風(fēng)控?zé)釙炏聫?fù)合貝塞爾高斯光束的模式串?dāng)_

丁洲林，于永吉，李曉慶

（1 長春理工大學(xué) 物理學(xué)院 吉林省固體激光技術(shù)與應(yīng)用重點實驗室，長春 130022）（2 四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，成都 610068）

0 引言

貝塞爾高斯（Bessel-Gaussian， BG）光束在定向能、自由空間光通信、光學(xué)操縱、激光加工等方面的應(yīng)用有重要價值［1-4］。BG 光束在一定距離內(nèi)具有無衍射特性和自重建特性［5］。目前，已經(jīng)有多種產(chǎn)生BG 光束的實驗方法，如環(huán)縫-透鏡法、軸棱錐法、全息法、光柵陣列法等［6-9］。不同角量子數(shù)的BG 光束彼此正交，通過多路復(fù)用可以拓展光束傳輸信息的信道［10-11］。復(fù)合貝塞爾高斯（composite Bessel-Gaussian， cBG）光束是由多個不同角量子數(shù)的BG 子光束同軸相干復(fù)用而成。大量學(xué)者研究了單模BG 光束和cBG 光束在大氣中的傳輸特性［12-13］。單模BG 光束在大氣湍流中會發(fā)生軌道角動量譜展寬現(xiàn)象，主模式的能量權(quán)重降低，同時產(chǎn)生其他模式分量［14］。cBG 光束在增加信息傳輸通道的同時，還具有自重建特性，使得其受到激光大氣工程應(yīng)用的青睞［2］。當(dāng)cBG 光束只含有兩個BG 子束時，其平均光強分布具有對稱性，角頻率等于兩個BG 子束的角量子數(shù)之差［15］。此外，如果cBG 光束的各個子束具有不同的徑向波數(shù)，此時波包會隨傳輸距離變化而旋轉(zhuǎn)［16］。渦旋類光束在大氣傳輸傳輸過程中會發(fā)生串?dāng)_［17］。對于復(fù)合的渦旋類光束而言，除了各個初始模式自身的串?dāng)_外，初始模式彼此間還會相互串?dāng)_［18-19］。

在定向能和深空光通信等激光大氣工程應(yīng)用中往往需要高功率激光［20-22］。當(dāng)激光束的功率較高或者傳輸較遠(yuǎn)時，激光會與大氣相互作用產(chǎn)生一種非線性效應(yīng)，即熱暈效應(yīng)［23］。具體物理過程為：大氣中的分子和氣溶膠粒子會吸收激光而被加熱膨脹，導(dǎo)致局部折射率減小，進而使激光束發(fā)生畸變和擴展，嚴(yán)重地降低了光束質(zhì)量［24-26］?；诙鄬酉辔黄恋臄?shù)值計算方法是定量分析熱暈效應(yīng)的有效手段，該方法同時考慮了光束的衍射和熱暈效應(yīng)的時間尺度［27］。最新研究表明：熱暈效應(yīng)會使得渦旋光束發(fā)生嚴(yán)重畸變；通過對光束結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計能有效地減小熱暈效應(yīng)的影響［28-29］。我們同時考慮光場的衍射和時間尺度，分析了風(fēng)控?zé)釙炏嘛L(fēng)速、傳輸距離、初始角量子數(shù)差值、徑向波數(shù)差值等參數(shù)對cBG 光束大氣傳輸?shù)挠绊?。由于熱暈效?yīng)導(dǎo)致的光強和相位畸變，cBG 光束會發(fā)生模式串?dāng)_。提供了一種降低cBG 光束模式串?dāng)_的方法，即增大初始角量子數(shù)差值以及徑向波數(shù)差值。所得結(jié)論對定向能和深空光通信等激光大氣工程應(yīng)用有重要意義。

1 理論模型

復(fù)合貝塞爾高斯（cBG）光束是由多個不同角量子數(shù)的BG 子光束同軸相干復(fù)用形成的光束。源平面（z=0）處的cBG 光束在直角坐標(biāo)系下第m個BG 子束的光場定義為［15］

式中，φ=arctan(y x)，a為高斯輪廓的寬度，lm為初始角量子數(shù)。Jlm(·)是第一類貝塞爾函數(shù)，kr（m）是徑向波數(shù)。振幅因子A的表達式為

