一種優(yōu)化組合的GM(1,N)模型

蘇海軍，邵 藝

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

一種優(yōu)化組合的GM(1,N)模型

蘇海軍，邵 藝

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

針對GM(1,N)模型在模擬與預(yù)測方面的不足，提出了GM(1,N)模型的一種優(yōu)化組合方式.第一步是在原GM(1,N)模型灰微分方程上添加一個擾動因素，然后利用優(yōu)化的背景值確定相應(yīng)的新參數(shù)；第二步利用“最小二乘法”得到模型白化方程近似解中新的初始條件，進而得到一種新的GM(1,N)模型的模擬表達式.實例驗證表明，新GM(1,N)模型的適用范圍明顯拓寬，而且模擬和預(yù)測精度均大大提高.

GM(1,N)；優(yōu)化；預(yù)測

0 引言

由鄧聚龍教授提出的GM(1,N)模型是灰色系統(tǒng)理論中的重要內(nèi)容.[1]GM(1,N)模型的建模思路主要分為三步：第一步是確定GM(1,N)灰微分方程的相關(guān)參數(shù)，第二步是將第一步算出的參數(shù)代入白化方程得到GM(1,N)模型的模擬表達式(近似時間響應(yīng)式)，第三步則是利用累減還原得到序列的模擬值.[2]但在實際建模過程中，往往存在擾動因素，所以本文首先給原灰微分方程添加一個擾動因素項.另外，建模第一步計算出的參數(shù)的合理性與背景值選取有直接關(guān)系，但現(xiàn)有GM(1,N)模型背景值均采用緊鄰均值，不能客觀反映系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列的發(fā)展態(tài)勢.[3]同時，在第二步的模擬表達式中，選取序列第一個值作為初始條件也缺乏依據(jù).[4]針對上述不足，本文將優(yōu)化的背景值和利用最小二乘法得到的初始條件同時作用于GM(1,N)模型，得到優(yōu)化的模擬表達式.經(jīng)過對數(shù)據(jù)的模擬和預(yù)測發(fā)現(xiàn)，本文優(yōu)化組合的GM(1，N)模型明顯優(yōu)于原模型.

1 基本概念

定義1xj(0)(k)+ajzj(1)(k)=bj1x1(1)(k)+…+bj,j-1xj-1(1)(k)+bj,j+1(1)(k)+…+bjNxN(1)(k)稱為GM(1,N)模型，

定理1 設(shè)Xj(0)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，Xi(0)(i=1,…,j-1,j+1,…,N)為相關(guān)因素數(shù)據(jù)序列，Xi(1)為諸Xi(0)的1-AGO序列，Zj(1)為Xj(1)的緊鄰均值生成序列，

定理2 設(shè)Xj(0)，Xj(1)(j=1,2,…,N),Zj(1)(j=1,…,N)如定理1所述，則GM(1,N)模型的近似時間響應(yīng)式(模擬表達式)為

2 優(yōu)化的GM(1,N)模型

證明:(Ⅰ)

由于zj(1)(k)=λjxj(1)(k-1)+(1-λj)xj(1)(k)，

xj(1)(k)=xj(1)(k-1)+xj(0)(k)，

于是有：

xj(0)(k)+aj[xj(1)(k-1)+(1-λj)xj(0)(k)]

即 [1+(1-λj)aj]xj(0)(k)=

所以

則有

(1)

于是有

(2)

聯(lián)立(1)，(2)得：

定理4xi(0)(k)+ajzj(1)(k)=bj1x1(1)(k)+

證明:令F(cj)=

再令F′(cj)=0，有

3 數(shù)據(jù)模擬與預(yù)測精度比較

取標準指數(shù)序列xi(0)(k+1)=e-ak(k=0,1,2,3,4),分別取-a=0.1，0.3，0.5.

(1)原始序列值：

x1(0)=(1，1.1052，1.2214，1.3499，1.4918),

x2(0)=(1，1.3499，1.8221，2.4596，3.3201),

x3(0)=(1，1.6487，2.7183，4.4817，7.3891).

(2)模擬與預(yù)測式：

模型Ⅰ(原GM(1,N)模型)：

模型Ⅱ(本文優(yōu)化組合的GM(1,N)模型)：

預(yù)測公式(預(yù)測公式見文獻[5])：

模型Ⅰ(原GM(1，N)模型)：

模型Ⅱ(本文優(yōu)化組合的GM(1，N)模型)：

(3)模擬與預(yù)測精度比較(結(jié)果見表1，表2)

表1 模擬精度比較

表2 預(yù)測精度比較

說明：由于表1中的模型Ⅰ無法合理地對變化較急劇的序列X3(0)進行模擬，導(dǎo)致整個系統(tǒng)無法正常預(yù)測，因此表2中沒有模型Ⅰ的預(yù)測值.

從本例的結(jié)果可以看出，當數(shù)據(jù)變化非常平緩時，原模型可以進行有效的模擬，但當數(shù)據(jù)變化較急劇時，原模型迅速失去其實用性，因此，當系統(tǒng)中一旦出現(xiàn)變化較急劇的數(shù)據(jù)序列，將嚴重影響整個系統(tǒng)的預(yù)測.而本文優(yōu)化組合后的模型Ⅱ能在系統(tǒng)出現(xiàn)變化較急劇的數(shù)據(jù)序列時對系統(tǒng)各數(shù)據(jù)序列進行有效的模擬和預(yù)測，并能夠保持較高的模擬和預(yù)測精度.

4 結(jié)束語

本文針對原GM(1，N)模型只能應(yīng)用于變化非常平緩的系統(tǒng)數(shù)據(jù)這一不足，首先在灰微分方程后添加擾動因素項，然后，進一步將優(yōu)化的背景值和初始條件應(yīng)用于GM(1，N)模型，通過實例驗證發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過優(yōu)化組合的GM(1，N)模型能夠保持較高的模擬和預(yù)測精度，因此具有重要的應(yīng)用價值.

[1] 鄧聚龍.灰預(yù)測與灰決策[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002:48-51.

[2] 劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004:186.

[3] 穆 勇，李 放.灰色優(yōu)化模型[J].濟南大學(xué)學(xué)報，2001(4)：341-343.

[4] 王義鬧，李應(yīng)川.一種逐步優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)背景值的建模方法[J].系統(tǒng)工程與電子技，2001(7)：76-78.

[5] SHAO Yi,WEI Yong.TheOptimizationofGM(1,N)ModelAndNewMethodofForecasting[J].Journal of Grey System,2009(4):89-94.

[責(zé)任編輯鄧杰]

OnApproximatingGreyModelGM(1,N)

SU Hai-jun,SHAO Yi

(Mathematics and Information College of China West Normal University, Nanchong Sichuan 637009, China)

In order to make up the defect of GM(1, N), optimizing GM(1, N) model by three steps. The first step is adding disturbance to grey differential equation, using a kind of optimized background value to get new parameters, the second step is using “l(fā)east squares method” to get the initial value of the solution of white differential equation. Through accumulating example, we can see that the optimized GM(1, N) model has higher simulation and forecasting precision obviously.

GM(1, N);optimization;prediction

2013-02-18

四川省教育廳科研項目“灰色系統(tǒng)模型的優(yōu)化及數(shù)據(jù)預(yù)處理應(yīng)用研究”(13ZB0013)

蘇海軍(1980—)，男，四川廣安人.講師，碩士，主要從事灰色系統(tǒng)理論研究.

O141.4

A

1674-5248(2013)05-0007-04