從一道課本習(xí)題的解法談代數(shù)式值的求法

蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第92頁(yè)有這樣一道習(xí)題：

已知：t=-，求代數(shù)式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【分析】所謂求代數(shù)式的值，就是用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算所得的結(jié)果. 因此，我們可以先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將t=-代入其中進(jìn)行求值.

原式=2t2-2t-2-t2+t+1+3t2-3t-3

=4t2-4t-4.

當(dāng)t=-時(shí)，原式=4×

-2-4×

--4=-1.

觀(guān)察代數(shù)式的整體特征，不難發(fā)現(xiàn)其中具有的相同項(xiàng)“t2-t-1”，因此，不妨將“t2-t-1”看成是一個(gè)整體，設(shè)a=t2-t-1，則

原式=2a-a+3a=4a.

當(dāng)t=-時(shí)，a=t2-t-1=

-2-

--1=-，所以，原式=4a=4×

-=-1.

綜上兩種解法，我們可以發(fā)現(xiàn)：第一種方法是求代數(shù)式的值的通法，對(duì)于求任何一個(gè)代數(shù)式的值均可行；第二種解法從代數(shù)式的整體特征入手，聚“部分”為“整體”，較第一種解法更靈活、簡(jiǎn)捷，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想. 因此，在求代數(shù)式值的時(shí)候，需要從代數(shù)式本身和整體著眼，靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解. 現(xiàn)以2013年中考試題為例加以說(shuō)明，供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考.

一、 整體代入的思想

例1 （2013·遼寧沈陽(yáng)）如果x=1時(shí)，代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1時(shí)，代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是______.

【分析】因?yàn)閤=1時(shí)，代數(shù)式2ax3+3bx+4的值是5，所以有2a+3b+4=5，即2a+3b=1，所以x=-1時(shí)，代數(shù)式2ax3+3bx+4的值為-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=3. 故填3.

【點(diǎn)評(píng)】本題沒(méi)有去尋求待定系數(shù)a、b的值，而根據(jù)x=1時(shí)代數(shù)式的值是5得到a、b之間的數(shù)量關(guān)系，并把它們的數(shù)量關(guān)系式看成是一個(gè)整體，求得x=-1時(shí)代數(shù)式的值.

二、 因式分解后的整體思想

例2 （2013·山東威海）若m-n=-1，則（m-n）2-2m+2n的值是（ ）.

A. 3 B. 2

C. 1 D. -1

【分析】觀(guān)察代數(shù)式（m-n）2-2m+2n，不難發(fā)現(xiàn)其中具有共同的項(xiàng)“m-n”，因此可以將（m-n）2-2m+2n化成（m-n）2-2（m-n）= （m-n）（m-n-2），從而可以得到代數(shù)式的值為3. 故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題要求同學(xué)們能夠靈活地對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行因式分解，并把（m-n）看成是一個(gè)整體，進(jìn)而求得代數(shù)式的值.

三、 整式化簡(jiǎn)后的整體思想

例3 （2013·北京）已知x2-4x-1=0，求代數(shù)式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.

【分析】如果先解一元二次方程，那么所得的解是無(wú)理數(shù). 再將所得解代入代數(shù)式中，解題過(guò)程會(huì)非常繁瑣. 不妨先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)變形后求代數(shù)式的值.

解：原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2

=3x2-12x+9

=3（x2-4x+3）.

∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，

∴ 原式=3×（1+3） =12.

【點(diǎn)評(píng)】本題解法靈活，沒(méi)有急于求得一元二次方程的解，而是先化簡(jiǎn)代數(shù)式再作出決定——將條件“x2-4x-1=0”變形為“x2-4x=1”，從而實(shí)現(xiàn)整體代入求值.

四、 分式化簡(jiǎn)后的整體思想

例4 （2013·山東棗莊）化簡(jiǎn)，再求值：

÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡(jiǎn)得原式=，將m代入原方程可得m2+3m=1，然后整體代入即可，本題不適合求根后再代入.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，

∴所求式=÷

=×

===.

【點(diǎn)評(píng)】以一元二次方程為條件的分式求值問(wèn)題，需要根據(jù)化簡(jiǎn)后的代數(shù)式與方程變形后的代數(shù)式，尋找內(nèi)在的聯(lián)系并應(yīng)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?

例5 （2013·貴州遵義）已知實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足a2+2a-15=0，求-÷的值.

【分析】本題可以先求得方程的解，再代入分式化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中求值，也可以對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)變形再求值.

解：方法1：

原式=-·

=-=.

∵a2+2a-15=0，∴a1=-5，a2=3，

當(dāng)a=3時(shí)，原式=；

當(dāng)a=-5時(shí)，原式=.

∴ 原式的值為.

方法2：（同方法1）原式=.

∵a2+2a-15=0，

∴a2+2a+1=16，

∴（a+1）2=16，

∴原式==.

【點(diǎn)評(píng)】遇到分式求值問(wèn)題時(shí)，一般都要先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將字母取值代入求值. 取值時(shí)應(yīng)注意所取字母的值要保證解題過(guò)程中出現(xiàn)的所有的分式都有意義. 我們還可以將所給代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危蛊渥冃纬蓷l件中含有的代數(shù)式，再利用整體代入的思想進(jìn)行求值運(yùn)算.

（作者單位：江蘇省建湖縣實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)）