式中，P是總功率，I lm(·)是第一類修正貝塞爾函數(shù)。相干復(fù)用后，cBG 光束總的光場為

連續(xù)激光束在有橫向風(fēng)的大氣中傳輸時，可用式（3）描述光束在大氣中的衍射和熱暈特性［27］。

式（3）是標(biāo)量波方程，用以描述光束在具有非均勻折射率的吸收介質(zhì)中的傳播，?⊥2=?2/?x2+?2/?y2，n0和n是未擾動和擾動后的折射率，k=2π/λ是波數(shù)，λ是波長；式（4）是流體力學(xué)方程，用以描述介質(zhì)吸收激光能量時，其密度的變化規(guī)律以及能量傳輸過程，ρ、cs、γ、α分別是擾動后的密度、聲速、比熱容比、大氣吸收系數(shù)，總光強I定義為exp(-αz)；式（5）描述了等壓近似下折射率與密度的關(guān)系，其中κ為Gladstone Dale 常數(shù)。

為了得到精確的仿真結(jié)果，必須考慮光場的衍射和熱暈效應(yīng)的時間尺度。因此，對標(biāo)量波方程式（3）采用多層相屏法處理，相位屏之間的衍射通過快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform， FFT）處理。設(shè)Enm為z=zn處的解，則zn+1=zn+Δz處的解可寫作

可以看出，光束從zn到zn+1的傳輸可以分為三個步驟：首先，各個子光場通過快速傅里葉變換實現(xiàn)Δz/2的真空傳輸；然后，計算出總光強導(dǎo)致的折射率波動以及相位變化；最后，各個子光場再次通過快速傅里葉變換實現(xiàn)Δz/2 的真空傳輸。

假設(shè)風(fēng)速vx沿x軸正方向，對流體力學(xué)方程式（4）使用差分法進行處理，得到

將式（7）和式（5）結(jié)合，可以得到擾動后的折射率。最終，將光束的大氣傳輸轉(zhuǎn)換為光束通過多層相位屏的傳輸，而大氣熱暈效應(yīng)對激光的擾動由相位屏來體現(xiàn)。基于以上方法，編制了cBG 光束大氣傳輸?shù)? 維模擬仿真程序。值得注意的是，為了計算cBG 光束中每個子束的軌道角動量譜，方程數(shù)值求解過程中需要考慮每個子束光場的詳細(xì)信息，而不能只考慮總光場。因此，本文采用的方法是：相位屏之間的真空傳輸階。由于熱暈是非線性效應(yīng)，就整個傳輸過程而言，各個子光束并非獨立傳輸，而是相互作用的。

本文考慮具有兩個BG 子束（m=1，2）的cBG 光束，無特殊說明情況下計算參數(shù)為：λ=1.064 μm，a=0.05 m，P=1 kW，γ=1.4，n0=1.000 313。波長為λ=1.064 μm 的激光主要受氣溶膠粒子的吸收影響，本文設(shè)置其大氣吸收系數(shù)為α=6.5×10-5m-1［32-33］。除了圖5（b），其它數(shù)值仿真結(jié)果都是光束到達穩(wěn)態(tài)熱暈時得到的。本文選取了200 個相位屏，相位屏之間的間隔為30 m，網(wǎng)格的計算精度為512×512。段保留各個子光束的光場；當(dāng)光強作用于相位屏?xí)r，采用總光強

2 cBG 光束的模式串?dāng)_

本節(jié)研究了熱暈效應(yīng)對cBG 光束大氣傳輸?shù)挠绊?，考慮兩個BG 子束——l1子束和l2子束具有相同的徑向波數(shù)，kr（1）=kr（2）=150 m-1。cBG 光束的光強分布如圖1 所示，z=6 km。在自由空間中，和單束的BG 光束具有圓對稱的光強分布不同，cBG 光束的光強分布具有分瓣的結(jié)構(gòu)，并且光斑的瓣數(shù)等于兩個子束的角量子數(shù)之差（見圖1 第1 列）。在橫向風(fēng)主導(dǎo)的熱暈下，cBG 光束會發(fā)生光強畸變，并往來風(fēng)方向偏移（見圖1 第2、3 列）。介質(zhì)的流速決定其能量輸運的快慢，這使得風(fēng)速較小時，傳輸過程中介質(zhì)吸收激光的熱量輸運緩慢，熱效應(yīng)明顯，光束受熱暈效應(yīng)影響較強。因此vx=2 m/s 時的光強畸變大于vx=5 m/s 時的光強畸變（見圖1 第2、3 列）。

