解方程（組）中的常見錯(cuò)誤例析

下面是同學(xué)們在完成中考試題類編——方程（組）中的錯(cuò)誤，你出現(xiàn)過這些錯(cuò)誤嗎？希望你能從這些錯(cuò)誤中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，提高免疫力，避免出現(xiàn)類似錯(cuò)誤.

一、 審題不細(xì)

例1 （2012·湖北天門）關(guān)于x的方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根為0，則m的值為（ ）.

A. 1 B. -1

C. 1或-1 D. 0.5

【錯(cuò)解】將x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-1=0得：m2-1=0，解得m=1或m=-1，又m-1≠0，所以m≠1，因此m的值為-1，選B.

【分析】題目中沒有講這個(gè)方程是一元二次方程，所以m-1可以為0. 事實(shí)上，m=1時(shí)，方程為x=0，它有一根為0，滿足要求，因此m的值為1或-1，選C.

【點(diǎn)評】方程ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程，因此遇到這類問題常常需要分類討論.

二、 忘記檢驗(yàn)

例2 （2013·四川綿陽）解方程：

-1=.

【錯(cuò)解】原方程可化為 = ，所以方程的最簡公分母為（x+2）（x-1），去分母得：x+2=3，解得：x=1. 所以原方程的解為x=1.

【分析】錯(cuò)解忘記了檢驗(yàn)，當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，x2+x-2=0，所以x=1是增根，原分式方程無解.

【點(diǎn)評】解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解. 但轉(zhuǎn)化時(shí)有可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程一定要驗(yàn)根.

三、 思考不周

例3 （2013·山西）解方程：

（2x-1）2=x（3x+2）-7.

【錯(cuò)解】原方程可化為4x2-4x+1=3x2+2x-7，∴x2-6x+8=0，∴（x-3）2=1，∴x-3=1，∴x=4.

【分析】一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，因此由直接開平方法得：x-3=±1，∴x1=2，x2=4. 方程的解為x1=2，x2=4.

【點(diǎn)評】用直接開平方法解方程時(shí)，要注意正數(shù)的平方根有兩個(gè)；用因式分解法解方程不能在方程的兩邊同時(shí)除以含未知數(shù)的代數(shù)式，否則會失根；增根易剔除，失根難尋找.

四、 概念不清

例4 （2013·四川瀘州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）.

A. k>-1 B. k<1且k≠0

C. k≥-1且k≠0D. k>-1且k≠0

【錯(cuò)解】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有Δ>0，即（-2）2-4×k×（-1）>0，解得k>-1，選A.

【分析】由方程kx2-2x-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，必須有k≠0，結(jié)合k>-1，有k>-1且k≠0，選D.

【點(diǎn)評】在應(yīng)用根的判別式解題時(shí)一定要注意其使用的前提條件是二次項(xiàng)不能為0.

五、 半途而廢

例5 （2012·山東威海）關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情況是（ ）.

A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B. 沒有實(shí)數(shù)根

C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D. 無法確定

【錯(cuò)解】因?yàn)棣?m2-4（m-2）=m2-4m+8，當(dāng)m的值變化時(shí)，m2-4m+8的值也在變化，所以它的根的情況無法確定，選D.

【分析】當(dāng)m的值變化時(shí)，m2-4m+8的值也在變化，但這個(gè)值的變化范圍是可確定的，從而可確定Δ的正負(fù)性，進(jìn)而判斷出方程根的情況. 事實(shí)上，m2-4m+8=m2-4m+4+4=（m-2）2+4>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選A.

【點(diǎn)評】當(dāng)判別式是含字母的代數(shù)式時(shí)，要善于應(yīng)用配方法變形為（ ）2+正數(shù)或

-（ ）2-正數(shù)的形式，以便于對其正負(fù)性作出判定.

六、 忽視隱含

例6 （2013·黑龍江龍東）已知關(guān)于x的分式方程=1的解是非正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）.

A. a≤-1 B. a≤-2

C. a≤1且a≠-2D. a≤-1且a≠-2

【錯(cuò)解】在方程=1的兩邊同乘x+1得，a+2=x+1，x=a+1. 又方程的解為非正數(shù)，所以a+1≤0，解得a≤-1，選A.

【分析】這是一個(gè)分式方程，因此題目隱含著條件分母x+1≠0，即x≠-1，所以a+1≠-1，即a≠-2. 所以a的取值范圍是a≤-1且a≠-2，選D.

【點(diǎn)評】對于含字母系數(shù)的分式方程，一定要注意排除使方程分母為0的字母取值.

