統(tǒng)計(jì)思想

我們的生活、工作離不開(kāi)數(shù)據(jù)，要做到心中有數(shù)、用數(shù)據(jù)說(shuō)話是信息社會(huì)對(duì)人的基本要求. 我們要掌握如何收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，找出數(shù)據(jù)間的相互關(guān)系，并能在此基礎(chǔ)上作出推斷，就需要理解統(tǒng)計(jì)思想方法并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.

例1 （2012·衢州）下列調(diào)查方式，你認(rèn)為最合適的是（ ）.

A. 日光燈管廠要檢測(cè)一批燈管的使用壽命，采用普查方式

B. 了解衢州市每天的流動(dòng)人口數(shù)，采用抽樣調(diào)查方式

C. 了解衢州市居民日平均用水量，采用普查方式

D. 旅客上飛機(jī)前的安檢，采用抽樣調(diào)查方式

【分析】選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考察的對(duì)象的特征靈活選用. 普查是為了某種特定的目的而專(zhuān)門(mén)組織的一次性的全面調(diào)查，其結(jié)果準(zhǔn)確，精確度高，但普查工作量大，具有破壞性，費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 抽樣調(diào)查是從總體中抽取部分個(gè)體，根據(jù)對(duì)這一部分個(gè)體的調(diào)查，估計(jì)被調(diào)查對(duì)象的整體情況，其精確度、難度相對(duì)較低，實(shí)驗(yàn)無(wú)破壞性，但調(diào)查結(jié)果為近似值.

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】在實(shí)際生活中，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查或者無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大時(shí)，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查. 對(duì)于精確度要求高、事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.

例2 某市有7500名學(xué)生參加考試，為了了解考試情況，從中抽取800名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下面的說(shuō)法中正確的是（ ）.

A. 7 500名學(xué)生是總體

B. 每個(gè)學(xué)生是個(gè)體

C. 800名學(xué)生是所抽取的一個(gè)樣本

D. 樣本容量是800

【分析】總體是考察對(duì)象的全體，個(gè)體是組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象，樣本是從總體中抽取的一部分個(gè)體，樣本容量是樣本中個(gè)體的數(shù)目. 考察對(duì)象是每個(gè)學(xué)生的考試成績(jī)，而非學(xué)生.

【答案】D.

【點(diǎn)評(píng)】在研究總體、樣本、個(gè)體時(shí)，必須關(guān)注“考察對(duì)象”的具體內(nèi)容.

例3 一組數(shù)據(jù)4，3，6，9，6，5的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）.

A. 5和5.5 B. 5.5和6

C. 5和6 D. 6和6

【分析】中位數(shù)和眾數(shù)都是為了描述一組數(shù)據(jù)的集中程度. 眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，應(yīng)是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，而不是相應(yīng)的次數(shù). 而中位數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排列，中間位置上的那個(gè)數(shù)據(jù). 如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)據(jù)就是其中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是其中位數(shù).

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】我們可以通過(guò)“數(shù)”的方式直接數(shù)出眾數(shù). 如果一組數(shù)據(jù)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)都是最多的，那么這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù). 我們應(yīng)清楚一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能只有一個(gè)，也可能是多個(gè). 在確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)，我們不妨分以下三步找出中位數(shù)：第一步，必須將這組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列；第二步，確定這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)；第三步，按方法分情況找出中位數(shù). 通過(guò)“一排二分三尋找”，可以“找”出中位數(shù).

例4 省射擊隊(duì)為從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全國(guó)比賽，對(duì)他們進(jìn)行了六次測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)）：

（1） 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出甲的平均成績(jī)是______環(huán)，乙的平均成績(jī)是______環(huán)；

（2） 分別計(jì)算甲、乙六次測(cè)試成績(jī)的方差；

（3） 根據(jù)（1）、（2）計(jì)算的結(jié)果，你認(rèn)為推薦誰(shuí)參加全國(guó)比賽更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù). 方差是“差的平方”，設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，x3…xn，是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差是：

s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2].

【解析】（1） 甲的平均成績(jī)?yōu)椋海?0+8+9+8+10+9）÷6=9（環(huán)），乙的平均成績(jī)?yōu)椋海?0+7+10+10+9+8）÷6=9（環(huán)）.

（2） 甲的方差為，乙的方差為.

（3） 由于甲、乙的平均數(shù)相等，說(shuō)明實(shí)力相當(dāng)，而甲的方差小，發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定，所以應(yīng)派甲參加全國(guó)比賽更合適.

【點(diǎn)評(píng)】平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征量，體現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)的平均水平. 方差是反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定.

