解題策略中歸納、演繹、類比及其特點分析

【摘 要】面對不同的數(shù)學問題，解題策略也是多變的。本文主要分析解題策略中歸納、演繹、類比三種策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學解題策略 歸納策略 演繹策略 類比策略

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0136-02

數(shù)學解題策略就是為了實現(xiàn)解題目的而確定的行動方針、方式和方法。與其他事物一樣，數(shù)學解題策略有其內(nèi)在的規(guī)律性，這個規(guī)律性表現(xiàn)在解題策略遵循著熟悉化、簡單化、具體化及和諧化等策略原則。掌握好這些原則，會有利于解題策略的制定。面對不同的數(shù)學問題，解題策略也是多變的。本文主要分析解題策略中的歸納、演繹、類比三種策略。

一 歸納策略

歸納策略是從特殊到一般的一種考察對象、研究探索問題的思想，它符合人類認識的基本規(guī)律，也是數(shù)學研究和發(fā)現(xiàn)的重要方法。它分為完全歸納法和不完全歸納法。

當我們面對一個一般性的普遍命題，或研究某一對象集共同的性質(zhì)時，由于沒有從具體到抽象、從個別到一般的歸納過程作鋪墊，往往造成數(shù)學解題的困難。這種情況下，我們常用的解題策略是歸納或稱以退為進策略、特殊化策略，就是還原或補上從具體到抽象、從個別到一般這一歸納過程。先研究幾個個別、較為具體的對象，先分析幾種簡單、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。相應(yīng)的具體做法表現(xiàn)為取值、枚舉、遞推、極端、試驗、特殊化等（如例1）。

歸納策略的特點：（1）局部的合理性；（2）整體的不嚴密性。

例，過△ABC的重心G作

一直線l，把△ABC分成兩部分，

求證：這兩個部分的面積之差不

大于△ABC面積的九分之一。

（如右圖）

分析：先特殊，作EF//BC，再作任意直線MN，SEBCF-SMBCN=SEMD，SAMN-SAEF=SEMD，SEBCF-SMBCN+SAMN-SAEF=

2SEMD>0，所以SMBCN-SAMN≤SEBCF-SAEF= SABC。

故得證。

歸納與猜想是學習、解決數(shù)學問題行之有效的方法之一，它使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從特殊問題中總結(jié)出一般規(guī)律。我們?nèi)魧σ恍┎皇煜ど踔翢o從下手的數(shù)學問題進行有目的地觀察實驗、歸納、猜想常能得到一些有益的啟發(fā)，為解決數(shù)學問題提供依據(jù)和方向。

二 演繹策略

與歸納法相反，有些數(shù)學題的具體情境、具體細節(jié)可能會掩蓋更為一般的普遍規(guī)律，從而不利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。這時，我們可以把問題一般化，通過對整體性質(zhì)或本質(zhì)關(guān)系的考察，使原問題得到解決，這種策略稱為演繹策略。

1.演繹法的類型

第一，公理演繹法的特點是大前提是依據(jù)公理（或公設(shè)）進行推理。

第二，假說演繹法的特點是以假說作為推理的大前提，它的一般形式可寫為：

如果p（假說），則有q（某事件）；

因為q（或非q），

所以p可能成立（或p不成立）。

第三，定律演繹法是以某個定律或某種規(guī)律作為大前提的演繹法。作為演繹推理前提的規(guī)律包括有兩類：一類是經(jīng)驗規(guī)律，另一類是普遍規(guī)律。

第四，理論演繹法，以某一理論為大前提，以在該理論范圍內(nèi)的確切事實為小前提的演繹稱為理論演繹法。理論演繹法的一般形式如下：

大前提：有M理論在某一范圍內(nèi)是正確的；在此范圍內(nèi)規(guī)律P普遍適用。

小前提：假定事物S的行為受M理論的支配。

結(jié)論：則S的行為規(guī)律為P。

2.歸納與演繹的關(guān)系

主要區(qū)別：思維的起點不同，歸納推理是從特殊性到一般的認識過程；演繹推理是從一般到特殊性的認識過程。

相互聯(lián)系：歸納與演繹，在人們的認識過程中是緊密聯(lián)系著的，兩者互相依賴、互為補充。演繹是一般性知識（大前提）的來源，來自于歸納推理概括和總結(jié)，從這個意義上說，沒有歸納推理也就沒有演繹推理。正如恩格斯指出：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然相互聯(lián)系著的”。

例，比較 與 的大小。

分析：2= ，考慮函數(shù)f（x）= （x>0）。知f（x）

是凸函數(shù)，故有f（x1）+f（x2）≤ ，取x1=7，x2=8。

三 類比策略

類比是通過兩類不同的對象A、B間的某些屬性的相似，而A具有某種其他屬性便猜想B也有這種屬性?？梢姡惐仁翘岢鲂聠栴}和獲得新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑。

在數(shù)學解題過程中，常常需要借助類比，因為在將陌生對象和熟悉對象、未知規(guī)律和已知規(guī)律類比后，往往能達到啟發(fā)思路、舉一反三的效果，實現(xiàn)認識結(jié)構(gòu)的遷移。通常采用的有規(guī)律類比、數(shù)形類比、形式類比等。

1.類比法的特點是“先比后推”

“比”是類比的基礎(chǔ)，“比”既要比共同點，也要比不同點。對象之間的共同點是類比法是否能夠施行的前提條件，沒有共同點的對象之間是無法進行類比推理的。

2.類比的分類

按對象分類：個別性類比、特殊性類比和普遍性類比。按斷定分類：正（肯定式）類比、負（否定式）類比和正、負（肯定否定式）類比等類型。按內(nèi)容分類：性質(zhì)類比、關(guān)系類比、條件類比等類型。按思維方向分類：單向類比、雙向類比和多向類比等類型。

3.類比與歸納演繹的關(guān)系

類比之所以能“由此及彼”，是經(jīng)過了一個歸納和演繹程序，即：從已知的某個或某些對象具有某情況，經(jīng)過歸納得出某類所有對象都具有這種情況，然后再經(jīng)過演繹得出另一個對象也具有這個情況，也就是“類推”。三者間是緊密相連的。

下面這個例子就很好地應(yīng)用了類比策略。

例1，已知 ，求證： 。

分析1：類比聯(lián)想到拆“1”，即：1=sin2α+cos2α。

即 ，通分，整理

得（cos2α-cos2β）（sin2α-sin2β）=0，即得cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

分析2：類比到橢圓方程，即點P（cos2α，sin2α），

Q（cos2β，sin2β）。在橢圓 上，過Q點的

切線方程為x+y=1，而P點又在x+y=1上，故點P與Q重合，即cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

4.應(yīng)用類別應(yīng)注意的問題

首先，不要受自己的研究對象和學科的限制，要大膽猜想、善于觀察，從不同事物中觀察它們的共同和相似之處，并追究造成這種共同和相似的原因。其次，善于聯(lián)想。從一種方式方法聯(lián)想到與其作用類似的其他方式方法；從一個概念或定理聯(lián)想到與它關(guān)系比較密切的一串概念或定理。最后，類比常與歸納、演繹綜合運用，另外它也離不開分析。歸納、類比和探索性演繹法通常是靠猜想與聯(lián)想等心智運動串聯(lián)起來的，因此必須自覺掌握創(chuàng)新性思維，并把它運用到實際的工作和學習生活中去。

參考文獻

[1]朱華偉、錢展望.數(shù)學解題策略[M].北京：科學出版社，2009

[2]殷堰工編著.數(shù)學解題策略精編[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，1994

〔責任編輯：林勁〕