七、 理解不當(dāng)

例7 （2013·湖南郴州）烏梅是郴州的特色時(shí)令水果. 烏梅一上市，水果店的小李就用3 000元購進(jìn)了一批烏梅，前兩天以高于進(jìn)價(jià)40%的價(jià)格共賣出150 kg，第三天她發(fā)現(xiàn)市場上烏梅數(shù)量陡增，而自己的烏梅賣相已不太好，于是果斷地將剩余烏梅以低于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格全部售出，前后一共獲得750元. 求小李所進(jìn)烏梅的數(shù)量.

【錯(cuò)解】設(shè)小李所進(jìn)烏梅的數(shù)量為x kg，則可列方程×40%×150+×20%×（x-150）=750.

解得x=600. 經(jīng)檢驗(yàn)x=600是方程的解.

答：小李所進(jìn)烏梅的數(shù)量為600 kg.

【分析】錯(cuò)解對“低于進(jìn)價(jià)的20%的價(jià)格全部售出”的含義即是虧本理解不當(dāng)，而誤用“+”來連接，正確的應(yīng)該用符號“-”來連接，得到的方程應(yīng)該是：

×40%×150-×20%×（x-150）=750.

解得x=200，經(jīng)檢驗(yàn)x=200是方程的解.

答：小李所進(jìn)烏梅的數(shù)量是200 kg.

【點(diǎn)評】利用方程解應(yīng)用題，審題是關(guān)鍵，不僅要找出已知、未知，而且要正確找出數(shù)量關(guān)系，做到正確解題.

八、 缺少分類

例8 （2013·黑龍江龍東）李明組織大學(xué)同學(xué)一起去觀看電影，票價(jià)每張60元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了1 200元，他們共買了_______張電影票.

【錯(cuò)解】設(shè)他們一共買了x張電影票，則有80%×60x=1 200，解得x =25. 所以填“25”.

【分析】本題中的等量關(guān)系是：票價(jià)×張數(shù)=1 200元（張數(shù)≤20）；票價(jià)×張數(shù)×80%=1 200元（張數(shù)>20）. 應(yīng)該根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系分別列出方程進(jìn)行求解. 錯(cuò)解遺漏了前者. 正確解法是：設(shè)他們一共買了x張電影票，則①60x=1 200（x≤20），解得x=20；②80%×60x=1 200（x>20），解得x=25. 均符合題意，所以他們共買了20或25張電影票.

【點(diǎn)評】對于數(shù)量關(guān)系不唯一的問題，要注意分類思考，全面求解.

九、 忽視要求

例9 （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊(duì)購買某種服裝時(shí)，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價(jià)為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)不得低于50元. 按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？

【錯(cuò)解】因?yàn)?0件服裝的售價(jià)為80×10=800（元）<1 200元，所以小麗買的服裝數(shù)大于10件. 設(shè)小麗購買了x件這種服裝，則超過的服裝為（x-10）件，又多于10件后每增加1件，購買的所有服裝的單價(jià)降低2元，所以實(shí)際單價(jià)為[80-2（x-10）]元，根據(jù)題意得：x[80-2（x-10）]=1 200，解得x1=20，x2=30.

答：小麗購買了20件或30件這種服裝.

【分析】當(dāng)x1=20時(shí)，每件售價(jià)為80-2（20-10）=60（元）>50元，符合題意；當(dāng)x2=30時(shí)，每件售價(jià)為80-2（30-10）=40（元）<50元，不符合題意，應(yīng)舍去. ∴x=20. 即小麗購買了20件這種服裝.

【點(diǎn)評】在運(yùn)用方程解決實(shí)際問題時(shí)，一定要重視問題的具體要求，正確進(jìn)行取舍.

十、 人為編造

例10 （江蘇南京）西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克. 為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價(jià)銷售. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)0. 1元/千克，每天可多售出40千克. 另外，每天的房租等固定成本共24元. 該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？

【錯(cuò)解】設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元. 根據(jù)題意，得（3-2-x）

200+-24=200. 解得x1=0.2，x2=0.3（舍去，因?yàn)榻祪r(jià)越少越好）.

答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.2元.

【分析】錯(cuò)解認(rèn)為題目中有兩個(gè)解，必須舍去一個(gè)，人為編造了“降價(jià)越少越好”的理由來對根進(jìn)行取舍. 事實(shí)上，由方程得到的兩個(gè)解都符合要求，所以答案為“應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.2元或0.3元”.

【點(diǎn)評】解題中切不可人為添加條件.

練習(xí)

1. （2013·甘肅蘭州）若b-1+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_____________.

2. （2013·四川綿陽）已知整數(shù)k<5，若△ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x2-3x+8=0，則△ABC的周長是______.

3. （2013·山東臨沂）對于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“×”：a×b=a2-ab（a≥b），

ab-b2（a2，所以4×2=42-4×2=8. 若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根，則x1×x2=_______.

參考答案：

1. k≤4且k≠0 2. 10、6或12

3. 3或-3

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學(xué)）