例5 （2012·貴陽(yáng)）某城市對(duì)教師試卷講評(píng)課中學(xué)生參與的深度與廣度進(jìn)行評(píng)價(jià)，其評(píng)價(jià)項(xiàng)目為主動(dòng)質(zhì)疑、獨(dú)立思考、專(zhuān)注聽(tīng)講、講解題目四項(xiàng). 評(píng)價(jià)組隨機(jī)抽取了若干名初中學(xué)生的參與情況，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中所給信息解答下列問(wèn)題：

（1） 在這次評(píng)價(jià)中，一共抽查了______名學(xué)生；

（2） 請(qǐng)將條形圖補(bǔ)充完整；

（3） 如果全市有16萬(wàn)名初中學(xué)生，那么在試卷評(píng)講課中，“獨(dú)立思考”的學(xué)生約有多少萬(wàn)人？

【分析】（1） 圖1是扇形統(tǒng)計(jì)圖，從中能直接看出部分占總體的百分比的大小，如“專(zhuān)注聽(tīng)講”的學(xué)生占抽取的學(xué)生數(shù)的40%. 圖2是條形統(tǒng)計(jì)圖，它的特點(diǎn)是能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)據(jù). 仔細(xì)觀察本題中的兩圖，發(fā)現(xiàn)只有“專(zhuān)注聽(tīng)講”這個(gè)項(xiàng)目在兩圖中都有完整的信息描述，所以解題時(shí)要從“專(zhuān)注聽(tīng)講”這個(gè)項(xiàng)目切入. 觀察圖2可知“專(zhuān)注聽(tīng)講”的學(xué)生有224人，而由項(xiàng)目的具體數(shù)量除以其所占的百分比即可得到總體的數(shù)量.

（2） 講解題目的學(xué)生有560-84-168-224=84（人），由此即可將條形圖補(bǔ)充完整.

（3） 樣本中“獨(dú)立思考”的學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的30%，則總體中“獨(dú)立思考”的學(xué)生同樣占30%，即樣本與總體中每一個(gè)項(xiàng)目所占百分比是不變的.

【解析】（1） 224÷40%=560（人）；

（2） 560-84-168-224=84（人），補(bǔ)條形圖如圖3；

（3） 16×=4.8（萬(wàn)人），故“獨(dú)立思考”的學(xué)生約有4.8萬(wàn)人.

【點(diǎn)評(píng)】統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中常涉及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，本題屬于雙圖信息互補(bǔ)型問(wèn)題，兩張統(tǒng)計(jì)圖都是殘缺的，信息都不完整，但他們互相補(bǔ)充. 解答時(shí)要能從兩圖都有描述的對(duì)象入手，逐步把殘缺的信息“挖掘出來(lái)”. 同時(shí)，“用樣本估計(jì)總體”是重要的統(tǒng)計(jì)思想方法.

例6 （2012·深圳）為了解2013年全國(guó)中學(xué)生創(chuàng)新能力大賽中競(jìng)賽項(xiàng)目“知識(shí)產(chǎn)權(quán)”筆試情況，隨機(jī)調(diào)查了部分參賽同學(xué)的成績(jī)，整理并制作圖表如下. 請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：

（1） 本次調(diào)查的樣本容量為_(kāi)_____；

（2） 在表中，m=______，n=______；

（3） 補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（4） 如果比賽成績(jī)80分以上（含80分）為優(yōu)秀，那么你估計(jì)該競(jìng)賽項(xiàng)目的優(yōu)秀率大約是______.

【分析】（1） 通過(guò)分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)和頻率先求出樣本參賽同學(xué)的人數(shù). 頻率、頻數(shù)的關(guān)系為：頻率=頻數(shù)÷總數(shù)，可得總?cè)藬?shù).

（2） 所有的頻數(shù)和就是樣本容量，所有的頻率和等于1，可得出m、n的值.

（3） 依據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體，算出樣本中80分以上分?jǐn)?shù)的頻率和化為百分?jǐn)?shù)即可.

【解析】（1） 300；（2） 120；0.3；（3） 略；（4） 60%.

【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)問(wèn)題需要我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與分析，在讀頻數(shù)分布表和不完整的頻數(shù)分布直方圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、仔細(xì)分析、深入研究，掌握頻數(shù)、頻率與數(shù)據(jù)的總數(shù)之間的關(guān)系，作出正確的判斷，才能完成相應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題.

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活. 現(xiàn)實(shí)生活中需要采取適當(dāng)?shù)恼{(diào)查方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來(lái)估計(jì)總體，從而進(jìn)行合理的推斷和決策. 熟悉統(tǒng)計(jì)的思想方法，能幫助我們逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，形成科學(xué)的世界觀和方法論.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）