換個角度視野闊

考試時要求同學(xué)們在有限的時間內(nèi)解決一定數(shù)量的數(shù)學(xué)問題，這不僅要有方法，更需要技巧. 換一個角度，給我們不同的視野；換一種方式，給我們不同的思維；換一種方法，給我們不同的途徑. 以2013年的中考中有關(guān)“數(shù)與式”部分試題略作分析，在不同的思路中讓我們一起比較路途的長短，比較視野的寬窄.

一、 整體思想解決路徑長，等積變形來幫忙

例1 （2013·山東煙臺）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連接AF、CF，則圖中陰影部分面積為______.

【分析】設(shè)正方形EFGB的邊長為a，表示出CE、AG，然后根據(jù)陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF-S△AGF，列式計(jì)算即可得解.

解法一：設(shè)正方形EFGB的邊長為a，則CE=4-a，AG=4+a，

陰影部分的面積

=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF-S△AGF

=+a2+a（4-a）-a（4+a）

=4π+a2+2a-a2-2a-a2

=4π.

【點(diǎn)評】本題涉及正方形的性質(zhì)、整式的混合運(yùn)算、扇形的面積計(jì)算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關(guān)鍵.

解法二：連接AC、BF，易證AC∥BF；則S△ACF=S△ABC（同底等高）；所以陰影部分面積為扇形ABC的面積，故答案為：4π.

二、代數(shù)式的計(jì)算有點(diǎn)煩，各項(xiàng)定位來解難

例2 （2013·臺灣）若一多項(xiàng)式除以2x2-3，得到的商式為7x-4，余式為-5x+2，則此多項(xiàng)式是什么？（ ）.

A. 14x3-8x2-26x+14

B. 14x3-8x2-26x-10

C. -10x3+4x2-8x-10

D. -10x3+4x2+22x-10

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)系式，計(jì)算即可得到結(jié)果.

解法一：根據(jù)題意得：

（2x2-3）（7x-4）+（-5x+2）

=14x3-8x2-21x+12-5x+2

=14x3-8x2-26x+14

故選A.

【點(diǎn)評】此題考查了整式的除法，涉及的知識有多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、去括號法則以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

解法二：這題是一道選擇題，計(jì)算的結(jié)果是一個三次多項(xiàng)式，最高次項(xiàng)的系數(shù)為14，所以只有A、B兩個選項(xiàng)可能正確，常數(shù)項(xiàng)為12加2，所以選擇A.

三、 代數(shù)推理有點(diǎn)難，數(shù)學(xué)直觀很好玩

例3 （2013·浙江寧波）7張如圖2的長為a，寬為b（a>b）的小長方形紙片，按圖3的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示. 設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當(dāng)BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（ ）.

A. a=b B. a=3b C. a=b D. a=b

【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出S，根據(jù)S與BC無關(guān)即可求出a與b的關(guān)系式.

解法一：左上角陰影部分的長為AE，寬AF=3b，右下角陰影部分的長為PC，寬CG=a.

∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，

∴陰影部分面積之差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，則3b-a=0，即a=3b. 故選B.

【點(diǎn)評】此題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

解法二：當(dāng)BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，左上角與右下角的陰影部分的面積的差S始終保持不變，面積差S與水平長沒有關(guān)系，則寬相等（否則兩個增加的面積不一樣大時，面積的差S會發(fā)生變化），故選擇B.

四、 數(shù)形結(jié)合很直觀，邊長大小相比較

例4 （2013·江蘇常州）有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為（ ）.

A. a+bB. 2a+bC. 3a+bD. a+2b

【分析】根據(jù)3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出答案.

解法一：3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b>a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，

∴拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），故選D.

【點(diǎn)評】此題考查了完全平方公式的幾何背景，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知識點(diǎn)是完全平方公式.

解法二：B、C選項(xiàng)中邊長為a的正方形紙片不夠，A、D選項(xiàng)中D的選項(xiàng)比A的長，只需計(jì)算D選項(xiàng)是否能夠滿足條件，經(jīng)計(jì)算可以拼成.

五、 裂項(xiàng)相消很奇妙

例5 （2013·湖南郴州）化簡+的結(jié)果為（ ）.

A. -1B. 1 C. D.

【分析】先把分式進(jìn)行通分，把異分母分式化為同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.

解法一：+=-==1.

故選B.

【點(diǎn)評】此題考查了分式的加減. 在分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減即可.

解法二：由于第一項(xiàng)的分子與分母的次數(shù)相同，所以第一項(xiàng)可以變化為一個整式與一個分子比分母次數(shù)低的分式的和的形式，=1+，這樣第二項(xiàng)與原式中的第二項(xiàng)相消，結(jié)果為1，選B.

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學(xué)）