“函數(shù)”考點梳理

函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是中考的重點. 近幾年，各地中考試題中出現(xiàn)了大量的函數(shù)與幾何知識相結合的壓軸試題. 此類題目設計新穎、貼近生活，不但考查了同學們對函數(shù)的基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的掌握程度，還檢驗了同學們靈活運用知識技能技巧探索創(chuàng)新的能力和實踐操作的能力. 下表是徐州市近三年中考數(shù)學試題中對函數(shù)有關知識點的考查情況.

通過統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn)：試卷中有關函數(shù)的題目少則4題，多則達7題，分值占總分20%以上，重點為一次函數(shù)和二次函數(shù). 由于此部分試題具有一定的綜合性，對同學們數(shù)形結合和函數(shù)方程等重要數(shù)學思想方法的培養(yǎng)、解題思路的拓寬以及綜合能力的提升具有十分重要的意義，因而備受命題者的青睞. 同學們要總結解題規(guī)律，掌握函數(shù)的基本技能和方法，強化數(shù)形結合意識、分類討論思想、滲透模型思想以及配方法、公式法、待定系數(shù)法等重要方法的應用，注意觀察、歸納、分析、比較，把重點放在落實基礎知識和基本技能及通性、通法的掌握上，從而提高復習效率和效果.

函數(shù)?？贾R點

一、 平面直角坐標系

1. 坐標平面內(nèi)點的對稱性、點所在的象限、坐標軸上點的坐標特點等. 坐標平面內(nèi)點的對稱性，主要以填空題、選擇題形式出現(xiàn).

2. 自變量的取值范圍的確定：

①當函數(shù)關系式為分式形式時，其自變量的取值范圍必須使分母不為零；

②函數(shù)關系式為二次根式形式時，其自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)為非負數(shù)；

③函數(shù)關系式為整式形式時，其自變量的取值范圍為任意實數(shù)；

④還應注意要使實際問題有意義. 自變量的取值范圍主要以填空題、選擇題形式出現(xiàn).

二、 一次函數(shù)

一次函數(shù)考點包括一次函數(shù)、正比例函數(shù)表達式，一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標（一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交于-

，0，與y軸交于（0，b）），一次函數(shù)與兩坐標軸圍成三角形的面積，一次函數(shù)的性質（當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小），k、b符號與一次函數(shù)經(jīng)過象限的關系，由坐標利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等. 知道兩點的坐標求函數(shù)解析式，知增減性求k的值，知k、b符號以確定一次函數(shù)所經(jīng)過的象限等，常以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，如2012年徐州中考第6題和第13題、2013年徐州中考第6題；利用一次函數(shù)解決實際問題常以解答題的形式出現(xiàn)，如2012年徐州中考第25題、2013年徐州中考第27題.

三、 反比例函數(shù)

反比例函數(shù)考點包括反比例函數(shù)的表達形式和性質（當k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k<0時，圖像的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大）. 特別注意：反比例函數(shù)的增、減問題的討論范圍是在每一個象限內(nèi)或在每一分支上. 與反比例函數(shù)相關的面積問題也是常見的中考題. 其中給出圖像上幾個點，求相關坐標、面積和解析式等常以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，如2012年徐州中考第13題、2013年徐州中考第13題.

四、 二次函數(shù)

二次函數(shù)主要考查表達式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（?。┲狄约坝枚魏瘮?shù)模型解決生活實際問題. 其中頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（?。┲怠D像與坐標軸的交點等主要以填空題、選擇題形式出現(xiàn). 有關二次函數(shù)的解答題主要有三種類型：一類是有關二次函數(shù)圖像及性質的純數(shù)學問題，如2012年徐州中考第24題；一類是利用二次函數(shù)性質結合其他知識解決實際問題的題目，如2011年徐州中考第25題 ；再一類是二次函數(shù)與幾何知識結合的綜合題，如2013年徐州中考第28題、2012年徐州中考第27題、2011年徐州中考第28題.

如何將中考壓軸題化難為易，在有限的時間內(nèi)取得更高的分值是同學們關心的問題，下面以2013年徐州中考壓軸題為例，說明解決此類問題的方法、思路及對策.

如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx-的圖像與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

（1） 請直接寫出點D的坐標：_______；

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3） 是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 要求D點的坐標，知A、D兩點的橫坐標相同為-3，關鍵是求點D的縱坐標，也就是求出AB的長度，就可確定點D的坐標了. 根據(jù)點A（-3，0）在二次函數(shù)y=x2+bx-的圖像上，可求出b=1，繼而求出點B的坐標為（1，0），從而可求出AB=4，所以點D（-3，4）.

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動時，說明0

-2+，t=，即P為OA的中點時，OE有最大值，最大值為.

（3） 要使△PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同學們遇到此類題目不妨動手操作一下，這樣可以幫助我們?nèi)婵紤]問題. 如用兩支筆垂直放置且一支筆始終過點D進行旋轉，便可得出下面的兩種符合條件的圖形.

①如圖2，點P點在y軸左側時，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函數(shù)的定義求PO的長度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，∴PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，∴重疊部分的面積S△DAG=×4×=.

②如圖3，當P點在y軸右側時，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，∴重疊部分的面積S四邊形DGBF=4×4-××4-××4=.

【點評】本題綜合性很強，涉及函數(shù)、方程、幾何知識的綜合應用，考查了同學們綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學知識的綜合性，具有一定的難度和區(qū)分度. 利用三角形全等求出PO長度、利用相似三角形或三角函數(shù)的定義求出AG長度是解決本題的關鍵. 第（2）小題考查了同學們構建基本圖形Rt△APD、Rt△OPE的能力，利用相似三角形或三角函數(shù)的定義求出OE關于PA的函數(shù)關系式，利用配方法求最大值；第（3）小題先根據(jù)點P在對稱軸的左、右進行分類討論，從而得出兩種不同點的坐標，再利用割補求出相應重疊部分的面積，在解題過程中較好地滲透了數(shù)形結合和分類討論的思想. 解題時考慮三角函數(shù)的定義有時比利用三角形相似、三角形全等解題更方便.

（作者單位：江蘇豐縣歡口初級中學）