從一類測量問題探究幾何應(yīng)用題的解題思路

幾何知識的應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)實(shí)踐和生活中極其普遍，對幾何知識的考查也從單純的幾何證明、計算向幾何應(yīng)用方面轉(zhuǎn)變，且題型多種多樣. 它利用直線型和圓中的一些基本性質(zhì)，借助于圖形變換（平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換、相似變換）進(jìn)行距離的測量與計算、面積的確定、線路的確定、方案的設(shè)計等等，主要考查同學(xué)們的觀察能力、空間想象能力、動手操作能力以及對所學(xué)幾何基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用能力. 解題時一般先從實(shí)際的問題中抽象出幾何圖形的模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后把已知量和所求的量轉(zhuǎn)化在幾何圖形中，再根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，用代數(shù)的方法進(jìn)行求解，最后檢驗作答.

本文試以一類測量問題的解題思路為例，探究幾何應(yīng)用問題的解題思路.

例1 （2013·濟(jì)南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2 m. 則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（ ）.

A. 12 m B. 13 m

C. 16 m D. 17 m

【切入點(diǎn)】作BC⊥AE，構(gòu)造Rt△ABC和矩形CEDB，將求旗桿高度轉(zhuǎn)化為求AC、CE的長.

【解題思路】如圖2，作BC⊥AE于點(diǎn)C，則BC=DE=8，設(shè)AE=x，則AB=x，AC=x-2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x-2）2+82=x2，解得x=17.

【答案】D.

【技巧點(diǎn)撥】構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理列方程是解決簡單測量問題的基本手段.

例2 （2013·遂寧）如圖3，在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少. （結(jié)果保留根號）

【切入點(diǎn)】通過作高，將斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形.

【解題思路】△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，求出BD的長；Rt△BCD是一個含30°角的直角三角形，可用“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求出BC的長.

【解答過程】作BD⊥AC于D.

由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.

在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（海里）.

在Rt△BCD中，BC===20（海里）.

答：此時船C與船B的距離是20海里.

【技巧點(diǎn)撥】（1） 當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)30°、45°、60°角的時候，要求一些線段的長，我們通常是通過作高構(gòu)造直角三角形，將這些特殊角放入直角三角形中，利用直角三角形邊角關(guān)系求出線段的長.

（2） 本題中，由于BD是兩個直角三角形的公共邊，兩個三角形是通過BD這樣一個紐帶緊密地聯(lián)系在一起，解此類問題的時候，一定要發(fā)揮這條公共直角邊的作用.

例3 如圖4，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動課上測量學(xué)校旗桿高度. 已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是1.7 m，看旗桿頂部M的仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離（CD）是1.5 m，看旗桿頂部M的仰角為30°. 兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)（點(diǎn)B，N，D在同一條直線上）. 請你求出旗桿MN的高度. （參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）

【切入點(diǎn)】構(gòu)造直角三角形，將45°和30°置于直角三角形中，通過ME和MF建立兩個直角三角形的聯(lián)系.

【解題思路】根據(jù)上例提供的思路，題目中出現(xiàn)了兩個特殊角45°和30°，因此我們應(yīng)該想方設(shè)法構(gòu)造垂線，將這兩個特殊角放在直角三角形中處理，不難想到應(yīng)該過點(diǎn)A作AE⊥MN于E，過點(diǎn)C作CF⊥MN于F，雖然本題沒有像上例那樣出現(xiàn)一條公共的直角邊，但直角邊ME和MF之間相差0.2米，AE和FC的和為28米，可以轉(zhuǎn)化為兩個未知數(shù)、兩個相等關(guān)系的問題，我們可以根據(jù)一個相等關(guān)系設(shè)未知數(shù)，根據(jù)另一個相等關(guān)系列方程，因此本題有兩種方法求出ME和MF的長，繼而求出旗桿MN的高度.

過點(diǎn)A作AE⊥MN于E，過點(diǎn)C作CF⊥MN于F.

則EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.

在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME.

設(shè)AE=ME=x（不設(shè)參數(shù)也可）.

∴MF=x+0.2，F(xiàn)C=28-x.

在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°.

∴MF=CF·tan∠MCF.

∴x+0.2=（28-x），

∴x≈10，∴MN≈12.

答：旗桿高約為12米.

【技巧點(diǎn)撥】本題雖然沒有公共邊，但是ME和MF在同一直線上，相當(dāng)于公共邊，盡管沒有給出ME和MF的長，但這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系是聯(lián)系這兩個直角三角形的橋梁.

（作者單位：江蘇省海安縣吉慶初級中學(xué)）