例析運(yùn)動(dòng)變化的思想在解題中的應(yīng)用

運(yùn)動(dòng)與變化是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想方法.在解數(shù)學(xué)問(wèn)題尤其是幾何圖形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要用這種運(yùn)動(dòng)變化的觀念來(lái)審視或分析問(wèn)題.用運(yùn)動(dòng)變化的思想解決問(wèn)題的基本思路是“以靜制動(dòng)”，將運(yùn)動(dòng)的元素看成靜止的元素，從特殊情形入手，過(guò)渡到一般情形.下面，我們以2013年的幾道中考試題為例加以探究.

例1 （2013·成都）點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC.

（1） 求證：AC=AD+CE；

（2） 若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q，①當(dāng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng).（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過(guò)程）

【解析】（1） 根據(jù)同角的余角相等求出∠DBA=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；

（2） ①P在動(dòng)，但∠DPQ=90°這個(gè)條件不變，利用這個(gè)條件想到過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BC于F，Q、F也都是動(dòng)點(diǎn)，但Rt△DAP∽R(shí)t△PFQ不變，且的值就是它們的相似比. 下面根據(jù)圖中△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF. 再根據(jù)△ADP和△FPQ相似可得=，即=，然后整理得到（AP-BF）·（5-AP）=0，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)不重合，則AP≠5，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，從而得解值為.

②判斷出DQ的中點(diǎn)的路徑為△BDQ的中位線MN（如圖3）. 因?yàn)榫€段DQ的中點(diǎn)隨著點(diǎn)P的變化而變化，我們把點(diǎn)P叫做“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q叫做“從動(dòng)點(diǎn)”，所以要考慮線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑，可以先考慮點(diǎn)P在幾個(gè)特殊位置時(shí)線段DQ的中點(diǎn)的位置，譬如點(diǎn)P的起始和終點(diǎn)位置，此時(shí)線段DQ的中點(diǎn)位置分別對(duì)應(yīng)的是圖中的點(diǎn)M和N，然后大膽猜想DQ的中點(diǎn)的軌跡為△BDQ的中位線MN. 要想驗(yàn)證的話，只要再任找一個(gè)點(diǎn)P，看看此時(shí)對(duì)應(yīng)的DQ的中點(diǎn)是否在線段MN上即可.下面先求出QF、BF的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出BQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度，即所求之路徑長(zhǎng)為.

例2 （2013·湖州）如圖4，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N. 若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是______.

【解析】本題中點(diǎn)B隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的位置決定著點(diǎn)B的位置. 考慮點(diǎn)P的兩個(gè)特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B位置.如圖5所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn，線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.下面來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）.

【點(diǎn)評(píng)】突破本題的關(guān)鍵在于通過(guò)探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)“瞬間”（動(dòng)中求靜），捕捉軌跡形成的“影子”（框架），進(jìn)而論證和求解.這種運(yùn)動(dòng)—靜止—運(yùn)動(dòng)的過(guò)程蘊(yùn)涵著辯證與智慧，是一種頗為有效的思想方法.

例3 （2013·湖北荊門）如圖7所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動(dòng)直線l垂直于BC，且向右平移，設(shè)掃過(guò)的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（ ）.

【解析】我們把直線l“動(dòng)”起來(lái)就可以發(fā)現(xiàn)掃過(guò)的陰影部分形狀有三種情況：①當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)BA段時(shí)，陰影部分的面積越來(lái)越大，并且增大的速度越來(lái)越快；②直線l經(jīng)過(guò)AD段時(shí)，陰影部分的面積越來(lái)越大，并且增大的速度保持不變；③直線l經(jīng)過(guò)DC段時(shí)，陰影部分的面積越來(lái)越大，并且增大的速度越來(lái)越小. 綜上所述，選C.

【點(diǎn)評(píng)】判斷函數(shù)大致圖像的試題，一般應(yīng)先確立函數(shù)關(guān)系解析式，再根據(jù)函數(shù)圖像及性質(zhì)做出合理的判斷. 分段函數(shù)的圖像問(wèn)題一般遵循以下步驟：①根據(jù)自變量的取值范圍對(duì)函數(shù)進(jìn)行分段；②求出每段的解析式；③由每段的解析式確定每段圖像的形狀.解題時(shí)要注意臨界位置，要勤于動(dòng)手，分別畫出不同情況下的圖形，不要就圖論圖，題中所畫的圖形還會(huì)變化.同學(xué)們應(yīng)在變中求不變，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng).

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）