圖1 cBG 光束的光強分布Fig.1 Intensity distributions of the cBG beams

圖2 為cBG 光束的相位分布圖，z=6 km。不難發(fā)現(xiàn)，與自由空間相比，大氣中光束的相位發(fā)生了畸變。此外，cBG 光束具有相位奇點，滿足完全相干光的相位奇點方程［30］為總光場，Re [·]為光場的實部，Im [·]為光場的虛部，即光場實部和虛部均為零的位置定義為奇點。利用式（8），找到了光束的相位奇點（不考慮遠(yuǎn)離光斑位置的相位奇點），在圖2 中用紅點標(biāo)注。在自由空間中，單束的BG 光束的相位奇點位于光束中心，而cBG 光束有多個相位奇點，并且呈中心對稱分

圖2 cBG 光束的相位分布Fig.2 Phase distributions of the cBG beams

式中布（見圖2 第1 列）。在大氣中，由于熱暈效應(yīng)會導(dǎo)致介質(zhì)的橫截面上折射率分布不再具有圓對稱性，使得cBG 光束的相位奇點位置不再呈中心對稱分布，并且有向右（順風(fēng)方向）移動的趨勢（見圖2 第2、3 列）。

由于熱暈效應(yīng)，cBG 光束的光強和相位都發(fā)生了畸變，這將使得軌道角動量譜發(fā)生展寬現(xiàn)象。為了分析cBG 光束在熱暈效應(yīng)下的軌道角動量譜展寬，將cBG 光束的兩個子束按螺旋諧波展開為［14］

式中，l為不同模式的角量子數(shù)，Ul(r，z)采用積分方法表示為

角量子數(shù)為l的模式的能量el表述為

cBG 光束在大氣中傳輸?shù)能壍澜莿恿孔V如圖3 所示，z=6 km。從圖3（a）可以看到，在自由空間中，cBG光束只存在初始的兩個模式。從圖3（b）（c）可以看出：由于熱暈效應(yīng)，cBG 光束在大氣中會發(fā)生軌道角動量譜展寬，其初始模式的能量權(quán)重降低了，軌道角動量分散在了其它模式上，即發(fā)生了初始模式自身的串?dāng)_。除此之外，由于cBG 光束具有多個初始模式，初始模式彼此間還會相互串?dāng)_。光束在接收處的解復(fù)用過程中，可以引入與初始模式相反的渦旋相位，再利用小孔光闌濾掉除初始模式外的其它模式，但最終仍存在初始模式間的相互干擾［31］。基于此，本文所指的模式串?dāng)_為初始模式間的相互串?dāng)_。如圖3（c）中，兩個初始模式（-1，1）之間的能量會相互轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生模式串?dāng)_。對于-1 模式而言，其自身能量占84%，串?dāng)_能量占16%。1 模式的自身能量占84%，串?dāng)_能量占16%，可見-1 模式和1 模式的軌道角動量譜分布具有對稱性。對比圖3（c）和圖3（d）可知：當(dāng)初始角量子數(shù)差值較小時（見圖3（c）），cBG 光束兩個初始模式間相互轉(zhuǎn)移的能量較多，模式串?dāng)_明顯；當(dāng)初始角量子數(shù)差值較大時（見圖3（d）），cBG 光束初始模式間相互轉(zhuǎn)移的能量很少，模式串?dāng)_程度非常小。對比圖3（b）和圖3（c），發(fā)現(xiàn)：vx=5 m/s 時的模式串?dāng)_程度要小于vx=2 m/s 時的模式串?dāng)_程度。這是由于在風(fēng)速較大的情況下，傳輸過程中的熱效應(yīng)較弱，光束受熱暈影響導(dǎo)致的模式串?dāng)_也就較小。我們還考慮了兩個子束非相干復(fù)用的情況（圖3（e）和圖3（f）），此時模擬過程中的總光強為exp(-αz)。圖3（e）中，1 模式的自身能量占89%，串?dāng)_能量占11%；-1 模式的自身能量占89%，串?dāng)_能量占11%。當(dāng)初始角量子數(shù)差值較大時（見圖3（f）），非相干子束間的模式串?dāng)_程度非常小。對比圖3（c）和圖3（e），發(fā)現(xiàn)非相干復(fù)用的模式串?dāng)_程度比相干復(fù)用的小。其原因是非相干合束比相干合束受熱暈效應(yīng)更?。?4］。此外，與湍流作用下的軌道角動量譜［14］不同的是，光束在風(fēng)控?zé)釙炏碌能壍澜莿恿孔V不再是關(guān)于初始模式的對稱分布。

