化歸思想的應用

化歸思想也稱轉化思想，在中學數(shù)學里，化歸思想的應用無處不在，當感到思維受阻時，可以換一個角度去思考. 運用轉化思想解題，可以提高同學們的數(shù)學思維水平和解題能力. 現(xiàn)以2013年中考試題為例加以說明.

一、 化未知為已知

例1 （2013·臨沂）對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a﹡b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a

例如4*2，因為4>2，所以4*2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，則x1*x2=______.

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x=3或2.

①當x1=3，x2=2時，x1*x2=32-3×2=3；

②當x1=2，x2=3時，x1*x2=3×2-32=-3.

故答案為：3或-3.

【點評】解決新定義類問題，首先應準確理解新定義概念，深刻揭示新定義的內涵和本質，并從中獲取新的數(shù)學公式、定理、性質、運算法則或解題思路，進而用類比的方法將他們轉化為熟悉的知識解決. 這種思想體現(xiàn)了化未知為已知的解題策略.

二、 化數(shù)為形

例2 （2013·揚州）方程x2+3x-1=0的根可視為函數(shù)y=x+3的圖像與函數(shù)y= 的圖像交點的橫坐標，則方程x3+2x-1=0的實根x0所在的范圍是（ ）.

A. 0

C.

【解析】依題意得方程x3+2x-1=0的實根是函數(shù)y=x2+2與y=的圖像交點的橫坐標，這兩個函數(shù)的圖像如圖1所示，它們的交點在第一象限.

當x=時，y=x2+2=2，y==4，此時拋物線的圖像在反比例函數(shù)下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==3，此時拋物線的圖像在反比例函數(shù)下方；

當x=時，y=x2+2=2，y==2，此時拋物線的圖像在反比例函數(shù)上方；

當x=1時，y=x2+2=3，y==1，此時拋物線的圖像在反比例函數(shù)上方.

故方程x3+x-1=0的實根x0所在范圍為：

【點評】本題是把求一元二次方程解的問題轉化為求函數(shù)圖像交點的橫坐標問題，解決此類問題時應注意函數(shù)與方程可以互相轉化，二者結合可優(yōu)勢互補. 利用方程與函數(shù)圖像之間的關系，可將抽象的問題轉化為直觀的圖形，使解題變得簡單.

三、 化局部為整體

例3 （2013·大慶）如圖2，三角形ABC是邊長為1的正三角形，與所對的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為______.

【解析】如圖2，設與相交于點O，連接OA、OB、OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個弓形，將這兩個弓形分別按順時針及反時針繞點O旋轉120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的三分之一.

∴S陰影部分=××12=.

故答案為：.

【點評】通過轉化得出陰影部分的面積恰好為△ABC面積的三分之一是解答此題的關鍵. 利用平移、旋轉或軸對稱化零為整進行思考，要正確把握整體與局部之間的關系，善于發(fā)現(xiàn)問題之間的內在聯(lián)系，揭示轉化的規(guī)律.

四、 化空間圖形為平面圖形

例4 （2013·東營） 如圖3，圓柱形容器的高為1.2 m，底面周長為1 m，在容器內壁離容器底部0.3 m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3 m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計）.

解：將圓柱沿其母線剪開，壁虎在圓柱展開圖4的矩形兩邊中點的連線上.過A作關于EF的對稱點A′，連接A′B，則線段A′B的長度為壁虎捉蚊子的最短距離，過B作BM⊥AA′于點M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2 m，BM= m，所以A′B==1.3 m，即壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

【點評】沿圓柱表面的最短線段長度問題，常常是要將它展開轉化成平面圖形問題. 本題通過作出關于定直線的對稱點，把同側線段長度和轉化為異側線段長度和，利用“兩點之間線段最短”，即可解決問題，軸對稱在此起到轉化作用.

五、 化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形

例5 （2013·長春）探究：如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E. 若AE=10，求四邊形ABCD的面積.

應用：如圖6，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于點E. 若AE=19，BC=10，CD=6，則四邊形ABCD的面積為______.

解：如圖5，過點A作AF⊥CB，交CB的延長線于點F.

∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四邊形AFCE為矩形，

∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°.

∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，

又AB=AD，∴△AFB≌△AED（AAS），

∴AF=AE，∴四邊形AFCE為正方形，

∴S四邊形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.

如圖6，過點A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，連接AC.

則∠ADF+∠ADC=180°.

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC·AE+CD·AF=×10×19+×6×19=95+57=152.

【點評】將不規(guī)則圖形割補成規(guī)則圖形，是求不規(guī)則圖形面積的常用方法. 問題（1）是通過作輔助線構造出全等三角形，將不規(guī)則的四邊形轉化為正方形；問題（2）是通過作輔助線構造出全等三角形，把四邊形轉化為同高的兩個三角形.

轉化就是不斷地把一個尚待解決的問題轉化為已經(jīng)解決的問題，把一個復雜問題轉化為一個比較簡單的問題，這就是數(shù)學解題的通法，也是數(shù)學解題的有力武器！不斷轉化，不斷向已知靠攏，最終使問題獲解，這是轉化的精髓.

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學）