從基本圖形出發(fā)，順?biāo)浦劢庖活愓n題學(xué)習(xí)問題

研究型學(xué)習(xí)類試題在近年各地中考試題中頻頻出現(xiàn)，此類試題常常先提供一個(gè)問題情境，讓考生在解決問題情境的過程中掌握一個(gè)數(shù)學(xué)方法，然后對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行變式探究或者拓展應(yīng)用.

例 （2013·連云港）小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：

【切入點(diǎn)】對(duì)于問題情境，可根據(jù)題目條件證明三角形全等，再根據(jù)圖形面積間的關(guān)系證S四邊形ABCD=S△ABF；對(duì)于問題遷移，通過圖形變化，轉(zhuǎn)化在問題情境中，利用問題情境中的結(jié)論，求出△MON的面積最小時(shí)，點(diǎn)P滿足的條件；對(duì)于實(shí)際應(yīng)用，通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出問題遷移中的基本圖形來解答；對(duì)于拓展延伸，同樣利用上面的結(jié)論來解答，并注意討論.

【解答過程】問題情境：

證明：因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADE=∠FCE.

又因?yàn)镈E=CE，∠AED=∠FEC，所以△ADE≌△FCE，

所以S△ADE=S△FCE，所以S四邊形ABCD=S四邊形ABCE

+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE=S△ABF.

問題遷移：

當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，△MON的面積最小.

不妨設(shè)PF

由“問題情境”的結(jié)論可知，當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，有S四邊形MOFG=S△MON.

因?yàn)镾四邊形MOFG

實(shí)際應(yīng)用：如圖6，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1、M1.

在Rt△OPP1中，PP1=OPsin30°=2，OP1=OPcos30°=2.

由“問題遷移”的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MON的面積最小.

此時(shí)MM1=2PP1=4，M1P1=P1N.

在Rt△OMM1中，OM1=≈=，M1P1=OP1-OM1=2-，

ON=OM1+M1P1+P1N=4-.

所以S△MON=MM1·ON=8-≈10.28≈10.3（km2）.

拓展延伸：

（1） 當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N時(shí). 延長OC、AB交于點(diǎn)D，易知AD=6，S△OAD=18.

由“問題遷移”的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MND的面積最小，所以此時(shí)四邊形OANM的面積最大.

由題意易得M1P1=P1A=2，從而OM1=MM1=2. 又因?yàn)镻P1=2，

所以MN∥OA.

所以S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形MM1AN=×2×2+2×4=10.

（2） 當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交于M、N時(shí).

延長CB交x軸于T點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+9.

則T點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，0）.

所以S△OCT=×9×=.

由結(jié)論知：當(dāng)PM=PN時(shí)，△MNT的面積最小，所以四邊形OCMN的面積最大.

MM1=2PP1=4.

所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，P1M1=NP1=1，TN=6.

所以S△MNT=×6×4=12，S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT=-12=<10.

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10.

【方法總結(jié)】本題第2個(gè)問題的解決需要用到第1個(gè)問題的結(jié)論，第3個(gè)問題的解決需要用到第2個(gè)問題的結(jié)論，第4個(gè)問題又要用到第3個(gè)問題的結(jié)論，此類問題在解決的時(shí)候，要注意小題與小題之間的聯(lián)系，千萬不要將每個(gè)小問題看作獨(dú)立的個(gè)體.

（作者單位：江蘇省海安縣海陵中學(xué)）