圖3 軌道角動量譜Fig.3 Orbital angular momentum spectrum

為了更好地分析cBG 光束的模式串?dāng)_，采用相對串?dāng)_能量clm來描述串?dāng)_的強弱［35］

clm越大，串?dāng)_能量所占的比重越大，光束的模式串?dāng)_越強。圖4 為大氣中l(wèi)1子束的相對串?dāng)_能量cl1隨l2子束的初始角量子數(shù)的變化，l1=-1。由圖4 可知：當(dāng)l2=-2 和l2=0 的時候，即初始角量子數(shù)差值|l2-l1|最小時，cl1最大，此時的模式串?dāng)_最強；隨著|l2-l1|的增大，cl1減小，模式串?dāng)_減弱。因此，增大初始角量子數(shù)差值可以降低初始模式間的串?dāng)_。

圖4 大氣中相對串?dāng)_能量cl1 隨初始角量子數(shù)l2的變化，vx=2m/sFig.4 The relative crosstalk energy cl1 in the atmosphere varies with the initial angular quantum number l2， vx=2m/s

圖5 給出了大氣中cBG 光束相對串?dāng)_能量clm隨傳輸距離z和時間t的變化。從圖5（a）不難看出，隨傳輸距離的增加，clm不斷增大，模式串?dāng)_增強。這是由于光束傳輸?shù)脑竭h(yuǎn)，熱暈效應(yīng)導(dǎo)致的光束畸變越大，光束的模式串?dāng)_也越強。圖5（b）中，隨著時間的增加，clm逐漸增大，并且最終趨近于一個穩(wěn)定值。這是因為，隨著大氣中的分子和氣溶膠粒子吸收激光的時間的增加，光束逐漸發(fā)生畸變，使得clm變大。直到介質(zhì)對激光能量的吸收與橫向風(fēng)導(dǎo)致的能量傳輸達到平衡時，熱暈效應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)，clm不再隨時間變化。

圖5 大氣中相對串?dāng)_能量clm，vx=2m/sFig.5 The relative crosstalk energy clm， vx=2m/s

3 旋轉(zhuǎn)cBG 光束的模式串?dāng)_

通常cBG 光束是由相同徑向波數(shù)的BG 子束復(fù)用而成，正如第2 節(jié)所討論的情況。旋轉(zhuǎn)cBG 光束是由兩束具有不同徑向波數(shù)和角量子數(shù)的BG 子光束同軸相干復(fù)用形成的光束，該光束的波包會隨傳輸距離變化而旋轉(zhuǎn)（如圖6 所示），其旋轉(zhuǎn)周期與徑向波數(shù)的差值呈反比［16］。本節(jié)研究了熱暈效應(yīng)對旋轉(zhuǎn)cBG 光束的影響，l1=-1，l2=-2。

圖6 自由空間中旋轉(zhuǎn)cBG 光束的光強分布，kr（1）=150 m-1，kr（2）=200 m-1Fig.6 Intensity distributions of the rotating cBG beam in free space， kr（1）=150 m-1， kr（2）=200 m-1

大氣中旋轉(zhuǎn)cBG 光束和非旋轉(zhuǎn)cBG 光束不同位置處的光強分布如圖7 所示，vx=2 m/s。不難看出，旋轉(zhuǎn)cBG 光束的光強分布比非旋轉(zhuǎn)cBG 光束更均勻。其物理原因是：在風(fēng)控?zé)釙炐?yīng)下，橫向風(fēng)會抑制光束在風(fēng)方向的光斑擴展，而垂直于風(fēng)方向光斑擴展明顯。對于旋轉(zhuǎn)cBG 光束而言，光束的旋轉(zhuǎn)特性使其在隨傳輸距離變化的過程中，四周都能得到均勻的擴展，因此光斑會比非旋轉(zhuǎn)cBG 光束更均勻。

