萬(wàn)有引力習(xí)題解析

【摘 要】高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，解題訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是優(yōu)化學(xué)生思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段。如何在教學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生形成一種解題策略是每一位高中數(shù)學(xué)教師需要關(guān)注的課題。本文對(duì)此進(jìn)行了探討。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 解題 圓周運(yùn)動(dòng)

高中數(shù)學(xué)考查學(xué)生的能力最重要的便是解題能力，這決定了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題思想的傳授，優(yōu)化學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)能力。下面本文以一個(gè)教學(xué)案例來(lái)探析高中數(shù)學(xué)解題方法。

兩個(gè)質(zhì)量均為m的星體A和B，其連線的垂直平分線為MN，O為兩星體連線的中點(diǎn)，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為mˊ的物體從O沿OM方向運(yùn)動(dòng)，則它受到的萬(wàn)有引力大小變化情況是（）

A一直增大 B一直減小

C先減小，后增大 D先增大，后減小

解：一、定性分析：

（1）當(dāng)mˊ在O點(diǎn)時(shí)：

A星體和B星體分別對(duì)mˊ的萬(wàn)有引力有大小相等、方向相反、在同一條直線上等關(guān)系，根據(jù)平衡力關(guān)系得：

mˊ受到的合力為零。

（2）當(dāng)mˊ沿著OM方向運(yùn)動(dòng)時(shí)：

星體A和星體B對(duì)mˊ的引力大小雖然相等，但方向不在同一直先上，它們的合成在AB方向上為零，MN方向上不為零，即mˊ受到的萬(wàn)有引力的大小大于零。

（3）當(dāng)mˊ沿著OM方向運(yùn)動(dòng)的距離遠(yuǎn)大于AB 間的距離時(shí)：

對(duì)mˊ的引力可以認(rèn)為是一個(gè)質(zhì)量為2m的星體對(duì)mˊ的吸引。根據(jù)萬(wàn)有引力定律：F=GMm/r2得：

隨著r的增大，mˊ受到的引力變小，一直趨向于零。

總體分析可得，mˊ受到的萬(wàn)有引力F隨著r的增大，先增大，后減小，故選D項(xiàng)。

二、定量分析：

解法一：

解：設(shè)AB間的距離為2d。

當(dāng)mˊ和B的連線與MN方向成θ角時(shí)：0°<θ≤Π/2

mˊ所受的合力F=2Gmmˊcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmˊsin2θcosθ/d2

因?yàn)閥=sin2θcosθ=（1-cos2θ）cosθ=cosθ-cos3θ，

假設(shè)cosθ=t，

y=t-t3

因?yàn)閥ˊ= -3（t2-），

當(dāng)t2=時(shí)，yˊ=0，即y取最大值y=

所以當(dāng)cosθ=時(shí)，F(xiàn)取最大值

F=4Gm mˊ/9d2

解法二：

解：設(shè)AB間的距離為2d。

當(dāng)mˊ和B的連線與MN方向成θ角時(shí)：0°<θ≤Π/2

mˊ所受的合力F=2Gmmˊcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmˊsin2θcosθ/d2

因?yàn)? Gmmˊ/ d2為常數(shù)，所以F的變化與sin2θcosθ的變化成正比。

當(dāng)（sin2θcosθ）ˊ= 0時(shí)，sin2θcosθ有極大值或極小值。

∵（sin2θcosθ）ˊ= 0

∴ sinθ（2 cos2θ–sin2θ）= 0

又∵ sinθ0

∴ 2 cos2θ–sin2θ= 0

∴ tanθ = 即：θ= arctan

當(dāng)arctan<θΠ/2時(shí)：

（sin2θcosθ）ˊ> 0 即：sin2θcosθ為增函數(shù)。

當(dāng)arctan>θ時(shí)：

（sin2θcosθ）ˊ< 0 即：sin2θcosθ為減函數(shù)。

∴ θ由Π/2到0°的過(guò)程中，F(xiàn)先增大，后減小

并且當(dāng)θ= arctan時(shí)，F(xiàn)有最大值為4Gm mˊ/9d2。