歸納猜想 探索規(guī)律

翻閱2013年全國各地的中考試卷，以“數(shù)與式”為背景的探索規(guī)律題愈來愈得到中考命題者的青睞. 這類試題一方面能夠激發(fā)同學們主動思考、積極參與，富有個性地解答問題，另一方面也能夠考查同學們在歸納猜想的過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和創(chuàng)造性地解決問題的能力. 本文試舉例加以說明，以期對同學們的本輪復習有所幫助.

一、 根據(jù)數(shù)列，探索規(guī)律

例1 （2013·廣西玉林）一列數(shù)a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n為不小于2的整數(shù)），則a100=（ ）.

A. B. 2 C. -1D. -2

【解析】先逐次根據(jù)an=算出前面的幾個數(shù)，即可觀察到規(guī)律. 因為a1=，an=，所以a2==2，a3==-1，a4==，所以每隔3個數(shù)，an的數(shù)值開始循環(huán). 因為100=3×33+1，所以a100=. 因此，選A.

【點評】本題既是一道探索規(guī)律題，也是一道閱讀理解題. 需要同學們在應用新定義的基礎上確定這列數(shù)的前幾個數(shù)，并從中感受到整個數(shù)列的數(shù)值變化規(guī)律.

例2 （2013·湖北恩施）把奇數(shù)列成下表，

根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，則上起第8行、左起第6列的數(shù)是_______.

【解析】（1） 上起第n行，左起第一列的數(shù)為1+4+6+8+…+2n=n2+n-1，則上起第8行，左起第一列的數(shù)為71；（2） 上起第n行，左起第m列的數(shù)為（n2+n-1）+2n+（2n+2）+…+2（n+m-2）=（n2+n-1）+2（m-1）n+（m-1）（m-2），因此，上起第8行、左起第6列的數(shù)為171.

【點評】本題著重考查同學們的數(shù)感能力. 能夠根據(jù)數(shù)字的排列順序，揭示隱含在其中的一般規(guī)律，從而培養(yǎng)同學們觀察問題、分析問題、解決問題的能力.

二、 根據(jù)算式，探索規(guī)律

例3 （2013·湖南衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個等式（n為正整數(shù)）an=______.

【解析】觀察每個式子的右邊是兩個分子都是1的分式的差，第一個分數(shù)的分母比第二個分數(shù)的分母小2. 因此，第n個等式（n為正整數(shù)）an=-.

【點評】對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

例4 （2013·山東濱州）觀察下列各式的計算過程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

……

請猜測，第n個算式（n為正整數(shù)）應表示為______________.

【解析】左邊的兩個相同的因數(shù)分別看作是5×1，5×3，5×5，…，故第n個是5（2n-1），所以算式表示為5（2n-1）×5（2n-1）=100n（n-1）+25.

【點評】探究數(shù)學式子的規(guī)律時，需要把所給的式子進行橫向和縱向比較，注意觀察已知等式對應數(shù)值的變化，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，即找出各部分所具有的特征，從而探究其具有的規(guī)律. 不同的觀察視角有可能得到不同的等式或代數(shù)式.

三、 根據(jù)圖形，探索規(guī)律

例5 （2013·云南西雙版納，有改動）如圖，下列圖形都由同樣大小的十字星圖案按一定的規(guī)律組成，其中第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個十字星圖案，第三個圖形有5個十字星圖案，第四個圖形有10個十字星圖案，…，則第n個圖形有______個十字星圖案.

【解析】觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)：第一個圖形有1 個十字星圖案，第二個圖形有2個，可以認為是在第一個圖形上增加一個，即當n=2時，第二個圖形有1+1個十字星圖案；第三個圖形有5個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加四個，即當n=3時，第三個圖形有4+1個十字星圖案；第四個圖形有10個十字星圖案，可以認為是在第一個圖形上增加九個，即當n=4時，第四個圖形有9+1個十字星圖案；…因此，第n個圖形是在第一個圖形上增加（n-1）2個十字星圖案，即第n個圖形有（n-1）2+1個十字星圖案，所以，本題應該填（n-1）2+1.

【點評】探索圖形變化規(guī)律時，一般需要抓住圖形數(shù)量的增減變化特點，進行分析、猜想、歸納、驗證后得出結果.

例6 （2013·山東日照）如圖，下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律. 根據(jù)此規(guī)律，圖形中M與m、n的關系是（ ）.

A. M=mn B. M=n（m+1）

C. M=mn+1 D. M=m（n+1）

【解析】根據(jù)各圖形中的三個數(shù)的變化規(guī)律，可以看成是：3=1×（2+1）、15=3×（4+1）、35=5×（6+1），即：左下角的數(shù)字加1后所得數(shù)值與上邊的數(shù)字的積恰好是右下角的數(shù)字，根據(jù)這個關系可得出M與m、n的關系，為M=m（n+1）. 因此，本題選D.

【點評】本題是一道以圖形為背景的探索的試題. 解答時，需要仔細觀察數(shù)字和圖形之間的關系，從而找出規(guī)律. 本題除上述規(guī)律外，還具有m=n-1，因此M還可以分別用含有m或n的代數(shù)式表示.

四、根據(jù)圖表，探索規(guī)律

例7 （2013·山東淄博）如下表，從左到右在每個小格中都填入一個整數(shù)，使得任意三個相鄰格子所填整數(shù)之和都相等，則第2013個格子中的整數(shù)是_______.

【解析】根據(jù)題意有：-4+a+b=a+b+c，所以c=-4. 又有：a+b-4=b-4+6，所以a=6. 所以原表格可整理為：

從表格中的數(shù)字可以看出格子中的整數(shù)是按照-4、6、b的順序循環(huán)出現(xiàn)的，結合第三個循環(huán)可知b=-2. 所以格子中的整數(shù)是按照-4、6、-2的順序循環(huán)出現(xiàn)，因為2013÷3=671，所以第2013個格子中的整數(shù)恰好是第671個循環(huán)中的最后一個數(shù)字，即-2.

【點評】本題以圖表為背景，呈現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，將等式的性質和數(shù)字規(guī)律的探索融為一體，考查了同學們分析問題、解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）