圖7 大氣中的光強分布Fig.7 Intensity distributions in the atmosphere

圖8 為旋轉(zhuǎn)cBG 光束和非旋轉(zhuǎn)cBG 光束在大氣中的軌道角動量譜，z=6 km。由圖8 可知：在熱暈效應(yīng)下，非旋轉(zhuǎn)cBG 光束和旋轉(zhuǎn)cBG 光束都有明顯的軌道角動量譜展寬；對于非旋轉(zhuǎn)cBG 光束，-1 模式的串?dāng)_能量占52%，-2 模式的串?dāng)_能量占64%，存在較強的模式串?dāng)_；對于旋轉(zhuǎn)cBG 光束，-1 模式的串?dāng)_能量占33%，-2 模式的串?dāng)_能量占32%，光束的模式串?dāng)_得到了一定的改善。原因是旋轉(zhuǎn)cBG 光束在傳輸路徑上光強分布更均勻，使得介質(zhì)橫截面上因吸收光束能量導(dǎo)致的折射率梯度更小，光束的畸變也就更小。

圖8 大氣中的軌道角動量譜Fig.8 Orbital angular momentum spectrum in the atmosphere

大氣中旋轉(zhuǎn)cBG 光束的l1子束的相對串?dāng)_能量cl1隨傳輸距離z的變化如圖9 所示?？梢钥闯觯切D(zhuǎn)cBG 光束（對應(yīng)圖9 中kr（1）=kr（2）=150 m-1的情況）的cl1最大，模式串?dāng)_最強。也就是說，旋轉(zhuǎn)cBG 光束在熱暈效應(yīng)下的模式串?dāng)_比非旋轉(zhuǎn)cBG 光束小。此外，徑向波數(shù)差值|kr(2)-kr(1)|越大，cl1越小，光束的模式串?dāng)_越弱。因此，增大徑向波數(shù)差值可以降低模式串?dāng)_。此外，對比kr（2）=200 m-1以及kr（2）=100 m-1（或kr（2）=250 m-1以及kr（2）=50 m-1），盡管徑向波數(shù)差值|kr(2)-kr(1)|相同，模式串?dāng)_減弱的程度卻不相同。原因是：徑向波數(shù)的增加會使得振幅因子A增加，峰值光強變大；這將進一步使得熱暈效應(yīng)增強，造成更強的模式串?dāng)_。

圖9 大氣中旋轉(zhuǎn)cBG 光束的相對串?dāng)_能量cl1 隨傳輸距離z 的變化，kr（1）=150 m-1Fig.9 The relative crosstalk energy cl1 of the rotating cBG beams in the atmosphere varies with the propagation distance z， kr（1）=150 m-1

4 結(jié)論

本文同時考慮了光場的衍射和熱暈效應(yīng)的時間尺度，采用多層相屏法和快速傅里葉法數(shù)值變換求解熱暈方程。對cBG 光束在風(fēng)控?zé)釙炏碌能壍澜莿恿孔V進行分析，發(fā)現(xiàn)光束初始模式之間的能量會相互轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生模式串?dāng)_。隨著傳輸距離的增大或者風(fēng)速的減小，cBG 光束的模式串?dāng)_增強。初始角量子數(shù)差值較大的cBG 光束，其相對串?dāng)_能量較小，受熱暈效應(yīng)影響導(dǎo)致的模式串?dāng)_較弱。此外，cBG 光束的相對串?dāng)_能量隨時間逐漸增大；直到介質(zhì)對激光能量的吸收與橫向風(fēng)導(dǎo)致的能量傳輸達到平衡時，熱暈效應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)，相對串?dāng)_能量不再隨時間變化。還研究了風(fēng)控?zé)釙炐?yīng)對旋轉(zhuǎn)cBG 光束的影響。旋轉(zhuǎn)cBG 光束比非旋轉(zhuǎn)cBG 光束光強分布更均勻，模式串?dāng)_更小。并且，旋轉(zhuǎn)cBG 光束的模式串?dāng)_程度隨著徑向波數(shù)差值的增大而減弱。本文所得結(jié)論對BG 光束在定向能和空間光通信等激光大氣工程方面的應(yīng)用有重要意義。還需指出的是，激光大氣傳輸是一個非常復(fù)雜的問題，為了更方便的分析熱暈效應(yīng)對cBG 光束模式串?dāng)_的影響，我們暫時沒有考慮大氣的湍流效應(yīng)。這意味著本文的研究結(jié)果更為接近于湍流效應(yīng)較弱的情況。熱暈和湍流的綜合效應(yīng)對cBG 光束模式串?dāng)_的影響是值得進一步研究的課題，我們將在后續(xù)的研究中深入探討。