例談建模思想

日常生活是應(yīng)用問(wèn)題的源泉，現(xiàn)實(shí)生活中的家庭日用電量的計(jì)算、紅綠燈管制的設(shè)計(jì)、住房問(wèn)題、投擲問(wèn)題等，都可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)建模）加以解決. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)、式子與圖像）模擬現(xiàn)實(shí)的模型. 建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 下面我們通過(guò)一些例題來(lái)展示初中學(xué)習(xí)中幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型.

一、 建立方程（組）模型

方程（組）是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)模型，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：針對(duì)給出的實(shí)際問(wèn)題，設(shè)定合適的未知數(shù)，找出相等關(guān)系，但要注意驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際問(wèn)題的意義.

例1 （2013·汕頭）雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng). 第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.

（1） 如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；

（2） 按照（1）中收到捐款的增長(zhǎng)率，第四天該單位能收到多少捐款？

解：（1） 設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得：10 000×（1+x）2=12 100.

解得x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去）.

答：捐款增長(zhǎng)率為10%.

（2） 12 100×（1+10%）=13 310（元）.

答：第四天該單位能收到13 310元捐款.

【點(diǎn)評(píng)】 注意本題中增長(zhǎng)率不能為負(fù)數(shù).

二、 建立不等式（組）模型

在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到一些不等關(guān)系，解決這類問(wèn)題首先要理解題意，理清各個(gè)量之間的關(guān)系，然后根據(jù)題目的要求，選擇合適的不等式（組）模型解決問(wèn)題. 在構(gòu)建不等式（組）時(shí)，要注意至多（少）、不大（?。┯诘缺硎静坏汝P(guān)系的詞語(yǔ)，明確誰(shuí)比誰(shuí)大（小），同時(shí)考慮某些隱含條件及實(shí)際意義.

例2 （2013·南京）某商場(chǎng)促銷方案規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售，同時(shí)，當(dāng)顧客在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額.

注：300-400表示消費(fèi)金額大于300元且小于或等于400元，其他類同.

根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：若購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400×（1-80%）+30=110（元）.

（1） 購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1 000元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？

（2） 如果顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)不超過(guò)800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標(biāo)價(jià)至少為多少元？

解：（1） 標(biāo)價(jià)為1 000元的商品按80%的價(jià)格出售，消費(fèi)金額為800元，返還金額為150元，顧客獲得的優(yōu)惠額是：1 000×（1-80%）+150=350（元）.

（2） 設(shè)該商品的標(biāo)價(jià)為x元.

當(dāng)80%x≤500，即x≤625時(shí)，顧客獲得的優(yōu)惠額不超過(guò)625×（1-80%）+60=185<226；

當(dāng)500<80%x≤600，即625

所以630≤x≤750.

當(dāng)600<80%x≤800×80%，即750226.

綜上所述，顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)不超過(guò)800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標(biāo)價(jià)至少為630元.

【點(diǎn)評(píng)】本題要注意消費(fèi)金額為標(biāo)價(jià)的80%，且對(duì)于第（2）小題，需要先求出表中每檔返還金額顧客獲得的最大（?。﹥?yōu)惠額，找出優(yōu)惠不少于226元的范圍，再列不等式求解.

三、 建立函數(shù)模型

新課標(biāo)提出，同學(xué)們能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系變化，結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對(duì)變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測(cè)，能用一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 在學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，同學(xué)們的頭腦中已經(jīng)有了這些函數(shù)的模型. 因此，一些實(shí)際問(wèn)題就可以通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決.

例3 （2013·武漢）科幻小說(shuō)《實(shí)驗(yàn)室的故事》中，有這樣一個(gè)情節(jié)：科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，一天后，測(cè)試出這種植物高度的增長(zhǎng)情況：

由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測(cè)出植物每天高度增長(zhǎng)量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.

（1） 請(qǐng)你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡(jiǎn)要說(shuō)明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；

（2） 溫度為多少時(shí)，這種植物每天高度增長(zhǎng)量最大？

（3） 如果實(shí)驗(yàn)室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250 mm，那么實(shí)驗(yàn)室的溫度x應(yīng)該控制在哪個(gè)范圍內(nèi)？請(qǐng)直接寫出結(jié)果.

∴在10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250 mm，實(shí)驗(yàn)室的平均溫度應(yīng)保持在-6℃（不包括）至4℃（不包括）之間.

【點(diǎn)評(píng)】本題要求對(duì)每種函數(shù)的模型及特征都很了解，如一次函數(shù)圖像是直線，反比例函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)等；二次函數(shù)求變量范圍的問(wèn)題一般都可以結(jié)合圖像解決.

四、 建立幾何模型

在解決一些代數(shù)問(wèn)題時(shí)，常從數(shù)式所涉及的幾何意義出發(fā)，構(gòu)造相應(yīng)的幾何模型，用幾何圖形直觀地展示已知條件和未知條件之間的數(shù)量關(guān)系，然后借助圖形的直觀形象解決問(wèn)題.

例4 （2013·昭通）已知圖中每一個(gè)小方格的面積為1，則可根據(jù)面積計(jì)算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n-1）=_______.（用n表示，n是正整數(shù)）

解：利用每個(gè)小方格的面積為1，可以得出：

1+3=4=22，

1+3+5=9=32，

1+3+5+7=16=42，…

1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

【點(diǎn)評(píng)】結(jié)合所給的等式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)圖形其實(shí)就是一層層動(dòng)態(tài)疊加生成的，計(jì)算結(jié)果即為最大正方形的面積.

五、 建立統(tǒng)計(jì)模型

統(tǒng)計(jì)與概率是數(shù)學(xué)在生活、生產(chǎn)中應(yīng)用的重要方面，在教學(xué)中應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活的聯(lián)系.

例5 （2013·常州）一只不透明的箱子里共有3個(gè)球，其中2個(gè)白球，1個(gè)紅球，它們除顏色外均相同.

（1） 從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率是多少？

（2） 從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個(gè)球，求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

解：（1） ∵共有3個(gè)球，2個(gè)白球，∴隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率為；

（2） 根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

一共有6種等可能的情況，兩次摸出的球都是白球的情況有2種，所以，P（兩次摸出的球都是白球）==.

【點(diǎn)評(píng)】一般地，對(duì)于兩次摸球的事件概率我們都可以通過(guò)畫樹狀圖或列表來(lái)呈現(xiàn)所有等可能結(jié)果，但三次或三次以上的摸球?qū)嶒?yàn)，就只能畫樹狀圖了.

我們平時(shí)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)都可以與數(shù)學(xué)建模思想建立聯(lián)系，只要同學(xué)們能做一位有心人，培養(yǎng)建模的意識(shí)，就能從自身的生活背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，使自己的建模能力逐漸提高，真正將數(shù)學(xué)應(yīng)用到生活中去！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）