎn)化問題。

雖然函數(shù)思想和方程思想是兩個不同的概念，但是這兩種數(shù)學思想?yún)s有著密切的聯(lián)系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函數(shù)y=ax2+bx+c當函數(shù)值為0時自變量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的個數(shù)就是求函數(shù)y=ax2+bx+c與函數(shù)y=dx+e圖像交點的橫坐標或交點的個數(shù)。這種緊密的關系為函數(shù)思想與方程思想在初中數(shù)學中的相互轉(zhuǎn)化提供了物質(zhì)條件。

二 用函數(shù)思想解決方程問題

通過一個例題兩種不同解析方法的對比來體會用函數(shù)思想解決方程問題是否具有優(yōu)越性。

一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m為何值時，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一負根？

方法一用韋達定理解析：因為該方程有根，所以Δ≥0，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，

即m≤ 或m≥ 。

設x1<1，x2>1，則x1-1<0，x2-1>0則（x1-1）（x2-1）<0，也就是x1x2-（x1+x2）+1<0。

根據(jù)韋達定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，則有（m+2）+2（m-1）+1<0，解得m<-1/3。

設x1<0，x2>0，則x1x2<0，根據(jù)韋達定理x1x2=c/a，則有m+2<0，解得m<-2。

方法二用函數(shù)思想解析：將一元二次方程左邊看成是一個二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數(shù)f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=1時，f（x）<0。

則有1+2（m-1）+（m+2）<0，解得m<-1/3。

將一元二次方程左邊看成是一個二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數(shù)f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點。所以只需x=0時，f（x）<0。

則有m+2<0，解得m<-2。

從兩種解析方法的比較中，不難看出：對于（1）的解析中運用函數(shù)思想解決方程問題可以大大減輕計算量，使復雜問題簡單化；對于（2）的解析中運用函數(shù)思想解決方程問題并沒有表現(xiàn)出很明顯的簡化效果。所以，解決方程問題我們要靈活把握，具體問題具體分析，本著化繁為簡的原則選擇合適的數(shù)學思想進行解題。

三 用方程思想解決函數(shù)問題

周末王芳騎自行車和小伙伴一起到郊外游玩。她從家出發(fā)后2小時到達目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，王芳離家4小時40分鐘后，爸爸開車沿相同路線迎接王芳，如圖是他們離家的路程y（千米）與時間x（小時）的函數(shù)圖像。已知王芳騎車的速度為15千米/時，爸爸開車的速度為60千米/時。王芳家與游玩

地的距離是多少？爸爸出發(fā)

多長時間與王芳相遇？

根據(jù)題意可知王芳騎自

行車的速度為15千米/時，

而她到達游玩地所用時間是2小時，所以王芳家與游玩地的距離是15千米/時×2小時=30千米。

設爸爸出發(fā)后x小時與王芳相遇，根據(jù)題意，在王芳原路返回前20分鐘即1/3小時，爸爸開車出發(fā)，爸爸開車的速度為60千米/時，王芳騎車的速度為15千米/時，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。

所以爸爸出發(fā)后7/15小時即爸爸出發(fā)后28分鐘與王芳相遇。

對于本題的解答，我們不能想當然地看到函數(shù)圖像就試圖求出函數(shù)的解析式。采用方程思想進行解答是把復雜的函數(shù)問題變成了簡單的一元一次方程問題和相遇問題，這樣大大降低了解題的難度。由此類行程問題看，函數(shù)思想和方程思想是一致的，它們都是以實際問題中的數(shù)量關系為切入點。而從難易程度上來說，方程思想更有利于學生接受。

在初中數(shù)學問題中，還有很多可以采用方程思想與函數(shù)思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過本文的分析對轉(zhuǎn)化思想起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數(shù)學教學中，能恰當?shù)剞D(zhuǎn)化思維解決復雜問題。

參考文獻

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〔責任編輯：林勁〕