高考中的統(tǒng)計(jì)與概率問題

【摘 要】本文對(duì)近年高考中對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率問題考察的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)，結(jié)合2014年度全國(guó)新課程標(biāo)準(zhǔn)的部分高考試卷分析了部分重要試題。

【關(guān)鍵詞】高考 統(tǒng)計(jì)與概率 知識(shí)點(diǎn)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）35-0137-02

現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)信息化的社會(huì)，人們根據(jù)所獲取的數(shù)據(jù)提取信息，做出合理的決策，因此，概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想和基礎(chǔ)知識(shí)是公民的必備常識(shí)。近幾年的高考加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的考查，而概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系非常密切，是一個(gè)很好的載體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、綜合性、現(xiàn)實(shí)性及其廣泛的應(yīng)用性。

一 考點(diǎn)分析

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科；統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科。

高考中經(jīng)?？疾楦怕实闹饕獌?nèi)容有：隨機(jī)事件的概率、古典概率、幾何概率、互斥事件的概率、對(duì)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)事件的概率，以及取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差等。如2014年安徽卷的17題、湖南卷的17題、四川卷的17題、陜西卷的19題、重慶卷的18題等。經(jīng)常考查統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容有抽樣方法、排列組合、用樣本估計(jì)總體、變量的相關(guān)性等。如2014年新課標(biāo)全國(guó)卷I的18題、全國(guó)卷II的19題、江蘇卷的6題、遼寧卷的18題、山東卷的7題、重慶卷的3題、湖北卷的4題等。近年來把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合起來命題是高考考查的一個(gè)趨勢(shì)。

二 試題分析

概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容，它以考生熟悉的實(shí)際應(yīng)用問題為載體，突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。解決概率統(tǒng)計(jì)問題的思路：將實(shí)際問題通過分析、概括、轉(zhuǎn)化，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，從而使問題得到解答。下文選取2014年一些典型高考真題進(jìn)行思路的分析和方法的歸納。

1.考查頻率分布直方圖、正態(tài)分布

（新課標(biāo)全國(guó)卷I）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差S2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù) ，σ2近似為樣本方差S2。（1）利用正態(tài)分布，求P（187.8

附：

若Z～N（μ，σ2），則P（μ-σ

分析：（1）利用頻率分布直方圖，將組中值與頻率相乘并累加求和計(jì)算平均數(shù)，再利用方差的定義求解方差。（2）根據(jù)所給條件，利用樣本估計(jì)總體進(jìn)行概率計(jì)算；利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可。解決概率問題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件，還是某一事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的情況，選擇正確的計(jì)算方法，全面考慮。

2.考查回歸直線預(yù)測(cè)、估計(jì)

（新課標(biāo)全國(guó)卷II）某地區(qū)2007至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年代2007200820092010201120122013

年份代號(hào)t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入。

附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

。

分析：（1）可先根據(jù)平均數(shù)的定義求出平均數(shù) 與 ，然后利用所給公式求出 ， ，代入線性回歸方程即可。（2）由（1）中的方程可以知道2015年所對(duì)應(yīng)的年代份號(hào)t=9，代入（1）中方程就可得到人均純收入的預(yù)測(cè)值。解題中需重視對(duì)數(shù)據(jù)的分析、處理，計(jì)算時(shí)應(yīng)講究一定的技巧。

3.考查對(duì)立、相互獨(dú)立、互斥事件概率

（安徽卷）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)

多者贏得比賽。假設(shè)每局甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率

為 ，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（1）求甲在4局以內(nèi)（含4

局）贏得比賽的概率；（2）記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）。

分析：（1）考慮到所有滿足“甲在4局以內(nèi)（含4局贏得比賽）”的所有情況，即可能比賽2局、3局、4局，應(yīng)用相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計(jì)算；（2）找到能夠使比賽決出勝負(fù)的X的可能取值，即2，3，4，5，求出相應(yīng)取值時(shí)的概率，列出分布列，利用均值的公式求解。求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)要注意兩個(gè)問題：一是求出隨機(jī)變量所有可能的取值；二是求出取每一個(gè)值時(shí)的概率。求隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵是所求概率類型的確定與轉(zhuǎn)化，如古典概型、互斥事件只有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等。

4.考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、分布列、數(shù)學(xué)期望

（四川卷）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得-200分）。設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率

為 ，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立。（1）設(shè)每盤游戲獲得

的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂得概率是多少？（3）玩過這款游戲的很多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了。請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因。

分析：（1）根據(jù)游戲規(guī)則確定每盤游戲可能獲得的分?jǐn)?shù)取值：10，20，100，-200，求出每一分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列；（2）“玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂”意味著可能一盤、兩盤或三盤出現(xiàn)音樂，若用相應(yīng)的對(duì)立事件來計(jì)算則要方便很多，即沒有一盤出現(xiàn)音樂；（3）根據(jù)數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義解決問題。求解此類問題的關(guān)鍵：利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合內(nèi)容，以及古典概型的概率公式求隨機(jī)變量的概率；要求隨機(jī)變量的分布列，需先求出其可能取值，然后求出每一個(gè)取值時(shí)的概率，即可得到隨機(jī)變量的分布列；利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的定義進(jìn)行計(jì)算與判斷。

5.考查特征數(shù)、排列組合

（廣東卷）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取

七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為（ ）。

分析：十個(gè)數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)共有 種情況，七

個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6，那么只有6處于中間位置，有 種情況，

于是所求概率為兩者之比，即 。本題注意“七”這一特殊

個(gè)數(shù)，求解就變得簡(jiǎn)單多了，倘若將本題中的“七”改為“六”，難度要大得多。

三 總結(jié)

高考概率題大都是以課本基礎(chǔ)知識(shí)為載體，結(jié)合社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展的需要，將基礎(chǔ)知識(shí)拓展，使之成為立意高、有時(shí)代信息、貼近學(xué)生生活實(shí)際的問題。概率問題主要考查學(xué)生隨機(jī)意識(shí)、概率觀念以及統(tǒng)計(jì)思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法提出問題、分析問題、解決問題的能力。要求學(xué)生了解信息社會(huì)，講究理論聯(lián)系實(shí)際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用；考查學(xué)生對(duì)語(yǔ)言的理解能力，要求考生能夠從普通語(yǔ)言中捕捉信息，將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與交流；引導(dǎo)學(xué)生深化數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考和做出判斷。統(tǒng)計(jì)與概率部分知識(shí)應(yīng)注意利用互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率乘法公式、排列組合等方法計(jì)算隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率。由于這部分概念較多，因此對(duì)概念的透徹把握是解題關(guān)鍵。此外，要充分應(yīng)用分類討論的思想，在概率問題的解決中注意分類的標(biāo)準(zhǔn)及分類的原則，要做到不重不漏。當(dāng)分類討論的類別較多時(shí)可以從事物的反面出發(fā)，利用對(duì)立事件解決問題，達(dá)到事半功倍的效果。

〔責(zé)任編輯：林勁〕