另辟蹊徑 巧妙解題

一次函數(shù)和反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)兩種重要的基本函數(shù)，也是各地中考的重要內(nèi)容. 此類題目的呈現(xiàn)方式比較多，其中蘊(yùn)含了一些巧妙的思想方法，為同學(xué)們的解題提供了一定的思考空間. 下面以幾道近年的中考題為例，談?wù)勅绾吻山怅P(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的問題，以期對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所幫助.

類型一 巧解反比例函數(shù)中的面積問題

例1 （2011·陜西）如圖1，過y軸正半軸上的任意一點(diǎn)P，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=-和y=的圖像交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，若點(diǎn)C是x軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】此題的一般解法可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為

-，m，B點(diǎn)坐標(biāo)為

，m（m>0），求出AB=，進(jìn)而求得△ABC的面積為·m·=3. 實(shí)際上如果利用同底等高，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABO的面積，再利用k的意義，會(huì)更簡單.

解：連接AO、BO，則S△ABO=S△APO+S△BPO，由反比例函數(shù)y=中k的幾何意義，可知S△APO==2，S△BPO==1，所以S△ABC=S△ABO=3.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于雙曲線y=（k≠0），k有很重要的意義. 雙曲線上任一點(diǎn)（x，y）到坐標(biāo)軸的垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為x·y=xy，也就是說k的幾何意義是雙曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)軸的垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積. 因此在解決有關(guān)反比例函數(shù)中的面積問題時(shí)，要充分利用k的幾何意義，從而達(dá)到巧解的目的.

類型二 巧解取值范圍問題

例2 （2012·四川宜賓）如圖2，一次函數(shù)y1=ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點(diǎn)，若使y1>y2，則x的取值范圍是______.

【分析】我們首先想到是將一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式求出，然后解不等式，但是出現(xiàn)了分式不等式（或二次不等式），同學(xué)們不會(huì)解，思路受阻. 此時(shí)我們可以借助函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，巧妙地將y1>y2在圖像上體現(xiàn)為一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方的部分.

解：由圖像知，y1>y2的部分包括反比例函數(shù)的圖像在第三象限時(shí)和在第一象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)之間，所以x的取值范圍是x<0或1

例3 （2013·甘肅蘭州）已知A（-1，y1），B（2，y2）兩點(diǎn)在雙曲線y=上，且y1>y2，則m的取值范圍是（ ）.

A. m<0 B. m>0

C. m>- D. m<-

【分析】此題常規(guī)解法可將A（-1，y1）、B（2，y2）兩點(diǎn)分別代入雙曲線y=，求出y1與y2的表達(dá)式，再根據(jù)y1>y2，列出關(guān)于m的不等式即可解答. 本題若結(jié)合反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解，則更簡捷.

解：雙曲線y=的圖像當(dāng)k>0時(shí)，圖像在一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)，圖像在二、四象限，題中A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1和2，要使y1>y2，只能是圖像在二、四象限的情況，所以3+2m<0，即m<-.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類求不等式成立的自變量取值范圍的問題，通?？梢岳脭?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到巧解的目的.

類型三 巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

例4 （2013·廣西南寧）如圖3，直線y=x與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點(diǎn)A，將直線y=x向上平移4個(gè)單位長度后，與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線y=（k>0，x>0）交于點(diǎn)B，若OA=3BC，則k的值為（ ）.

A. 3 B. 6

C. D.

【分析】本題可首先求出平移后直線的解析式，然后分別聯(lián)立方程組求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，根據(jù)△OAE∽△BCF可得A、B的橫坐標(biāo)的比等于OA∶BC，然后列出方程求解即可. 實(shí)際上，根據(jù)相似三角形的比例性質(zhì)得出A、B的橫坐標(biāo)的比等于OA∶BC后，可以巧設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為m

，m、

，+4（m>0），再根據(jù)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，列方程求出m的值，進(jìn)而求出k的值.

解：直線BC的解析式為y=x+4. 過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，容易得到△OAE～△BCF，則=，由于OA=3BC，所以O(shè)E=3BF，即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為B點(diǎn)的橫坐標(biāo)的3倍，因此由題意可以設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為m

，m，

，+4（m>0），而A、B兩點(diǎn)都在雙曲線y=上，可得m·m=·

+4，解得m=3，所以k==.

【點(diǎn)評(píng)】此類題目較難，可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的.

類型四 巧用對(duì)稱性

例5 （2013·湖北鄂州）已知正比例函數(shù)y=-4x與反比例函數(shù)y=的圖像交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______.

【分析】本題可先根據(jù)正比例函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式，然后將兩函數(shù)聯(lián)立，解方程組得出B點(diǎn)坐標(biāo). 實(shí)際上，正比例函數(shù)圖像和反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)后，直接利用此對(duì)稱性可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).

解：由點(diǎn)A（x，4）在y=-4x上，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1， 4），由對(duì)稱性可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4）.

例6 （2013·陜西）如果一個(gè)正比例函數(shù)的圖像與一個(gè)反比例函數(shù)y=的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x2-x1）（y2-y1）的值為______.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，可以得到x1和x2、y1和y2分別是互為相反數(shù)的關(guān)系，然后代入所求式子化簡，再根據(jù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求值.

解：由對(duì)稱性得x2=-x1，y2=-y1，所以（x2-x1）（y2-y1）=（-x1-x1）（-y1-y1）=4x1y1，又由A點(diǎn)在y=的圖像上，所以x1y1=6，即（x2- x1）（y2-y1）=24.

【點(diǎn)評(píng)】反比例函數(shù)圖像與正比例函數(shù)圖像都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，因此它們的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，巧用這種對(duì)稱性是解決此類問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）