在代數(shù)式求值中顯能力

數(shù)與式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，主要包括數(shù)與式的有關(guān)概念和計(jì)算. 用數(shù)與式表示問(wèn)題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，中考多以容易題或中檔題出現(xiàn)，題型主要是填空題、選擇題，偶爾出現(xiàn)計(jì)算題，但計(jì)算題的難度不大. 近幾年來(lái)，對(duì)這部分的考查出現(xiàn)了“以數(shù)與式為載體考查數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力”的要求，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下，供同學(xué)們參考.

一、 整式的求值

例1 （2011·湖北鄂州）已知a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010. 則多項(xiàng)式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值為（ ）.

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

方法一 求代數(shù)式的值一般是將已知字母的值代入代數(shù)式求值，但本題a、b、c都是用x的代數(shù)式表示，且較為復(fù)雜，若直接代入可將待求的式子用x的代數(shù)式表示，化簡(jiǎn)后可消去x從而求值，但計(jì)算極為繁瑣，可操作性不強(qiáng). 若想計(jì)算簡(jiǎn)便，關(guān)鍵是將a、b、c的值化繁為簡(jiǎn). 仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，表示a、b、c值的三個(gè)代數(shù)式中，x前面的系數(shù)都相同，后面的常數(shù)依次遞增1，故a、b、c值依次增加1，根據(jù)這個(gè)關(guān)系不妨將a、c分別用b-1和b+1表示，代入后待求式可用b的代數(shù)式表示，計(jì)算大為簡(jiǎn)化，化簡(jiǎn)后即可消去字母b，求得代數(shù)式的值.

解：由條件得：a=b-1，c=b+1.

原式=（b-1）2+b2+（b+1）2-（b-1）b-b（b+1）-（b+1）（b-1）=b2-2b+1+b2+b2+2b+1-b2+b-b2-b-b2+1=3.

【點(diǎn)評(píng)】消元法的關(guān)鍵是找出不同字母之間的關(guān)系，將不同字母用同一個(gè)字母的代數(shù)式表示，代入化簡(jiǎn)后求值.

方法二 若從待求式子的特征分析，可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)與完全平方式相似，再由條件很容易求出三個(gè)字母中任意兩個(gè)字母的差，若能將待求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?gòu)造，轉(zhuǎn)化為完全平方式，將其分解為兩數(shù)差的平方，再將兩個(gè)字母的差值代入即可求出待求式子的值.完全平方式是一個(gè)三項(xiàng)式且有一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，待求式子中是兩數(shù)的積，故將待求式子乘2，構(gòu)造出三個(gè)完全平方式，將其分解成兩數(shù)差的平方，再將由條件求出的兩個(gè)字母的差代入求值即可.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，可求得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1.

故a2+b2+c2-ab-bc-ac

=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]

=[（-1）2+（-2）2+（-1）2]=3.

【點(diǎn)評(píng)】因式分解法的關(guān)鍵是將待求的代數(shù)式構(gòu)造后分解成含有已知條件的代數(shù)式，或由已知條件變形能得到的代數(shù)式.

方法三 當(dāng)x給定任意一個(gè)實(shí)數(shù)，待求式子的值都是相等的，為了計(jì)算方便可取x=-1，將x=-1代入a、b、c求出其值，再將求出的a、b、c的值代入待求式子. 此方法主要是運(yùn)用從特殊到一般的思想. 對(duì)于某些數(shù)式結(jié)構(gòu)的代數(shù)問(wèn)題，通常令字母取特殊值或字母間取特殊的數(shù)量關(guān)系，但此法為特殊解法，在填空或選擇題中可以運(yùn)用.

解：由a=2 009x+2 008，b=2 009x+2 009，c=2 009x+2 010，不妨令x=-1. 則a=-1，b=0，c=1.

則a2+b2+c2-ab-bc-ac

=（-1）2+02+12-0-0-（-1）×1=3.

【點(diǎn)評(píng)】有些問(wèn)題用常規(guī)方法直接求解比較困難，若根據(jù)條件，選擇某些特殊情況進(jìn)行分析，或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，這時(shí)常常會(huì)使題目變得十分簡(jiǎn)單.

二、 分式的求值

例2 （2012·四川內(nèi)江）已知三個(gè)數(shù)x，y，z，滿足=-2，=，=-，則=______.

方法一 要求分式的值，只需將其分母xy+yz+zx用xyz的代數(shù)式表示，分析發(fā)現(xiàn)對(duì)分式的分母xy+yz+zx任意兩項(xiàng)提取公因式，可以將其化為一個(gè)字母與另外兩個(gè)字母和的積的形式. 再由條件需找兩個(gè)字母的積與這兩個(gè)字母和的關(guān)系，由此xy+yz+zx中任意兩項(xiàng)都可用xyz的代數(shù)式表示，但分母為三項(xiàng)，故可依據(jù)分式的性質(zhì)將待求分式的分子與分母同乘2，分母變成6項(xiàng)，每?jī)身?xiàng)提取公因式后將分母用xyz的代數(shù)式表示，約分后求得分式的值.

解：由=-2，=，=-，

得：x+y=-xy，y+z=yz，z+x=-zx.

∴=

=

=

=

==-4.

【點(diǎn)評(píng)】“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題中有重要的作用.

方法二 求代數(shù)式的值關(guān)鍵是找出條件和待求代數(shù)式之間的關(guān)聯(lián)，本題很難直接由條件構(gòu)造出待求的分式或與其有關(guān)聯(lián)的分式，但通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)，三個(gè)已知分式的分子的最簡(jiǎn)公分母恰好是待求分式的分子xyz，而異分母分式加減須通分，故而先求三個(gè)已知分式的倒數(shù)和，通分后分母為xyz，而待求分式的分子為xyz，此時(shí)只需利用三個(gè)已知分式的倒數(shù)和與待求分式的關(guān)系，即可求解.

解：∵=-2，=，=-，

++=-+-=-，

即=-，

∴=-，即=-4.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一些形式比較特殊的式子，運(yùn)用求倒數(shù)或相反數(shù)的方法往往能收到奇效.

（作者單位：江蘇省建湖縣高作中學(xué)）