函數(shù)視角下的面積問(wèn)題求解策略

一、 將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積

例1 （2012·菏澤）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（2，0）、O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形A′B′O.

（1） 一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；

（2） 設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3） 在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形，并寫出它的兩條性質(zhì).

【思路點(diǎn)撥】

1. 四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍.

2. 連接PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個(gè)三角形.

3. 過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形.

【解答過(guò)程】

【面積另解】第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖3那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)單.

二、 運(yùn)用S=水平線×鉛垂高求面積

例2 （2013·蘇州）如圖8，已知拋物線y=x2+bx+c（b、c是常數(shù)，且c<0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）.

（1） b=______，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_______（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2） 連接BC，過(guò)點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線交于點(diǎn)E. 點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；

（3） 在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC. 設(shè)△PBC的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有_____個(gè).

【思路點(diǎn)撥】

1. 用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點(diǎn)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)OB=2OC.

2. 當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD.

3. 求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算：P在BC上方或下方.

4. 求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過(guò)C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中面積的正整數(shù)值，再數(shù)個(gè)數(shù). 注意排除點(diǎn)P在A、C、B三個(gè)時(shí)刻的值.

如果S四邊形PB′A′B=4S△A′B′O=4，那么S四邊形PB′OB=3S△A′B′O=3.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x+2）.

S梯形PB′OD=DO（B′O+PD）=x（2-x2+x+2）=-x3+x2+2x.

S△PDB=DB×PD=（2-x）（-x2+x+2）=x3-x2+2.

所以S四邊形PB′OB=S梯形PB′OD+S△PDB=-x2+2x+2.

解方程-x2+2x+2=3，得x1=x2=1.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）.

思路一：運(yùn)用公式S=水平線×鉛垂高求面積=OC·|xB-xA|；

思路二：構(gòu)造輔助線S△ABO=SABDE-S△AOE-S△BOD.

（作者單位：江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）